Pascals snegle

Pascals snegle eller limaçon er en plan kurve av fjerde grad. Den er en epitrokoide hvor forholdet mellom radiene til de to sirklene er R/r = 1. Ved bruk av polarkoordinater (r,θ) er den gitt ved ligningen

r(\theta )=a+b\cos \theta

Dens form avhenger av forholdet b/a. I det spesielle tilfellet at b/a = 1, blir den en kardioide eller hjertekurve. Når a < b vil den skjære seg selv i et punkt slik at den inneholder en løkke. Derimot når a > 2b er den overalt konveks.

Kurven ble opprinnelig studert av Albrecht Dürer i sitt verk Underweysung der Messung fra 1525. Her ga han flere, geometriske metoder for å fremstille den. Omtrent hundre år senere ble dette arbeidet tatt opp igjen av Étienne Pascal som var far til Blaise Pascal. Siden er hans navn blitt knyttet til denne kurven.

Matematisk fremstilling

En limaçon kan fremstilles som en epitrokoide som består av to sirkler med samme størrelse.

Fra definisjonen kan kurven fremstilles i kartesiske koordinater ved sammenhengene x = r cosθ og y = r sinθ. De gir

x(\theta )=a\cos \theta +{b \over 2}\cos 2\theta +{b \over 2}

y(\theta )=a\sin \theta +{b \over 2}\sin 2\theta

Pascals sneglekurve er derfor en epitrokoide hvor argumentene til de trigonometriske funksjonene viser at den er generert av to sirkler med like store radier hvorav den ene ruller utenpå den andre. Konstanten b/2 tilsvarer en forflytning med den størrelse langs x-aksen.^[1]

En mer kompakt fremstilling av kurven fås ved bruk av den komplekse koordinaten z = x + iy. Den blir

z=ae^{i\theta }+{b \over 2}e^{2i\theta }+{b \over 2}

ved å benytte Eulers formel $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ . Hvis vinkelen θ øker jevnt med tiden t slik at θ = ωt der ω er vinkelhastigheten, beskriver de to eksponentialfunksjonene rotasjonen av den ene sirkelen hvis senter roterer utenfor den andre.^[2]

Fjerdegradskurve

En implisitt ligning for Pascals sneglekurve i kartesiske koordinater kan også gis. Den finnes mest direkte ved å skrive $r^{2}-bx=r(r-b\cos \theta )=ar$ slik at

(x^{2}+y^{2}-bx)^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2})

siden man har $r^{2}=x^{2}+y^{2}$ . Denne kurven er derfor av fjerde grad.

Limaçon som omhyllingskurve

Pascals snegle kan fremstilles som omhyllingskurven for alle sirkler som har sitt senter på en gitt sirkel og går gjennom et gitt punkt. Hvis den gitte sirkelen har radius a og senter i punkt (b, 0) på x-aksen, kan man velge det gitte punkt å ligge i origo.

Et punkt på den gitte sirkelen har da koordinatene

x_{c}=b+a\cos \theta \,,\;\;y_{c}=a\sin \theta

hvor θ er en polar vinkel. Den kvadrerte radius til ny sirkel sentrert i dette punktet og som går gjennom origo, vil nå være

r_{c}^{2}=x_{c}^{2}+y_{c}^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab\cos \theta

i overensstemmelse med cosinussetningen. Skaren av slike sirkler er gitt ved ligningen $(x-x_{c})^{2}+(y-y_{c})^{2}=r_{c}^{2}$ eller $F(x,y,\theta )=0$ hvor

F(x,y,\theta )=x^{2}+y^{2}-2x(b+a\cos \theta )-2ya\sin \theta

For at to sirkler i denne skaren med nesten samme verdi av parameteren θ skal tangere den samme omhyllingskurven, må F_θ = ∂F/∂θ = 0. Nå er F_θ = 2a(x sinθ - y cosθ) slik at denne betingelsen er oppfylt når punktene (x,y) på omhyllingskurven kan skrives på formen x = r cosθ og y = r sinθ. Den ukjente størrelsen r bestemmes fra F = 0 som gir den ikke-trivielle løsningen r = 2(a + b cosθ). Bortsett fra en faktor 2, er dette ligningen for Pascals snegle.

