Liczby porządkowe – specjalne rodzaje zbiorów dobrze uporządkowanych, które są kanonicznymi reprezentantami klas izomorficzności dobrych porządków^[1] [2] . Są też definiowane jako typy porządkowe dobrych porządków^[3].

Liczby porządkowe stanowią „rdzeń” uniwersum modeli teorii mnogości. Zostały one wprowadzone przez Georga Cantora w 1897 roku (jako typy porządkowe dobrych porządków).

Przyjmowana współcześnie definicja liczb porządkowych była podana przez Johna von Neumanna.

Liczbą porządkową nazywa się każdy zbiór tranzytywny (przechodni), który jest liniowo uporządkowany przez relację ${\displaystyle \subseteq ,}$ tj. bycia podzbiorem. Dokładniej, zbiór ${\displaystyle \alpha }$ jest liczbą porządkową, gdy:

(i) każdy element ${\displaystyle \beta \in \alpha }$ jest podzbiorem ${\displaystyle \alpha ,}$ tzn.

$${\displaystyle \forall _{\beta \in \alpha }~~\beta \subseteq \alpha ,}$$

(ii) każde dwa różne elementy zbioru ${\displaystyle \alpha }$ są porównywalne w relacji ${\displaystyle \subseteq ,}$ tzn.

$${\displaystyle \forall _{\beta ,\gamma \in \alpha }~~\beta \neq \gamma \to (\beta \subseteq \gamma \ \vee \ \gamma \subseteq \beta )}$$

Z aksjomatu regularności wynika, że każda liczba porządkowa jest dobrze uporządkowana przez relację bycia podzbiorem. W pewnych sytuacjach jednak rozważa się teorię mnogości bez tego aksjomatu (np. ZFC₀) i wówczas do definicji liczby porządkowej należy dodać postulat ufundowania:

(iii) każdy niepusty podzbiór zbioru ${\displaystyle \alpha }$ zawiera element ${\displaystyle \varepsilon }$-minimalny:

$${\displaystyle \forall _{A\in \alpha }~~A\neq \varnothing \to \exists _{c\in A}~~c\cap A=\varnothing }$$

Dla liczb porządkowych ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$ pisze się ${\displaystyle \alpha <\beta ,}$ gdy ${\displaystyle \alpha \in \beta .}$

• Następujące zbiory są liczbami porządkowymi:

${\displaystyle 0=\varnothing }$

${\displaystyle 1=\{\varnothing \}}$

${\displaystyle 2=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}$

${\displaystyle 3=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\}}$

${\displaystyle \omega =\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\},\dots \}=\{0,1,2,3,\dots \}}$

${\displaystyle \omega +1=\omega \cup \{\omega \}}$

${\displaystyle \omega \cdot 2=\{0,1,2,3,\dots ,\omega ,\omega +1,\omega +2,\dots \}}$

${\displaystyle \omega \cdot 3=\{0,1,2,3,\dots ,\omega ,\omega +1,\omega +2,\dots ,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\omega \cdot 2+2,\dots ,\}}$

${\displaystyle \omega \cdot \omega =\omega ^{2}=\{0,1,2,3,\dots ,\omega ,\omega +1,\omega +2,\dots ,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\omega \cdot 2+2,\dots ,\dots \}}$

${\displaystyle \omega ^{\omega }=\{0,1,2,3,\dots ,\omega ,\omega +1,\omega +2,\dots ,\omega \cdot 2,\omega \cdot 2+1,\omega \cdot 2+2,\dots ,\dots ,\omega ^{2},\omega ^{2}+1,\omega ^{2}+2,\dots ,\dots \}}$

${\displaystyle \omega _{1}}$ to zbiór wszystkich przeliczalnych liczb porządkowych i zarazem najmniejsza nieprzeliczalna liczba porządkowa

