Orientacja zdefiniowana przez uporządkowany zbiór wektorów.

Odwrotna orientacja odpowiadająca ujemnemu iloczynowi zewnętrznemu.

Interpretacja geometryczna iloczynu zewnętrznego ${\displaystyle n}$ elementów: Geometryczna interpretacja elementów stopnia n algebry zewnętrznej dla n=0 (pojedynczy punkt), 1 (zorientowany odcinek prostej), 2 (zorientowany element powierzchni), 3 (zorientowany element objętości). Iloczyn zewnętrzny n wektorów można zobrazować jako dowolny n-wymiarowy obiekt (e.g. n-równoległościan, n-elipsoida); wielkość n-wymiarowych obiektów jest równa wielkości ograniczonej ich brzegiem (np. długość odcinka, pole elementu powierzchni, objętość równoległościanu, hiperobjętość n-równoległościanu), a jej znak zależy od tego, czy jego orientacja jest zgodna czy przeciwna do przyjętej w przestrzeni orientacji.

Iloczyn zewnętrzny – konstrukcja algebraiczna używana w geometrii do badania powierzchni, objętości i ich analogów w wyższych wymiarach. Iloczyn zewnętrzny dwóch wektorów ${\displaystyle \mathbf {u} }$ oraz ${\displaystyle \mathbf {v} ,}$ oznacza się symbolem ${\displaystyle \mathbf {u} \land \mathbf {v} }$ i nazywa się biwektorem; biwektor leży w przestrzeni zwanej zewnętrznym kwadratem, która jest przestrzenią inną niż oryginalna przestrzeń wektorowa. Wartość iloczynu jest równa powierzchni równoległoboku o bokach ${\displaystyle u}$ oraz ${\displaystyle v.}$ W trzech wymiarach można ją obliczyć jako wartość iloczynu wektorowego wektorów ${\displaystyle \mathbf {u} }$ oraz ${\displaystyle \mathbf {v} .}$

Podobnie jak iloczyn wektorowy, iloczyn zewnętrzny jest antyprzemienny, tj. ${\displaystyle \mathbf {u} \land \mathbf {v} =-(\mathbf {v} \land \mathbf {u} ).}$ W odróżnieniu jednak od iloczynu wektorowego iloczyn zewnętrzny jest łączny, tj. ${\displaystyle (\mathbf {u} \land \mathbf {v} )\land \mathbf {w} =\mathbf {u} \land (\mathbf {v} \land \mathbf {w} ).}$

Biwektor można wyobrazić sobie jako rodzinę równoległoboków leżących w tej samej płaszczyźnie, mających tę samą powierzchnię i tę samą orientację – zgodną lub przeciwną do ruchu wskazówek zegara.

Z definicji wynika, że np.

${\displaystyle \mathbf {u} \land \mathbf {v} =0,}$

jeżeli wektory ${\displaystyle u,v}$ są równoległe.

(1) Płaszczyzna ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$ jest przestrzenią wektorową 2-wymiarową, której bazę stanowi para wektorów

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.}$

Niech dane będą dwa wektory ${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {w} ={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}=c\mathbf {e} _{1}+d\mathbf {e} _{2},}$

które wyznaczają równoległobok, mający ${\displaystyle \mathbf {v} }$ oraz ${\displaystyle \mathbf {w} }$ jako boki. Powierzchnia tego równoległoboku dana jest wyrażeniem

${\displaystyle {\text{Area}}={\big |}\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} &\mathbf {w} \end{bmatrix}}{\big |}=\left|\det {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\right|=\left|ad-bc\right|.}$

(2) Obliczmy teraz iloczyn zewnętrzny wektorów ${\displaystyle \mathbf {v} }$ oraz ${\displaystyle \mathbf {w} {:}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} &=(a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2})\wedge (c\mathbf {e} _{1}+d\mathbf {e} _{2})\\&=ac\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}+ad\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+bc\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}+bd\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}\\&=\left(ad-bc\right)\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\end{aligned}}}$

– w pierwszym kroku wykorzystane zostało prawo rozdzielności iloczynu zewnętrznego, a ostatni etap używa faktu, że ${\displaystyle \mathbf {e} _{2}\land \mathbf {e} _{1}=-(\mathbf {e} _{1}\land \mathbf {e} _{2}).}$ (Wynika stąd np. że ${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}=\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}=0}$). Współczynnik w ostatnim wyrażeniu jest równy wyznacznikowi macierzy ${\displaystyle [\mathbf {v\ w} ].}$ Fakt, że może być on dodatni lub ujemny oznacza, że zależy on od kolejności mnożonych wektorów ${\displaystyle \mathbf {v} }$ oraz ${\displaystyle \mathbf {w} ,}$ która to kolejność może wyznaczać obrót zgodny ze wskazówkami zegara lub przeciwny. Taka powierzchnia nazywa się powierzchnią zorientowaną: wartość iloczynu jest równa wielkości powierzchni, zaś znak określa orientację.