Referanser

^ R. Tambs Lyche, Matematisk Analyse I, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1961).
^ C.G. Gibson, Elementary Geometry of Differentiable Curves, Cambridge University Press, England (2001). ISBN 0-521-01107-8.

Eksterne lenker

MacTutor, Limaçon of Pascal, University of St. Andrews, Scotland.
Albrecht Dürer, Underweysung der Messung, Wikisource
E. Weisstein, Limaçon, Wolfram MathWorld.

Read other articles:

Corry Tendeloo

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Desember 2022. Corry TendelooTendeloo di tahun 1938 Anggota dari Dewan Perwakilan Rakyat BelandaMasa jabatan20 November 1945 – 18 Oktober 1956Anggota dari Dewan Kota AmsterdamMasa jabatan1938–1946 Informasi pribadiLahirNancy Sophie Cornélie Tendeloo(18...

Edi Sugardo

Edi Sugardo Informasi pribadiLahir(1925-06-29)29 Juni 1925Kota Kudus, Kudus, Hindia Belanda JepangMeninggal12 Juli 2002(2002-07-12) (umur 77)Karier militerPihak IndonesiaDinas/cabang TNI Angkatan DaratMasa dinas1945 – ?Pangkat Brigadir Jenderal TNINRP11121SatuanInfanteriSunting kotak info • L • B Brigadir Jenderal TNI (Purn.) Edi Sugardo (29 Juni 1925 – 12 Juli 2002) merupakan seorang perwira tinggi angkatan darat di Indonesia. Ia la...

Bosco–Caesar

Bosco-Caesar pada 2012 Bosco–Caesar adalah duo koreografer India yang berkarya dalam Bollywood. Mereka adalah Bosco Martis dan Caesar Gonsalves, yang berkarya bersama pada 200 lagu dan sekitar 75 film. Mereka menjalankan Bosco Caesar Dance Company di Brampton, Scarborough, Mumbai, Phoolbagan, dan Salt Lake di Kolkata.[1] Referensi ^ Salt Lake: Bosco-Caesar duo open dance company to spot talent and mint money. The Economic Times. 4 September 2012. Diakses tanggal 28 February 2013....

Unnyul County

County in South Hwanghae Province, North KoreaUnryul County 은률군CountyNorth Korean transcription(s) • Chosŏn'gŭl은률군 • Hancha殷栗郡 • McCune–ReischauerŬnnyul-gunSouth Korean transcription(s) • Hangeul은율군 • Revised RomanizationEunyul-gunCountryNorth KoreaProvinceSouth Hwanghae ProvinceArea • Total418.2 km2 (161.5 sq mi)Population (2008[1]) • Total107...

Ludwig Fulda

German playwright and poet Ludwig Anton Salomon FuldaBornJuly 7, 1862FrankfurtDiedMarch 7, 1939Berlin Ludwig Anton Salomon Fulda (July 7, 1862 – March 7, 1939) was a German playwright and poet, with a strong social commitment. He lived with Moritz Moszkowski's first wife Henriette, née Chaminade, younger sister of pianist and composer Cécile Chaminade.[1] Biography He was born in the Free City of Frankfurt. He was a member of the Prussian Academy of Arts and the first president of...

Australian Open 2013

Australian Open 2013 Sport Tennis Data 14 gennaio – 27 gennaio Edizione 101a Categoria Grande Slam (ITF) Superficie Cemento Località Melbourne, Victoria, Australia Campioni Singolare maschile Novak Đoković Singolare femminile Viktoryja Azaranka Doppio maschile Bob Bryan / Mike Bryan Doppio femminile Sara Errani / Roberta Vinci Doppio misto Jarmila Gajdošová / Matthew Ebden Singolare ragazzi Nick Kyrgios Singolare ragazze Ana Konjuh Doppio ragazzi Jay Andrijic / Bradley Mousley Doppio ...

