Całka Pettisa

Całka Pettisa a. Gelfanda-Pettisa – rozszerzenie pojęcia całki na funkcje o wartościach w przestrzeniach liniowo-topologicznych poprzez sprowadzenie do zagadnienia całkowalności złożeń funkcji z ciągłymi funkcjonałami liniowymi na rozważanej przestrzeni. W tym wypadku, zagadnienie całkowalności w sensie Pettisa zależy od trzech czynników: własności przestrzeni z miarą na której określona jest funkcja, własności samej przestrzeni wartości oraz postaci ciągłych funkcjonałów liniowych. Należy mieć na uwadze, że całkowalność w sensie Pettisa jest tylko jednym z możliwych uogólnień całkowalności na funkcje o wartościach wektorowych. Do innych tego rodzaju uogólnień należą m.in. całka Birkhoffa, całka McShane’a, całka Dunforda czy całka Bochnera. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwisk matematyków I. M. Gelfanda i B.J. Pettisa.

Definicja

Niech będzie przestrzenią z miarą oraz niech będzie przestrzenią liniowo-topologiczną z nietrywialną przestrzenią sprzężoną O funkcji mówi się, że jest całkowalna w sensie Pettisa, gdy dla każdego zbioru oraz wszelkich funkcjonałów istnieje taki element przestrzeni że

Punkt we wzorze powyżej, nazywany jest całką Pettisa z funkcji na zbiorze względem miary i oznaczany symbolem

Każda funkcja całkowalna w sensie Pettisa jest również słabo mierzalna, to znaczy dla każdego funkcja

jest mierzalna w ciele skalarów.

W przypadku, gdy jest przestrzenią Banacha, funkcja

jest miarą wektorową przeliczalnie addytywną, nazywaną całką nieoznaczoną Pettisa z funkcji

W przypadku funkcji o wartościach w przestrzeniach refleksywnych pojęcia całkowalności w sensie Pettisa i w sensie Dunforda pokrywają się.

Przykłady

Przykład funkcji całkowalnej w sensie Pettisa, której norma nie jest całkowalna.

Niech będzie przestrzenią Hilberta oraz będzie ciągiem ortonormalnym punktów tej przestrzeni. Funkcja dana wzorem

jest całkowalna w sensie Pettisa względem miary Lebesgue’a natomiast

Przykład funkcji niecałkowalnej

Funkcja dana wzorem

nie jest całkowalna w sensie Pettisa. Istotnie, niech oraz niech będzie odpowiadającym mu elementem z przestrzeni (zob. twierdzenie Riesza dla przestrzeni ).

Gdyby istniała całka to

gdzie przyporządkowuje elementowi przestrzeni jego -ty wyraz.

Pettis Integral Property

Niech będzie miarą skończoną na przestrzeni Mówimy, że przestrzeń Banacha ma własność -PIP (Pettis Integral Property), gdy każda funkcja słabo mierzalna i -p.w. słabo ograniczona jest całkowalna w sensie Pettisa względem W szczególności, używa się zapisu Lebesgue-PIP w przypadku miary Lebesgue’a na odcinku jednostkowym. Mówi się, że przestrzeń Banacha ma własność PIP, gdy ma własność -PIP dla każdej miary skończonej

Nie każda przestrzeń Banacha ma własność PIP. Na przykład przestrzeń funkcji ciągłych określonych na przestrzeni zwartej gdzie oznacza pierwszą nieprzeliczalną liczbę porządkową, nie ma własności -PIP dla pewnej miary Baire’a na σ-algebrze swoich podzbiorów mających własność Baire’a w sensie słabej topologii[1]. Istnieją przestrzenie (np. tzw. długa przestrzeń Jamesa) takie, że i mają własność Radona-Nikodýma (RNP), ale one same nie mają własności PIP[2]. Pod założeniem hipotezy continuum (CH) albo negacji CH i aksjomatu Martina długa przestrzeń Jamesa nie ma własności Lebesgue-PIP.

  • Jeżeli istnieje liczba mierzalna, to każda przestrzeń Banacha ma własność Lebesgue-PIP[3].
  • Jeżeli jest miarą, która nie jest ośrodkowa, to przestrzeń ze słabą topologią nie jest przestrzenią Hewitta[4]. Oznacza to, że istnieje miara o wartościach tylko 0 lub 1 dla której nie ma własności -PIP[5].

Przestrzeń funkcji całkowalnych w sensie Pettisa

Niech będzie przestrzenią z miarą skończoną oraz będzie przestrzenią Banacha. W przestrzeni wszystkich funkcji (klas równoważności -p.w.) całkowalnych w sensie Pettisa funkcjonał określony wzorem

jest normą. Bezpośrednio z definicji wynika, że jeżeli to

W przypadku, gdy jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to nie jest przestrzenią zupełną (przestrzenią Banacha), jest natomiast przestrzenią beczkowatą[6] (a zatem prawdziwe są w stosunku niej pewne wersje twierdzenia Banacha-Steinhausa i twierdzenia o wykresie domkniętym).

Zobacz też

Przypisy

  1. G.A. Edgar, Measurability in a Banach space I, Indiana Univ. Math. J., 26 (1977), s. 663–667.
  2. G.A. Edgar, A long James space, Proceedings of the Conference on Measure Theory, Lecture Notes in Mathematics, vol. 794, Springer, Berlin, New York, 1980.
  3. D.H. Fremlin, M. Talagrand, A decomposition theorem for additive set-functions, with applications to Pettis integrals and ergodic means, Math. Z., 168 (1979), s. 117–142.
  4. R. Frankiewicz, G. Plebanek, Nonaccessible filters in measure algebras and functionals on Studia Math. 108 (1994), s. 191–200.
  5. G.A. Edgar, Measurability in a Banach space II, Indiana Univ. Math. J., 28 (1979), s. 559–579.
  6. L. Drewnowski, M. Florencio, P.J. Paúl, The space of Pettis integrable functions is barrelled, Proc. Amer. Math. Soc. 114 (1992), s. 687–694.

Bibliografia

  • J.K. Brooks, Representations of weak and strong integrals in Banach spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 63, 1969, 266–270. pełny tekst
  • J. Diestel, J.J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977
  • I. M. Gelfand, Sur un lemme de la théorie des espaces linéaires, Commun. Inst. Sci. Math. et Mecan., Univ. Kharkoff et Soc. Math. Kharkoff, IV. Ser. 13, 1936, 35–40 Zbl 0014.16202
  • K. Musial, Topics in the theory of Pettis integral, Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Universita di Trieste, XXIII (1991), 177-262
  • K. Musial, Pettis Integral, Handbook of Measure Theory I, North-Holland 2002, 531-586
  • M. Talagrand, Pettis Integral and Measure Theory, Memoirs of the AMS no. 307 (1984)