Ułamki proste

Ten artykuł od 2012-01 wymaga zweryfikowania podanych informacji.

Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych.
Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte.
Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary)
Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu.

Ułamki proste – składniki pewnej sumy, w postaci której przedstawia się dowolną funkcję wymierną, w której stopień licznika jest mniejszy od stopnia mianownika. Każdy ułamek prosty jest ułamkiem o następujących własnościach:

mianownik jest potęgą pewnego wielomianu nierozkładalnego,
licznik jest wielomianem stopnia mniejszego od stopnia nierozkładalnego wielomianu występującego w mianowniku (niepodniesionego do żadnej potęgi większej od 1).

Każdą funkcję wymierną można przedstawić jako sumę pewnego wielomianu i pewnej funkcji wymiernej, w której stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku. Przedstawienie tej ostatniej funkcji wymiernej w postaci sumy ułamków prostych nazywa się rozkładem funkcji na ułamki proste.

To, jakie wielomiany są nierozkładalne, zależy od ciała, nad którym je rozważamy. Przykładowo, w ciele liczb rzeczywistych istnieją wielomiany nierozkładalne stopnia 1 i 2, w ciele liczb zespolonych jedynie stopnia 1, zaś w ciele liczb wymiernych istnieją wielomiany nierozkładalne dowolnie wysokich stopni.

Rozkład na ułamki proste ułatwia obliczanie całek, a także rozwiązywanie równań różniczkowych.

Możliwe postaci ułamka prostego

W ciele ułamków nad pierścieniem wielomianów o współczynnikach rzeczywistych^[1]:

${\frac {b}{(x-a)^{n}}},\quad n\geqslant 1$
${\frac {ex+f}{(ax^{2}+bx+c)^{n}}},\quad n\geqslant 1,~~b^{2}-4ac<0$

W ciele ułamków nad pierścieniem wielomianów o współczynnikach zespolonych

${\frac {b}{(x-a)^{n}}},\quad n\geqslant 1$

Przykłady rozkładu

${\frac {f(x)}{(x-a)^{3}}}={\frac {A}{(x-a)}}+{\frac {B}{(x-a)^{2}}}+{\frac {C}{(x-a)^{3}}},$ tutaj $\deg(f)<3;$
${\frac {f(s)}{(s+3)(s+1)^{4}}}={\frac {A}{s+1}}+{\frac {B}{(s+1)^{2}}}+{\frac {C}{(s+1)^{3}}}+{\frac {D}{(s+1)^{4}}}+{\frac {E}{(s+3)}},$ tutaj $\deg(f)<5;$
${\frac {1}{(s^{2}+1)(s+1)^{2}}}={\frac {As+B}{s^{2}+1}}+{\frac {C}{(s+1)^{2}}}+{\frac {D}{s+1}}$

Aby znaleźć współczynniki $A,B,C,D,\ldots$ stosuje się metodę współczynników nieoznaczonych. W tym celu wystarczy prawą stronę sprowadzić do wspólnego mianownika i wielomian w jej liczniku uporządkować według zmiennej. Na przykład w ostatnim punkcie powstanie wielomian

(A+D)s^{3}+(2A+B+C+D)s^{2}+(A+2B+D)s+(B+C+D)

Przyrównując współczynniki przy kolejnych potęgach zmiennej $s$ do odpowiednich współczynników wielomianu z lewej strony (tu jest wielomian stały) otrzymuje się układ równań, po rozwiązaniu którego otrzymuje się wartości współczynników $A,B,C,D.$

Przypisy

↑ ułamek prosty, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .

Linki zewnętrzne

Szymon Charzyński, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-23]:

Rozkład na ułamki proste cz. 1, 26 czerwca 2013.
Rozkład na ułamki proste cz. 2, 26 czerwca 2013.
Rozkład na ułamki proste cz. 3, 26 czerwca 2013.
Całkowanie funkcji wymiernej przez rozkład na ułamki proste, 31 maja 2015.

Read other articles:

Pulau Selayar

SelayarPeta lokasi SelayarKoordinat6°5′24.000″LS,120°30′0.000″BTNegaraIndonesiaGugus kepulauanSelayarProvinsiSulawesi SelatanKabupatenKepulauan SelayarLuas± 2.000 km² Permukiman penduduk di Pulau Selayar bagian ujung selatan (Appatanah) Pulau Selayar (Ejaan Van Ophuijsen: Saleijer) adalah nama sebuah pulau kecil di Indonesia, namun merupakan pulau terbesar yang berada di gugusan Kepulauan Selayar, perairan Laut Flores dan secara administratif masuk pada wilayah Kabupaten Kepu...

Wirtschaftswunder

Volkswagen Beetle adalah simbol rekonstruksi Jerman Barat. Yang ada di gambar ini merupakan mobil ke-1.000.000. Wirtschaftswunder (Jerman: [ˈvɪʁt.ʃaftsˌvʊndɐ] ⓘ, keajaiban ekonomi), juga dikenal sebagai Keajaiban di Sungai Rhine, adalah istilah yang menjelaskan rekonstruksi dan perkembangan ekonomi Jerman Barat dan Austria yang begitu cepat setelah Perang Dunia II.[1][2] Istilah ini digunakan pertama kali oleh The Times tahun 1950.[butuh rujukan] Hal i...