Стеллерова корова

† Стеллерова корова Муляж стеллеровой коровы в Лондонском музее естествознания Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:Челюстно�...

Neverland Ranch

Neverland RanchVeduta aerea della stazione ferroviaria fatta costruire da Michael Jackson nel 1994 al Neverland Valley RanchLocalizzazioneStato Stati Uniti Stato federatoCalifornia LocalitàLos Olivos Indirizzo5225, Figueroa Mountain Rd., Los Olivos - CA 93441 U.S.A. Coordinate34°44′43.52″N 120°05′17.75″W / 34.745421°N 120.088264°W34.745421; -120.088264Coordinate: 34°44′43.52″N 120°05′17.75″W / 34.745421°N 120.088264°W34.745421; -12...

Andries Cornelies Dirk de Graeff

Jonkheer Mr. en Dr.Andries Cornelis Dirk de GraeffAndries Cornelis Dirk de Graeff Gubernur Jenderal Hindia Belanda 67Masa jabatan7 September 1926 – 11 September 1931Penguasa monarkiRatu WilhelminaPendahuluDirk FockPenggantiBonifacius Cornelis de Jonge Informasi pribadiLahir(1872-08-07)7 Agustus 1872Den Haag, BelandaMeninggal24 April 1957 (umur 67)Den Haag, BelandaKebangsaanBelandaHubunganCarel Herman Aart van der Wijck (ayah mertua)Jan Jacob de Graeff (cucu)Dirk Georg de G...

Tellos Agras

Greek combatant during the Macedonian Struggle This article includes a list of references, related reading, or external links, but its sources remain unclear because it lacks inline citations. Please help improve this article by introducing more precise citations. (February 2013) (Learn how and when to remove this message) Tellos AgrasTellos Agras in uniformBirth nameSarantis-Tellos AgapinosΣαράντης-Τέλλος ΑγαπηνόςNickname(s)Tellos AgrasΤέλλος ΆγραςKapetan Agr...

Hans Speidel

German military officer Not to be confused with Hans-Georg von Seidel. Hans SpeidelSpeidel in 1944Born(1897-10-28)28 October 1897Metzingen, Kingdom of Württemberg, German EmpireDied28 November 1984(1984-11-28) (aged 87)Bad Honnef, North Rhine-Westphalia, West GermanyAllegiance German Empire Weimar Republic Nazi Germany West Germany NATOService/branchArmy of WürttembergReichsheerArmy BundeswehrYears of service1914–451955–63RankGeneralleutnant (Wehrma...

Cigaritis nilus

Species of butterfly Cigaritis nilus Figures 11 and 12 Scientific classification Domain: Eukaryota Kingdom: Animalia Phylum: Arthropoda Class: Insecta Order: Lepidoptera Family: Lycaenidae Genus: Cigaritis Species: C. nilus Binomial name Cigaritis nilus(Hewitson, 1865)[1] Synonyms Aphnaeus nilus Hewitson, 1865 Apharitis nilus Aphnaeus subaureus Grose-Smith, 1898 Spindasis kaduglii Bethune-Baker, 1916 Spindasis subaurea f. sabulosa Hawker-Smith, 1929 Cigaritis Nilus, the Saharan S...

Developmental biology

Study of how organisms develop and grow For the journal, see Developmental Biology (journal). Part of a series onBiologyScience of life Index Outline Glossary History (timeline) Key components Cell theory Ecosystem Evolution Phylogeny Properties of life Adaptation Energy processing Growth Order Regulation Reproduction Response to environment Domains and Kingdoms of life Archaea Bacteria Eukarya (Animals, Fungi, Plants, Protists) Branches Abiogenesis Aerobiology Agronomy Agrostology Anatomy As...

