PROFILPELAJAR.COM

Miara wewnętrznie regularna – miara, dla której miara zbioru może być przybliżana od dołu przez podzbiory zwarte.

Definicja formalna

Niech $(X,\tau )$ będzie przestrzenią topologiczną Hausdorffa, a ${\mathfrak {M}}$ σ-algebrą na $X$ zawierającą topologię $\tau$ (tak, że każdy zbiór otwarty jest zarazem mierzalny, a ${\mathfrak {M}}$ jest co najmniej tak silna, jak σ-algebra borelowska na $X$ ). Miarę $\mu$ określoną na przestrzeni mierzalnej $(X,{\mathfrak {M}})$ nazywa się wewnętrznie regularną, jeżeli dla każdego zbioru $A\in {\mathfrak {M}}$ zachodzi

\mu (A)=\sup\{\mu (K)\colon {\mbox{zwarty }}K\subseteq A\}.

Własność tę określa się czasami słownie jako „przybliżanie od dołu przez zbiory zwarte”.

Niektórzy autorzy^[1]^[2] używają terminu „ciasna (jędrna)” jako synonimu dla „wewnętrznie regularna”. Nazwa ta jest blisko związana z jędrnością rodziny miar, ponieważ miara $\mu$ jest wewnętrznie regularna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje pewny podzbiór zwarty $K\subseteq X$ taki, że $\mu (X\setminus K)<\varepsilon .$ Jest to dokładnie warunek na to, aby jednoelementowa rodzina miar $\{\mu \}$ była jędrna.

Zobacz też

Przypisy

↑ Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G.: Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures. Basel: ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, 2005. ISBN 3-7643-2428-7.
↑ K.R. Parthasarathy: Probability measures on metric spaces. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI, 2005, s. pp.xii+276. ISBN 0-8218-3889-X. MR 2169627