5 mars

Pour les articles homonymes, voir Cinq-Mars. Éphémérides Mars 1er 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 5 février 5 avril Chronologies thématiques Croisades Ferroviaires Sports Disney Anarchisme Catholicisme Abréviations / Voir aussi (° 1852) = né en 1852 († 1885) = mort en 1885 a.s. = calendrier julien n.s. = calendrier grégorien Calendrier Calendrier perpétuel Liste de calendriers Naissances du jour modifie...

Sam Rockwell

Sam RockwellRockwell di 2018 Tribeca Film FestivalLahir5 November 1968 (umur 55)Daly City, California, A.S.AlmamaterRuth Asawa San Francisco School of the ArtsPekerjaanAktorTahun aktif1988–sekarang Sam Rockwell[1] (lahir 5 November 1968) adalah seorang aktor Amerika. Dia menjadi terkenal karena peran utamanya dalam Lawn Dogs (1997), Confessions of a Dangerous Mind (2002), Matchstick Men (2003), The Hitchhiker's Guide to the Galaxy (2005), Moon (2009), Seven Psychopaths (2...

韩国—马来西亚关系

韓國－馬來西亞關係马来西亚韩国代表機構马来西亚驻韩国大使馆韩国驻马来西亚大使馆韩国－马来西亚关系（韩语：대한민국-말레이시아 관계，馬來語：Hubungan Korea Selatan–Malaysia），亦称马来西亚－韩国关系，指韩国与马来西亚两国之间的双边关系。目前两国为“战略伙伴关系”。历史韩国与马来亚联合邦于1960年2月23日建交[1]。1962年5月，韩国在马来亚首都吉...

Hawaiʻi Ponoʻī

Hawaiʻi PonoʻīRaja Kalākaua, pengarang lirik lagu kebangsaan tersebut.Lagu kebangsaan HawaiʻiPenulis lirikRaja David Kalākaua, 1874KomponisKapten Henri BergerPenggunaan1967 Hawaiʻi Ponoʻī adalah lagu kebangsaan saat ini dari Negara Bagian Hawaii. Kata-katanya ditulis pada 1874 oleh Raja David Kalākaua dengan musik yang dikomposisikan oleh Kapten Henri Berger, ketua band kerajaan milik raja pada masa itu. Hawaiʻi Ponoʻī adalah salah satu lagu nas...

Bundesautobahn 40

A40 in Essen (2005) A40 in Essen (2005) Bundesautobahn 40 Bundesautobahn 40 Land Duitsland Deelstaat Noordrijn-Westfalen Lengte 95 km Lijst van Duitse autosnelwegen Portaal Verkeer & Vervoer Duitsland Traject van/naar Venlo A67E34 1a Grensovergang Straelen Begin trajectdeel E34 Raststätte Niederdorf-Süd 1b Niederdorf 2 Straelen 221 3 Wankum Rastplatz mit WC: Tomm Heide 4 Wachtendonk 5 Kempen 6 Kerken 9 Rastplatz mit WC: Neufelder Heide Großer Parsick 7 Neukir...

Філософія

Частина серії проФілософіяLeft to right: Plato, Kant, Nietzsche, Buddha, Confucius, AverroesПлатонКантНіцшеБуддаКонфуційАверроес Філософи Епістемологи Естетики Етики Логіки Метафізики Соціально-політичні філософи Традиції Аналітична Арістотелівська Африканська Близькосхідна іранська Буддій�...

Bread

Food made of flour and water For other uses, see Bread (disambiguation). BreadVarious leavened breadsMain ingredientsFlour, water Cookbook: Bread Media: Bread Bread is a staple food prepared from a dough of flour (usually wheat) and water, usually by baking. Throughout recorded history and around the world, it has been an important part of many cultures' diet. It is one of the oldest human-made foods, having been of significance since the dawn of agriculture, and plays an essential ...

AOL

Disambiguazione – Aol rimanda qui. Se stai cercando altri significati, vedi Aol (disambigua). AOL Inc.Logo 770 Broadway, sede di Aol a New York City Stato Stati Uniti Fondazione1983 a Dulles Fondata daMarc SeriffSteve CaseJim Kimsey Sede principaleNew York GruppoYahoo! Persone chiave Timothy Armstrong (CEO e Presidente) Karen Dykstra (EVP, CFO) Curtis Brown (EVP, CTO) SettoreMedia ProdottiInternet service provider Fatturato2,19 miliardi $[1] (2012) Utile netto1,04 ...

Lorenzo Sitgreaves

American military officer (1810–1888) Lorenzo I. SitgreavesBorn(1810-03-15)March 15, 1810Easton, Pennsylvania, U.S.DiedMay 14, 1888(1888-05-14) (aged 78)Washington, D.C., U.S.BuriedOak Hill CemeteryWashington, D.C., U.S.Years of service1827–1836, 1838–18??RankLieutenant colonelUnit1st Regiment of Artillery (1832–1836)Corps of Topographical Engineers (1838–18??)Known forLeading the Sitgreaves ExpeditionBattles/wars Mexican–American War Battle of Buena Vista American ...

