Kuskveita stammer fra middelalderen i likhet med flere andre veiter som går nord-sør og ender opp i Fjordgata. Opphavet til Kuskveita er ukjent. To teorier finnes, den ene er at navnet kommer av at det påstås å ha vært et artillerilosji her, den andre er at det skal ha vært en skjenkestue i veita, som lå høyere enn gatenivået, som et kuskesete. Ingen av disse er bekreftet.[3] Navnet brukes fra 1768.[4]