Kwiat karierę rozpoczął od startów w kartingu. Startował w Rosji oraz we Włoszech, najlepsze wyniki osiągając w 2009 roku, kiedy to zajął 3. miejsce w klasyfikacji generalnej Mistrzostw Europy kategorii KF3, a także 2. pozycję w Międzynarodowych Mistrzostwach WSK[1].
Formuła Renault
W sezonie 2010 Kwiat zadebiutował w wyścigach samochodów jednomiejscowych. Rosjanin brał udział w Europejskiej Formule BMW, w której sześciokrotnie znalazł się w czołowej szóstce, a podczas ostatniego wyścigu w kalendarzu, na torze Monza, uplasował się na drugiej lokacie. Zdobyte punkty sklasyfikowały go na 10. miejscu[1][2].
Kwiat wziął także udział w azjatyckim odpowiedniku tej serii (nie był liczony do klasyfikacji). Wystąpiwszy w ośmiu wyścigach, pięciokrotnie stanął na podium, triumfując przy tym na malezyjskim torze w Sepang. W okresie posezonowym Kwiat wystartował w zimowej edycji Brytyjskiej Formuły Renault. W ciągu sześciu wyścigów, Rosjanin dwukrotnie stanął na podium, a podczas zmagań na torze Snetterton sięgnął po pole position[3]. Ostatecznie w klasyfikacji końcowej znalazł się na 4. pozycji[potrzebny przypis].
Na początku sezonu 2011, Kwiat zaliczył udział w czterech eliminacjach serii Toyota Racing. Rosjanin sześciokrotnie znalazł się na podium. Jedyne zwycięstwo odnotował w pierwszym starcie, na torze Manfeild Autocourse[4].
Po jednorazowym występie w Europejskim Pucharze Formuły Renault 2.0 (na torze Circuit de Catalunya uplasował się odpowiednio na osiemnastym i ósmym miejscu) Kwiat został etatowym zawodnikiem Koiaren Motorsport nie tylko w tej serii, ale także w Północnoeuropejskim cyklu Formuły Renault. Kwiat sześciokrotnie meldował się w czołowej trójce, a podczas rywalizacji na torze Spa-Francorchamps i Nürburgring odnotował po jednym zwycięstwie (w Niemczech oraz na Węgrzech uzyskał pole position). Dzięki zdobytym punktom zmagania zakończył na 3. lokacie[potrzebny przypis].
W Formule Renault NEC 2.0 Kwiat spisał się jeszcze lepiej. W ciągu sezonu aż trzynastokrotnie stawał na podium, odnosząc przy tym siedem zwycięstw (w tym całkowicie zdominował rywalizację na kończącym kalendarz torze Monza[5]). Ostatecznie sięgnął po tytuł wicemistrzowski, ulegając jedynie swojemu koledze z programu Red Bulla, Hiszpanowi Carlosowi Sainzowi Jr[6].
W przeciwieństwie do hiszpańskiego kolegi, Kwiat postanowił pozostać w formule tej klasy, ponownie ścigając się w barwach fińskiej ekipy. Tym razem jednak na rzecz Północnoeuropejskiego Pucharu Formuły Renault 2.0 wybrał Formułę Renault 2.0 Alps[7][8]. Rosjanin w obu seriach okazał się najczęściej wygrywającym zawodnikiem, triumfując w siedmiu z czternastu wyścigów. Rosjaninowi przytrafiło jednak kilka mniej udanych występów, czego następstwem było przegranie mistrzostwa w Europejskim Pucharze Formuły Renault 2.0, natomiast w Formule Renault 2.0 Alps pokonał rywala różnicą zaledwie trzech punktów[9].
Rosyjska Federacja Samochodowa uznała Kwiata za rosyjskiego kierowcę wyścigowego roku[10].
Kwiat podpisał kontrakt na starty w serii GP3 na sezon 2013 z zespołem MW Arden[19][20]. Tam zabłysnął szczególnie w drugiej części sezonu, kiedy to trzykrotnie zwyciężał i pięciokrotnie stawał na podium. Ostatecznie uzbierane 168 punktów w klasyfikacji generalnej pozwoliło mu pokonać wszystkich rywali z serii i zdobyć tytuł mistrzowski[potrzebny przypis].
Formuła 1
21 października 2013 roku Daniił Kwiat, został zakontraktowany na starty w Formule 1 jako kierowca Scuderii Toro Rosso w sezonie 2014[21][22]. Tym samym został drugim rosyjskim kierowcą w historii Formuły 1. Już w Australii, w pierwszym wyścigu sezonu zdobył pierwsze dwa punkty, stając się jednocześnie nie tylko najmłodszym kierowcą, ale również najmłodszym zdobywcą punktów w Formule 1. Swój dorobek punktowy powiększał jeszcze czterokrotnie - w Malezji, Chinach, Wielkiej Brytanii i Belgii. W ostatecznym rozrachunku Rosjanin przegrał jednak ze swoim partnerem zespołowym Jeanem-Ériciem Vergne o 14 punktów. Mimo to po ogłoszeniu odejścia Sebastiana Vettela z Red Bull Racing, to Kwiat został zakontraktowany w roli etatowego kierowcy w tym zespole[potrzebny przypis]. W sezonie 2015 Kwiat po raz pierwszy stanął w karierze na podium. Miało to miejsce podczas Grand Prix Węgier. Rosyjski kierowca wystartował z siódmego pola, natomiast wyścig zakończył na drugim miejscu za Sebastianem Vettelem a przed swoim ówczesnym kolegą z zespołu - Danielem Ricciardo. Sezon 2015 zakończył na siódmym miejscu z dorobkiem 95 punktów pokonując Ricciardo o 3 punkty. W sezonie 2016 podczas Grand Prix Chin stanął po raz drugi w karierze na podium zajmując trzecie miejsce. W wyścigu o Grand Prix Rosji spowodował kolizję z Sebastianem Vettelem eliminując Niemca z wyścigu na pierwszm okrążeniu. Za ten incydent został ukarany karą 10 sekund stop&go. Po tym wyścigu decyzją Helmuta Marko miejsce Kwiata w Red Bullu zajął Max Verstappen, natomiast Rosjanin został przeniesiony z powrotem do Scuderii Toro Rosso. W wyścigu o Grand Prix Hiszpanii po raz pierwszy w karierze uzyskał najlepszy czas okrążenia. Przez cały sezon zdobył 4 punkty. W sezonie 2017 Kwiat zdobył jedynie 5 punktów. Od wyścigu o Grand Prix Malezji miejsce Rosjanina zajął Pierre Gasly. Kwiat wystartował jeszcze w wyścigu o Grand Prix USA, gdzie zdobył 1 punkt za dziesiąte miejsce. Po tym wyścigu został usunięty z programu kierowców Red Bulla. Sezon 2018 spędził jako kierowca testowy Ferrari. Został ogłoszony kierowcą zespołu Scuderia Toro Rosso na rok 2019.[23] W wyścigu o Grand Prix Niemiec Kwiat po raz trzeci w karierze stanął na podium zajmując trzecie miejsce.
