Na het uiteenvallen van de Sovjet-Unie vestigde Beljavsky, die in 1992 nog voor Oekraïne aan de Schaakolympiade deel had genomen, zich in 1994 in Slovenië. Sinds 1996 is hij Sloveens staatsburger en maakt ook onderdeel uit van Sloveense schaakteams.
In 1973 won hij in Stockton-on-Tees de Wereldkampioenschappen voor junioren tot 20 jaar. Het kampioenschap van de Sovjet-Unie won hij in 1974, 1980, 1987 en 1990.
Hij is ook een schaakcoach en in 2004 verkreeg hij de titel FIDE Senior Trainer.
Beljavsky kwalificeerde zich voor het Kandidatentoernooi voor het wereldkampioenschap van 1984; in de kwartfinales van het toernooi werd hij met 3–6 uitgeschakeld door de latere winnaar Garri Kasparov.
Bij de tweede match Sovjet-Unie (Rusland) versus de rest van de wereld, gehouden in 1984, was Beljavsky, opgesteld aan bord 6, met 3.5 pt. uit 4 de topscoorder voor het winnende Sovjet-team; hij versloeg Yasser Seirawan (2–0) en Bent Larsen (1½–½).
In totaal nam Beljavsky tussen 1982 en 2014 deel aan 15 Schaakolympiades. In 1982, 1984, 1988 en 1990 won hij met het team van de Sovjet-Unie, in 1992 speelde hij voor Oekraïne, sinds 1996 speelde hij in de Sloveense teams. In 1982 behaalde hij de derde individuele prestatie aan bord 4, en in 1984 de derde individuele prestatie aan bord 1,[10] en de tweede Elo-prestatie van alle deelnemers.[11]
Met het team van de Sovjet-Unie won Beljavsky in 1985 en 1989 het Wereldkampioenschap voor landenteams, en in beide toernooien behaalde hij aan zijn bord de beste individuele prestatie (in 1985 aan bord 5, samen met Hans-Joachim Hecht, in 1989 aan bord twee).[12]
Beljavsky nam van 1983 tot 2011 deel aan alle elf Europese kampioenschappen voor landenteams, en vervolgens ook in 2015. Hij won het kampioenschap in 1983 en 1989 met de Sovjet-Unie en eindigde in 1992 met het Oekraïense team als tweede.[13]
Schaakverenigingen
Beljavsky speelde in de Duitse bondscompetitie van 1999 tot 2003 voor König Plauen en van 2003 tot 2005 voor SG Porz, waarmee hij in 2004 kampioen van Duitsland werd. In de Oostenrijkse bondscompetitie schaakte Beljavsky van 1996 tot 2002 bij SK Merkur Graz, van 2005 tot 2009 bij Holz Dohr en van 2009 tot 2012 bij SK Baden. Met zijn team werd hij kampioen van Oostenrijk in 1997, 1999, 2001, 2002 en 2012. Beljavsky won in 2005 met ZZICT/De Variant Breda de Nederlandse Meesterklasse. In Hongarije speelde hij tot 2004 bij Miskolci SSC en van 2008 tot 2011 voor Aquaprofit NTSK, in seizoen 2016/17 voor Lila Futó-Hóbagoly SE. Met zijn team werd hij kampioen van Hongarije in 2000, 2001, 2009, 2010 en in 2011. De Oekraïense kampioenschappen voor schaakverenigingen won Beljavsky in 2008 en in 2009 met PVK Kiew,[14] in de Spaanse kampioenschappen voor schaakverenigingen speelde hij in 2005 voor CA La Caja Las Palmas.[15]
