Nie mylić z: algebrą ogólną.

Algebra nad ciałem (algebra liniowa) – przestrzeń liniowa wyposażona w dwuliniowe (wewnętrzne) działanie dwuargumentowe, nazywane mnożeniem (wektorów), które czyni z niej pierścień^[1] (niekoniecznie łączny).

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią liniową nad ciałem ${\displaystyle K.}$ Jeżeli dane jest działanie dwuargumentowe ${\displaystyle X\times X\to X}$ mnożenia wektorów, które dla dowolnych ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in X}$ oraz ${\displaystyle a\in K}$ spełnia warunki

• lewostronnej i prawostronnej rozdzielności względem dodawania wektorów,

  ${\displaystyle (\mathbf {x} \mathbf {+} \mathbf {y} )\mathbf {z} =\mathbf {xz} \mathbf {+} \mathbf {yz} ,}$

  ${\displaystyle \mathbf {x} (\mathbf {y} \mathbf {+} \mathbf {z} )=\mathbf {xy} \mathbf {+} \mathbf {xz} ,}$

• zgodności z działaniem mnożenia przez skalary,

  ${\displaystyle a(\mathbf {xy} )=(a\mathbf {x} )\mathbf {y} =\mathbf {x} (a\mathbf {y} ),}$

to ${\displaystyle X}$ z tak wprowadzoną strukturą nazywa się algebrą nad ciałem ${\displaystyle K}$ bądź ${\displaystyle K}$-algebrą.

Bazą algebry ${\displaystyle X}$ nazywa się bazę przestrzeni liniowej ${\displaystyle X.}$

Wymiarem algebry ${\displaystyle X}$ jest wymiar przestrzeni ${\displaystyle X.}$

Podalgebrą algebry ${\displaystyle X}$ nazywa się jej podprzestrzeń liniową ${\displaystyle Y,}$ która jest zarazem podpierścieniem pierścienia ${\displaystyle X,}$ tzn. jeżeli ${\displaystyle \mathbf {y} ,\mathbf {z} \in Y,}$ to ${\displaystyle \mathbf {yz} \in Y}$ oraz ${\displaystyle \mathbf {zy} \in Y.}$

Ideałem lewostronnym (lub ideałem prawostronnym) algebry nazywa się taką jej podprzestrzeń liniową ${\displaystyle Y,}$ która jest lewostronnym (odpowiednio prawostronnym) ideałem pierścienia ${\displaystyle X,}$ a więc jeżeli ${\displaystyle \mathbf {y} \in Y}$ oraz ${\displaystyle \mathbf {x} \in X,}$ to ${\displaystyle \mathbf {xy} \in Y}$ (odpowiednio ${\displaystyle \mathbf {yx} \in Y}$).

– algebra, w której mnożenie wektorów jest łączne.

Powstały pierścień jest łączny (jest to jeden z najczęściej nakładanych na pierścienie warunków).

– algebra, w której mnożenie wektorów jest przemienne.

Algebra przemienna tworzy wtedy pierścień przemienny, a warunki lewo- i prawostronnej rozdzielności są równoważne.

– zwana też algebrą unitarną, nieściśle: algebrą z jednością – algebra, w której działanie ma element neutralny różny od elementu zerowego ${\displaystyle \mathbf {0} .}$

Oznacza to, że pierścień ma jedynkę i jest przy tym nietrywialny.

– algebra z jedynką, w której każdy niezerowy element jest odwracalny.

Oznacza to, że pierścień jest z dzieleniem.

Tw. Algebra łączna i przemienna z dzieleniem tworzy ciało.