Jeżeli ${\displaystyle A(\mathbf {v,w} )}$ jest powierzchnią zorientowaną, rozpiętą przez wektory ${\displaystyle \mathbf {v} }$ oraz ${\displaystyle \mathbf {w} ,}$ to ${\displaystyle A}$ ma następujące właściwości:

1. ${\displaystyle A(j\mathbf {v} ,k\mathbf {w} )=jkA(\mathbf {v} ,k\mathbf {w} )}$ dla dowolnych liczb rzeczywistych ${\displaystyle j}$ oraz ${\displaystyle k,}$ ponieważ przeskalowując boki zmieniamy wielkość równoległoboku, jak również orientację – gdy mnożymy wektor przez liczbę ujemną.
2. ${\displaystyle A(\mathbf {v,v} )=0,}$ ponieważ powierzchnia zdegenerowanego równoległoboku jest równa 0.
3. ${\displaystyle A(\mathbf {w,v} )=-A(\mathbf {v,w} ),}$ ponieważ zmiana kolejności wektorów ma zmieniać znak.
4. ${\displaystyle A(\mathbf {v} +j\mathbf {w} ,\mathbf {w} )=A(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}$ dla dowolnych ${\displaystyle j,}$ ponieważ dodanie wielokrotności wektora ${\displaystyle \mathbf {w} }$ do ${\displaystyle \mathbf {v} }$ nie zmienia ani podstawy, ani wysokości równoległoboku – w efekcie zachowuje powierzchnię.
5. ${\displaystyle A(\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2})=1,}$ ponieważ wielkość jednostkowego kwadratu jest równa 1.

W pewnym sensie iloczyn zewnętrzny uogólnia pojęcie powierzchni, gdyż pozwala porównywać powierzchnie dowolnych elementów w przestrzeni np. z powierzchnią jednostkowego kwadratu. Innymi słowy:

Iloczyn zewnętrzny daje niezależne od układu współrzędnych pojęcie pola powierzchni oraz metodę jej obliczania.

Iloczyn zewnętrzny jest działaniem służącym do tworzenia wielowektorów. Działanie to jest

• liniowe: ${\displaystyle \mathbf {u} \wedge (\alpha \mathbf {v} +\beta \mathbf {w} )=\alpha \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} +\beta \mathbf {u} \wedge \mathbf {w} ,}$
• łączne: ${\displaystyle (\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} )\wedge \mathbf {w} =\mathbf {u} \wedge (\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} )=\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} ,}$
• alternujące: ${\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =-\mathbf {v} \wedge \mathbf {u} ,\quad \mathbf {u} \wedge \mathbf {u} =0,}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {u} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ oraz ${\displaystyle \mathbf {w} }$ są wektorami w ${\displaystyle V,}$ zaś ${\displaystyle \alpha ,\ \beta }$ to skalary.

Iloczyn ${\displaystyle p}$ wektorów jest nazywany wielowektorem stopnia p lub p-wektorem. Maksymalny stopień wielowektorów jest równy wymiarowi przestrzeni wektorowej ${\displaystyle V.}$

Liniowość iloczynu zewnętrznego pozwala definiować wielowektory jako kombinacje liniowe wielowektorów bazowych. Jest ${\displaystyle {\tbinom {n}{p}}}$ p-wektorów ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle n}$-wymiarowej przestrzeni wektorowej^[1]

Wielowektor (zwany liczbą Clifforda) jest podstawowym elementem algebry zewnętrznej. Jeżeli ${\displaystyle V}$ jest przestrzenią n-wymiarową, to k-wektorem nazywa się obiekt o postaci

${\displaystyle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},}$

gdzie ${\displaystyle v_{1},\dots ,v_{k}}$ są wektorami w przestrzeni ${\displaystyle V.}$

• forma różniczkowa

• W. Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.
• Roger Penrose, Droga do rzeczywistości, Prószyński i S-ka, Warszawa 2010.

• Exterior algebra (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].