Następnik liczby porządkowej – najmniejsza liczba porządkowa większa niż ${\displaystyle \alpha .}$ Liczbę, która jest następnikiem pewnej liczby porządkowej, nazywa się liczbą następnikową. Każda liczba porządkowa różna od ${\displaystyle 0}$ jest albo liczbą następnikową, albo graniczną liczbą porządkową.

Używając liczb porządkowych von Neumanna (standardowego modelu używanego obecnie w teorii mnogości), następnikiem liczby porządkowej ${\displaystyle \alpha }$ jest ${\displaystyle S(\alpha )}$ dana wzorem:

${\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}.}$

Następnik liczby porządkowej jest podstawową operacją przeprowadzaną na liczbach porządkowych. Najbardziej znanym jej zastosowaniem jest konstrukcja zbiorów induktywnych, np. zbioru liczb naturalnych w konstrukcji von Neumanna.

Używając operacji następnika, można zdefiniować arytmetykę liczb porządkowych, na przykład dodawanie, przez indukcję pozaskończoną:

${\displaystyle \alpha +0=\alpha ,}$

${\displaystyle \alpha +S(\beta )=S(\alpha +\beta )}$

i dla granicznej liczby porządkowej λ

${\displaystyle \alpha +\lambda =\bigcup _{\beta <\lambda }(\alpha +\beta ).}$

W szczególności, ${\displaystyle S(\alpha )=\alpha +1.}$ Podobnie definiuje się mnożenie i potęgowanie.

Punkty następnikowe i zero są punktami skupienia klasy liczb porządkowych, w odniesieniu do topologii porządkowej.

Uwaga:

Nie każda liczba porządkowa jest następnikowa. Liczby niemające tej własności nazywamy granicznymi liczbami porządkowymi (nie mylić z granicznymi liczbami kardynalnymi).

• Nie istnieje żadna liczba porzÄ…dkowa pomiÄ™dzy ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle S(\alpha ),}$

${\displaystyle \alpha <S(\alpha ).}$

• JeÅ›li ${\displaystyle \alpha \in S(\alpha ),}$ to ${\displaystyle \alpha \subset S(\alpha )}$ (zob. zbiór przechodni).

• ${\displaystyle S(\varnothing )=\{\varnothing \}}$ (tu: ${\displaystyle \varnothing =0}$)
• ${\displaystyle S\left(\{\varnothing \}\right)=\left\{\varnothing ,\{\varnothing \}\right\},}$
• ${\displaystyle S\left(\left\{\varnothing ,\{\varnothing \}\right\}\right)=\left\{\varnothing ,\{\varnothing \},\left\{\varnothing ,\{\varnothing \}\right\}\right\}.}$

• aksjomaty i konstrukcje liczb
• arytmetyka liczb porzÄ…dkowych
• liczba epsilonowa
• paradoks Buralego-Fortiego
• zbiór potÄ™gowy

• Aleksander BÅ‚aszczyk, SÅ‚awomir Turek: Teoria MnogoÅ›ci. Warszawa: PWN, 2007. Brak numerów stron w książce
• WacÅ‚aw SierpiÅ„ski: Cardinal and ordinal numbers. Wyd. drugie poprawione. Warszawa: PWN, 1965. Brak numerów stron w książce