I trigonometrien er cosinussetningen en setning om sammenhengen mellom sidene i en generell trekant og cosinus til en av vinklene i trekanten. Ved å bruke notasjonen i figur 1, sier cosinussetningen at

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }$

der c er den motstående siden til vinkel γ mellom sidene a og b.

Cosinussetningen generaliserer Pythagoras’ læresetning, som bare gjelder for rettvinklede trekanter: hvis vinkel γ er en rett vinkel (90 grader eller π/2 radianer), blir cosγ = 0, og da reduseres cosinussetningen til

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,}$

som er Pythagoras' læresetning.

Cosinussetningen er nyttig for å regne ut den tredje siden i en trekant når to sider og den mellomliggende vinkelen er kjent, og for å regne ut vinklene i en trekant når alle tre sidene er kjent.

I sfærisk geometri på en kuleflate finnes det også en cosinussetning som det også gjør i hyperbolsk geometri.

Setningen brukes i triangulering for å regne ut sider og vinkler i trekanter. Cosinussetningen kan brukes for å finne (se figur 2)

• den tredje siden i en trekant der to sider og vinkelen mellom dem er kjent:

• vinklene i en trekant der alle tre sidene er kjent:

${\displaystyle \,\gamma =\arccos {\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\,;}$

• den tredje siden i en trekant der to sider og den motstående vinkelen til en av disse er kjent (man kan også bruke Pythagoras' læresetning til dette hvis trekanten er rettvinklet):

${\displaystyle \,a=b\cos \gamma \pm {\sqrt {c^{2}-b^{2}\sin ^{2}\gamma }}\,.}$

Disse formlene gir høye avrundingsfeil i flyttallsberegninger hvis trekanten er meget spiss, det vil si hvis c er liten i forhold til a og b eller γ er liten sammenlignet med 1.

Den tredje formelen vist over er løsningen av andregradsligningen a² − 2ab cosγ + b² − c² = 0 med hensyn på a. Denne ligningen kan ha 2, 1 eller ingen positive løsninger; antallet positive løsninger svarer til antall mulige trekanter som passer til betingelsene. Den vil ha to positive løsninger hvis b sinγ < c < b, bare en positiv løsning hvis c > b eller c = b sinγ, og ingen løsning hvis c < b sinγ.

La sidene være representert ved vektorene a, b og c=a-b. Da har vi at

${\displaystyle {\begin{aligned}|{\vec {c}}|^{2}&{}={\vec {c}}\cdot {\vec {c}}\\&{}=({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})\\&{}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\\&{}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta \end{aligned}}}$

Betrakt en trekant med sider a, b, c, der ${\displaystyle \theta }$ er den motstående vinkelen til side c. Vi kan plassere denne trekanten i et koordinatsystem ved å plotte ${\displaystyle A(b\cos \theta ,\ b\sin \theta ),\ B(a,0),\ {\text{and}}\ C(0,0).}$ Ved å bruke avstandsformelen har vi ${\displaystyle c={\sqrt {(b\cos \theta -a)^{2}+(b\sin \theta -0)^{2}}}}$. Nå arbeider vi bare videre med denne ligningen.

${\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&{}=(b\cos \theta -a)^{2}+(b\sin \theta )^{2}\\c^{2}&{}=b^{2}\cos ^{2}\theta -2ab\cos \theta +a^{2}+b^{2}\sin ^{2}\theta \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )-2ab\cos \theta \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta .\end{aligned}}}$

En fordel med dette beviset er at man ikke behøver å ta i betraktning forskjellige tilfeller ut fra om trekanten er spiss eller stump.

Tegn høyden på side c; vi får (se figur 3)

${\displaystyle c=a\cos(\beta )+b\cos(\alpha )\,.}$

(Dette er fortsatt sant hvis α eller β er stump; i et slikt tilfelle faller høyden utenfor trekanten.) Multipliser hvert ledd med c:

${\displaystyle c^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )\,.}$

Ved å betrakte de andre høydene får vi

${\displaystyle a^{2}=ac\cos(\beta )+ab\cos(\gamma )\,,}$

${\displaystyle b^{2}=bc\cos(\alpha )+ab\cos(\gamma )\,.}$

Ved å legge sammen de to siste ligningene får vi

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )+2ab\cos(\gamma )\,}$.

Ved å trekke den første ligningen fra den siste får vi

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=-ac\cos(\beta )-bc\cos(\alpha )+ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )+2ab\cos(\gamma )\,}$

som kan forenkles til

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma ).\,}$

Mange bevis behandler tilfellene med stump og spiss vinkel γ separat.

Den utvidede cosinussetningen kan brukes til å finne den siste siden i en firkant hvor man kjenner 3 sider og vinklene mellom dem.

${\displaystyle {\begin{aligned}DC&{}={\sqrt {AD^{2}+{\sqrt {AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos(b)}}^{2}-2\cdot AD\cdot {\sqrt {AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos(b)}}\cdot \cos(a-\sin ^{-1}({\frac {\sin(b)\cdot BC}{\sqrt {AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos(b)}}})}}\\\end{aligned}}}$

Som kan forkortes til:

${\displaystyle {\begin{aligned}DC&{}={\sqrt {AD^{2}+AC^{2}-2\cdot AD\cdot AC\cdot \cos(a-\sin ^{-1}({\frac {\sin(b)\cdot BC}{AC}})}}\\\end{aligned}}}$

• Triangulering
• Sinussetningen
• Tangenssetningen

• Mange utledninger av cosinussetningen på cut-the-knot