${\displaystyle \omega _{1}+1=\omega _{1}\cup \{\omega _{1}\}}$

• Jeśli ${\displaystyle \alpha ,}$ ${\displaystyle \beta }$ i ${\displaystyle \gamma }$ są liczbami porządkowymi to:

(a) ${\displaystyle \alpha <\beta }$ lub ${\displaystyle \beta <\alpha }$ lub ${\displaystyle \alpha =\beta ,}$

(b) jeśli ${\displaystyle \alpha <\beta }$ i ${\displaystyle \beta <\gamma ,}$ to ${\displaystyle \alpha <\gamma ,}$

(c) ${\displaystyle \alpha <\beta }$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \alpha \subsetneq \beta ,}$

(d) każdy element ${\displaystyle \alpha }$ jest liczbą porządkową,

(e) ${\displaystyle \alpha \cup \{\alpha \}}$ jest liczbą porządkową. Liczbę tę oznacza się symbolem ${\displaystyle \alpha +1.}$

• Jeśli ${\displaystyle A}$ jest zbiorem liczb porządkowych, to ${\displaystyle \bigcup A}$ jest liczbą porządkową.
• Jeśli ${\displaystyle (X,\sqsubset )}$ jest zbiorem dobrze uporządkowanym, to istnieje jedyna taka liczba porządkowa ${\displaystyle \alpha ,}$ że (silne) porządki ${\displaystyle (X,\sqsubset )}$ i ${\displaystyle (\alpha ,\in )}$ są izomorficzne.
• Jeśli ${\displaystyle C}$ jest niepustym zbiorem liczb porządkowych, to istnieje taki ${\displaystyle x\in C,}$ że ${\displaystyle x<y}$ lub ${\displaystyle x=y}$ dla wszystkich ${\displaystyle y\in C.}$

Jeżeli liczba porządkowa ${\displaystyle \alpha }$ jest postaci ${\displaystyle \beta +1}$ dla pewnej liczby ${\displaystyle \beta ,}$ to nazywana jest ona liczbą następnikową. Liczba, która nie jest następnikowa, nazywana jest liczbą graniczną. Liczby ${\displaystyle \omega }$ i ${\displaystyle \omega _{1}}$ są graniczne, a liczby ${\displaystyle \omega +1}$ i ${\displaystyle \omega _{1}+1}$ są następnikowe.

Paradoks Buralego-Fortiego orzeka, że nie istnieje zbiór zawierający wszystkie liczby porządkowe (sam wówczas musiałby być liczbą porządkową). W szczególności, nie istnieje największa liczba porządkowa oraz dla dowolnego zbioru istnieją liczby porządkowe do niego nie należące. Wnioskiem z tej obserwacji jest także fakt, że (por. twierdzenie Hartogsa) istnieją liczby porządkowe dowolnie dużej mocy (liczbie kardynalnej).

Każda liczba porządkowa jest przestrzenią topologiczną lokalnie zwartą Hausdorffa z topologią porządkową.

Liczba porządkowa jako przestrzeń topologiczna jest zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest następnikowa; w szczególności liczby ${\displaystyle \omega +1}$ i ${\displaystyle \omega _{1}+1}$ są zwarte.

Zobacz hasło liczba porządkowa w Wikisłowniku

• arytmetyka liczb porządkowych
• graniczna liczba porządkowa
• indukcja pozaskończona
• liczba kardynalna
• następnik liczby porządkowej

• Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: PWN, 1968. ISBN 83-01-13949-8..

• Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007. Brak numerów stron w książce
• Wacław Sierpiński: Cardinal and ordinal numbers. Wyd. drugie poprawione. Warszawa: PWN, 1965. Brak numerów stron w książce

Polskojęzyczne

• Tomasz Miller, Liczby porządkowe, Centrum Kopernika Badań Interdyscyplinarnych – Uniwersytet Jagielloński, kanał „Copernicus” na YouTube, 21 grudnia 2021 [dostęp 2022-03-17] – wykład popularny.

Anglojęzyczne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Ordinal Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-03-07].
• Ordinal number, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].