Kosior was de zoon van een eenvoudige handelsreiziger van Hongaarse komaf, die zich in de Oekraïne vestigde. In 1907 sloot Kosior zich aan bij de Russische Sociaaldemocratische Arbeiderspartij Toen hij in 1913 naar Moskou trok werd hij door de partij naar Kiev gestuurd om daar illegale partijcellen aan te voeren, maar hij werd vervolgens al snel door de Ochrana opgepakt en naar Siberië gedeporteerd.
Kosior wordt door historici medeverantwoordelijk gehouden voor de enorme hongersnoden in de Oekraïne (Holodomor) in de periode 1932 en 1933.
Ten tijde van de Grote Zuivering, in 1938, werd Kosior gearresteerd, tijdens een schijnproces ter dood veroordeeld en begin 1939 geëxecuteerd, op dezelfde dag als Jan Roedzoetak. In 1956 werd hij onder Chroesjtsjov gerehabiliteerd.
Ook Kosiors broers Vladislav en Josif, beide ook vooraanstaande partijmannen, vielen ten offer aan de Stalinterreur en werden reeds in 1937-1938 doodgeschoten.