Ponieważ algebra jest jednocześnie przestrzenią liniową i pierścieniem to homomorfizmem algebr nazywamy funkcję która jest jednocześnie homomorfizmem przestrzeni liniowych i homomorfizmem pierścieni^[2]. Tzn. homomorfizmem algebr ${\displaystyle (A_{1},\cdot ),\ (A_{2},\bullet )}$ nad tym samym ciałem ${\displaystyle K}$ nazywamy funkcję ${\displaystyle h:A_{1}\to A_{2}}$ która spełnia

${\displaystyle h(v+w)=h(v)+h(w)}$

${\displaystyle h(\alpha v)=\alpha h(v)}$

${\displaystyle h(v\cdot w)=h(v)\bullet h(w).}$

• Dowolne ciało tworzy algebrę nad samym sobą (w tym ciało liczb zespolonych).
• Algebra kwaternionów (pierścień z dzieleniem) – to algebra nieprzemienna.
• Każde rozszerzenie ciała ${\displaystyle L\supseteq K}$ może być traktowane jako ${\displaystyle K}$-algebra przemienna z mnożeniem zewnętrznym elementów z ${\displaystyle L}$ przez elementy z ${\displaystyle K}$ zdefiniowanym jako zawężenie mnożenia ${\displaystyle \cdot \colon L\times L\to L}$ do ${\displaystyle \cdot |_{K}\colon K\times L\to L.}$
• Algebra macierzy: zbiór macierzy kwadratowych stopnia ${\displaystyle n>1}$ nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, z dodawaniem i mnożeniem macierzy przez siebie oraz mnożeniem macierzy przez skalar; jest to algebra nieprzemienna o wymiarze ${\displaystyle n^{2}.}$
• Algebra endomorfizmów: zbiór wszystkich endomorfizmów przestrzeni liniowej (zob. przekształcenie liniowe) ${\displaystyle V}$ wymiaru większego niż ${\displaystyle 1}$ z działaniami ich dodawania i mnożenia oraz mnożenia endomorfizmów przez skalary (określonymi punktowo) jest algebrą nieprzemienną.
• Pierścień wielomianów ${\displaystyle K[X]}$ oraz ciało wyrażeń wymiernych ${\displaystyle K(X)}$ (bądź odpowiednio funkcji wielomianowych oraz funkcji wymiernych) z dodawaniem i mnożeniem elementów oraz mnożeniem ich przez skalar (określonymi punktowo, zob. przestrzeń funkcyjna) tworzą zwykle algebry nieprzemienne.
• Algebra Liego – algebra, w której mnożenie wektorów jest dwuliniowe, antysymetryczne i spełnia tożsamość Jacobiego. Mnożenie to nazywa się nawiasem Liego.
• Algebra Leibniza – algebra, w której mnożenia spełnia tożsamość Leibniza. Algebra Leibniza jest algebrą Liego wtedy i tylko wtedy, gdy mnożenie jest antyprzemienne. Każdą algebrę łączną można przekształcić w algebrę Liego / Leibniza, jeżeli zdefiniuje się działanie mnożenia jako komutator / antykomutator.
• Funkcje schodkowe^{[potrzebny przypis]};
• Algebra zerowa, w której iloczyn dowolnych dwóch elementów wynosi 0, jest algebrą łączną i przemienną, ale nie unitarną. Może być rozszerzona do algebry z jedynką poprzez wzięcie sumy prostej jej i ciała, czego przykładem są liczby dualne.
• Algebra grupowa, zdefiniowana dla dowolnej grupy skończonej ${\displaystyle G}$ jako zbiór wszystkich wyrażeń formalnych postaci ${\displaystyle \sum _{g\in G}\alpha _{g}g,}$ gdzie współczynniki są elementami ciała. Działania dodawania i mnożenia przez skalary są określone tak jak w przestrzeniach wektorowych. Mnożenie jest zdefiniowane jako mnożenie wyrażeń algebraicznych, gdzie mnożeniu elementów ${\displaystyle G}$ odpowiada działanie grupowe.
• Algebra incydencji, zdefiniowana dla dowolnego lokalnie skończonego częściowego porządku ${\displaystyle (X,\leqslant )}$ jako zbiór funkcji na parach ${\displaystyle a,b}$ elementów ${\displaystyle X}$ równych 0 dla wszystkich par niespełniających ${\displaystyle a\leqslant b.}$ Dodawanie i mnożenie przez skalar są zdefiniowane punktowo; mnożenie za pomocą splotu ${\displaystyle (f*g)(a,b)=\sum _{a\leqslant x\leqslant b}f(a,x)g(x,b).}$ Dla porządku lokalnie skończonego taka suma ma skończenie wiele składników.

• *-algebra
• algebra Jordana
• algebra Leibniza