29 sierpnia 2020 na oficjalnej stronie internetowej hiszpańskiego klubu poinformowano o zawarciu kontraktu z zawodnikiem do końca czerwca 2023[1]. Koszt transferu wyniósł około 2 000 000 € z bonusami[2]. Dla Damiana Kądziora był to drugi zagraniczny zespół w karierze. Polak zadebiutował w barwach Eibaru 12 września w domowym meczu 1. kolejki Primera División z Celtą Vigo, gdy w 61. minucie zmienił Takashiego Inuiego[3]. W podstawowej jedenastce po raz pierwszy wyszedł w 3. kolejce ligowej podczas derbów Baskonii z Athletikiem Bilbao[4]. W porozumieniu z selekcjonerem reprezentacji PolskiJerzym Brzęczkiem, zrezygnował z udziału w listopadowym zgrupowaniu kadry, by pozostać na zajęciach w ośrodku treningowym Atxabalpe[5]. Debiut w Pucharze Króla Kądzior zanotował podczas pierwszej rundy na wyjeździe w Logroño, gdzie rozegrał pełne spotkanie. Przez następne 2 tygodnie nie trenował z powodu zakażenia wirusem grypy[6]. Przerwę w ligowych występach, trwającą od 30 października, zakończył 29 grudnia na Camp Nou, rozgrywając w podstawowym składzie 81. minut przeciwko FC Barcelonie[7]. Pierwszą asystę dla Eibaru zanotował w swoim ósmym występie, gdy w 14. minucie styczniowego spotkania drugiej rundy Pucharu Króla celnie dośrodkował do Yoshinoriego Muty[8]. W zimowym oknie transferowym Polak uzyskał od hiszpańskiego klubu zgodę na płatne wypożyczenie - Kądzior od podpisania kontraktu zagrał w 8 z 21 spotkań Eibaru[9].
Alanyaspor
19 stycznia 2021 na oficjalnej stronie internetowej tureckiego klubu poinformowano o wypożyczeniu zawodnika do końca sezonu 2020/2021[10]. Polak przeszedł pozytywnie testy medyczne dzień przed podpisaniem półrocznego kontraktu[11]. Koszt wypożyczenia wyniósł około 150 000 €[12]. Kądzior zadebiutował w barwach Alanyasporu 21 stycznia w wyjazdowym meczu 20. kolejki Süper Lig z BB Erzurumsporem, gdy w 74. minucie zmienił Adama Bareiro[13]. Przed debiutem odbył z zespołem tylko dwie sesje treningowe[14]. Pierwszą asystę dla tureckiego klubu zanotował w swoim ósmym ligowym występie, gdy w 54. minucie marcowego spotkania przeciwko Göztepe SK celnie dośrodkował z rzutu rożnego do Georgiosa Tzavellasa[15]. W meczu 30. kolejki Süper Lig po interwencji gracza Trabzonsporu Polak doznał urazu stawu skokowego, po którym został zniesiony na noszach w 61. minucie[16]. W marcu Kądzior nie znalazł się na liście zawodników powołanych przez Paulo Sousę na zgrupowanie reprezentacji Polski, w trakcie którego rozegrali oni 3 mecze eliminacji do Mistrzostw Świata 2022[17].