En ring er i matematikk en algebraisk struktur definert med to binæroperasjoner , addisjon og multiplikasjon
[ 1] , som har mange av de samme egenskapene som vi finner hos heltallene . Mengden av hele tall
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
, sammen med den vanlige definisjonen av addisjon og multiplikasjon, er et eksempel på en ring. Denne kan utvides til nye ringer. Ett eksempel er gaussiske heltall
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
. Mengden av alle matriser er et eksempel på en ikke-kommutativ ring.
Definisjon
En ring
R
{\displaystyle R}
er en trippel
(
R
,
+
,
⋅ ⋅ -->
)
{\displaystyle (R,+,\cdot )}
, hvor
R
{\displaystyle R}
er en mengde og
+
:
R
× × -->
R
→ → -->
R
{\displaystyle +:R\times R\to R}
og
⋅ ⋅ -->
:
R
× × -->
R
→ → -->
R
{\displaystyle \cdot :R\times R\to R}
binæroperasjoner slik at følgende aksiomer er oppfylt. For alle
a
,
b
,
c
∈ ∈ -->
R
{\displaystyle a,b,c\in R}
har vi:
(assosiativitet )
(
a
+
b
)
+
c
=
a
+
(
b
+
c
)
{\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}
(kommutativitet )
a
+
b
=
b
+
a
{\displaystyle a+b=b+a}
(additiv identitet ) Det fins et element
0
∈ ∈ -->
R
{\displaystyle 0\in R}
slik at
0
+
a
=
a
+
0
=
a
{\displaystyle 0+a=a+0=a}
(multiplikativ identitet ) Det fins et element
1
∈ ∈ -->
R
{\displaystyle 1\in R}
slik at
1
⋅ ⋅ -->
a
=
a
⋅ ⋅ -->
1
=
a
{\displaystyle 1\cdot a=a\cdot 1=a}
(additiv invers) Det fins et element
d
∈ ∈ -->
R
{\displaystyle d\in R}
slik at
a
+
d
=
0
{\displaystyle a+d=0}
(distributivitet )
a
⋅ ⋅ -->
(
b
+
c
)
=
a
⋅ ⋅ -->
b
+
a
⋅ ⋅ -->
c
{\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}
og
(
a
+
b
)
⋅ ⋅ -->
c
=
a
⋅ ⋅ -->
c
+
b
⋅ ⋅ -->
c
{\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}
(
R
,
+
)
{\displaystyle (R,+)}
er med andre ord en abelsk gruppe og
(
R
,
⋅ ⋅ -->
)
{\displaystyle (R,\cdot )}
er en semigruppe .
Videre definisjoner
(
R
,
+
,
⋅ ⋅ -->
)
{\displaystyle (R,+,\cdot )}
er en kommutativ ring viss
⋅ ⋅ -->
{\displaystyle \cdot }
også er kommutativ:
a
⋅ ⋅ -->
b
=
b
⋅ ⋅ -->
a
{\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}
for alle
a
,
b
∈ ∈ -->
R
{\displaystyle a,b\in R}
.
(
R
,
+
,
⋅ ⋅ -->
)
{\displaystyle (R,+,\cdot )}
er en kropp viss
(
R
∗ ∗ -->
,
⋅ ⋅ -->
)
{\displaystyle (R^{*},\cdot )}
danner en gruppe, hvor
R
∗ ∗ -->
{\displaystyle R^{*}}
er mengden av alle elementer i
R
{\displaystyle R}
utenom den additive identiteten
0
{\displaystyle 0}
.
Referanser
^ John B. Fraleigh (1982). A First Course in Abstract Algebra . Addison-Wesley. s. 206-209. ISBN 0-201-10406-7 .