Urodzony w Alella Cucurella grał w futsal w zespole FS Alella, przed dołączeniem do młodzieżówek Espanyolu w 2006 roku[1]. W 2012 roku przeniósł się do Barcelony[2].
Cucurella z 17 występami przyczynił się do awansu zespołu do Segunda División. 7 lipca 2017 roku przedłużył swój kontrakt z Barceloną do 2021 roku, z klauzulą odstępnego wynoszącą 12 milionów euro[4]. Swój profesjonalny debiut zaliczył 1 września 2017 roku w zremisowanym 2–2 meczu przeciwko Granadzie.