Political positions of George W. Bush

This article is part of a series aboutGeorge W. Bush Political positions Electoral history Early life Professional life Family Public image Honors 46th Governor of Texas Governorship 43rd President of the United States Presidency timeline Transition Inaugurations first second Policies Domestic Economic Foreign Bush Doctrine international trips Space Climate change Legislation and programs Pardons Appointments Cabinet Judiciary Roberts Miers Alito First term September 11 attacks War on terror...

Digital object identifier

ISO standard unique string identifier for a digital object For the use of digital object identifiers on Wikipedia, see Wikipedia:Digital Object Identifier. Digital object identifierFull nameDigital object identifierAcronymDOIOrganisationInternational DOI FoundationIntroduced2000; 24 years ago (2000)Example10.1000/182Websitewww.doi.org/the-identifier/what-is-a-doi/ A digital object identifier (DOI) is a persistent identifier or handle used to uniquely identify various ob...

1781 in the United States

List of events ← 1780 1779 1778 1781 in the United States → 1782 1783 1784 Decades: 1770s 1780s 1790s 1800s See also: History of the United States (1776–1789) Timeline of the American Revolution List of years in the United States 1781 in the United States1781 in U.S. states States Connecticut Delaware Georgia Maryland Massachusetts New Hampshire New Jersey New York North Carolina Pennsylvania Rhode Island South Carolina Virginia List of years in the United States by state or ter...

Nukleosom

Nukleosom yang dibentuk oleh asam deoksiribonukleat (abu-abu) dan histon oktamer (Histon H2A , H2B , H3 and H4 ). Gambar tampak atas. Nukleosom merupakan struktur dari kromatin pada eukariota.[1] Dua pasang dari tiap protein histon H2A, H2B, H3 dan H4 membentuk oktamer dengan 145-147 pasangan basa asam deoksiribonukleat yang membungkusnya membentuk inti nukleosom.[2][3] Beberapa referensi yang lebih baru menyebutkan asam deoksiribonukleat yang membangun nukleosom ini a...

Theodore A. Bingham

Brigadier GeneralTheodore A. BinghamTheodore A. Bingham, United States Army GeneralNYPD CommissionerIn office1906–1909Preceded byWilliam McAdooSucceeded byWilliam Baker Personal detailsBorn(1858-05-14)May 14, 1858Andover, ConnecticutDiedSeptember 6, 1934(1934-09-06) (aged 76)Chester, Nova ScotiaSpouses Lucile Rutherfurd (died 1920) Addison Mitchell (m. 1926; died 1927) Alma materWest Point Milita...

Javanese people

Largest ethnic group in Indonesia and Southeast Asia For other uses, see Javanese (disambiguation). Not to be confused with Japanese people. Ethnic group Javaneseꦮꦺꦴꦁꦗꦮ, Wong Jawa (in Ngoko register)ꦠꦶꦪꦁꦗꦮꦶ, Tiyang Jawi (in Krama register)[1]A Javanese bride and groom wearing their traditional garbTotal populationMore than 100 millionRegions with significant populations Indonesia98,217,022 (2010)[2] Malaysiac. 1,500,000 (including Malaysian ...

Mattias Nilsson

Swedish biathlete For the ice hockey player, see Mattias Nilsson (ice hockey). Mattias NilssonNilsson in Östersund in 2008.Personal informationFull nameMattias NilssonBorn (1982-02-19) 19 February 1982 (age 42)Brunflo, SwedenHeight1.90 m (6 ft 3 in)Professional informationSportBiathlonClubJämtBiathlonWorld Cup debut5 December 2002Retired27 September 2011Olympic GamesTeams2 (2006, 2010)Medals0World ChampionshipsTeams7 (2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008, 20...

Giê-su

GiêsuLinh ảnh Đấng toàn năng Kitô ở Tu viện Thánh Catarina, nơi sơn cước Sinai, có niên đại về thế kỷ thứ 6Sinhk. 4 TCN[a]Vương quốc Herod Judea, Đế quốc La Mã[5]Mất30 hoặc 33 CN(33–36 tuổi)Jerusalem, Judea, Đế quốc La MãNguyên nhân mấtBị đóng đinh trên cây thập tựNổi tiếng vìHình tượng trung tâm của Đạo KitôCha mẹMariaGiuse Giêsu (chữ Nôm: 支秋,[6] còn được v...

John Lowin

16th/17th-century English actor and theatre sharer This article includes a list of general references, but it lacks sufficient corresponding inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (April 2014) (Learn how and when to remove this message) John Lowin, engraving by Thomas Holloway, from an original painting in the Ashmolean Museum, Oxford, England. John Lowin (baptized 9 December 1576 – buried – 24 August 1653) was an English actor. Ea...

Kotak-S

Tesla, Inc.

/artikeldigital.com/index.php/Arran (Kaukasus)

Lockheed Martin VH-71 Kestrel

Unione Sportiva Gonzaga 1926-1927

Gupta art