1982 Andorran electoral system referendum

Local elections in Andorra 1982 Andorran electoral system referendum 28 May 1982 Majority system 32.78% Proportional system 23.95% Mixed system 43.27% Politics of Andorra Constitution Executive Co-Princes (list) Emmanuel Macron Joan Enric Vives Sicília Representatives Patrick Strzoda Josep Maria Mauri Executive Council of Andorra Head of government Xavier Espot Zamora Legislature General Council General Syndic Roser Suñé Pascuet Administrative divisions Parishe...

Lippo Plaza

Office & Retail in Shanghai, ChinaLippo PlazaLocation within ShanghaiGeneral informationTypeOffice & RetailLocationNo.222 Huai Hai Road Middle, Luwan District, Shanghai, ChinaCompleted1998HeightAntenna spire655 feet (200 m)Roof585 feet (178 m)Technical detailsFloor count40Floor area62,000 m²Design and constructionArchitect(s)Frank C Y Feng Design Architect = Kevin Vatche Aslanian, New York, USA Design Principal = Mike Suzuki, New York, USA Lippo Plaza is a 38 floor tower in...

Melbourne Indoor

Melbourne IndoorSport Tennis CategoriaGrand Prix (1980-1982/1984-1985) Paese Australia LuogoMelbourne SuperficieSintetico indoor CadenzaAnnuale DisciplineSingolo/doppio maschile Partecipanti32S/16Q/16D StoriaFondazione1980 Soppressione1985 Numero edizioni5 Modifica dati su Wikidata · Manuale Il Melbourne Indoor è stato un torneo di tennis facente parte del Grand Prix giocato dal 1980 al 1982 e nel 1984 e 1985 a Melbourne in Australia su campi in sintetico indoor. Indice 1 Albo d'o...

Gália Lugdunense

Nota: Para outros significados, veja Gália (desambiguação). Esta página cita fontes, mas que não cobrem todo o conteúdo. Ajude a inserir referências (Encontre fontes: ABW • CAPES • Google (N • L • A)). (Dezembro de 2022) Provincia Gallia LugdunensisProvíncia Gália Lugdunense Província do(a) Império Romano ← 27 a.C.–297 → → → → Gália Lugdunense, c. 400 Capital Lugduno Líder L...

Yasnaya Polyana

Museum in Russia For other uses, see Yasnaya Polyana (disambiguation). 54°04′34″N 37°31′34″E / 54.07611°N 37.52611°E / 54.07611; 37.52611 House of Leo Tolstoy in Yasnaya Polyana Yasnaya Polyana (Russian: Я́сная Поля́на, IPA: [ˈjasnəjə pɐˈlʲanə], lit. 'Bright Glade') is a writer's house museum, the former home of the writer Leo Tolstoy.[1][2] It is 12 kilometres (7.5 mi) southwest of Tula, Russia, an...

Critical geography

Variant of social science that seeks to interpret and change the world This article needs additional citations for verification. Please help improve this article by adding citations to reliable sources. Unsourced material may be challenged and removed.Find sources: Critical geography – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (October 2016) (Learn how and when to remove this message) Part of a series onGeography Portal Outline History of geography G...

Gloucestershire

County of England This article is about the English county. For the Australian shire, see Gloucester Shire. For the pre-1832 constituency, see Gloucestershire (UK Parliament constituency). County of Gloucester redirects here. For other uses, see Gloucester County (disambiguation). Non-metropolitan and ceremonial county in EnglandGloucestershireNon-metropolitan and ceremonial countyGloucester Cathedral, the village of Bibury in the Cotswolds, and the Second Severn Crossing in South Gloucesters...

/profillengkap.com/index.php/article/Architecture of Peru

/profillengkap.com/index.php/article/Fishplate

EE-T1 Osório

County Kwale

Johanna von Westphalen

1928 United States presidential election in North Dakota

مالفرين (نيويورك)

KYKK (FM)

Suku Rana

العلاقات العراقية الغواتيمالية

Endéné Miyem

La Défense