Aleksejev leerde van zijn vader schaken, die ook zijn eerste trainer werd. Na de verhuizing naar St. Petersburg werd Aleksejev door diverse topschakers getraind. Momenteel werkt hij met Sergei Dolmatov. Hij behaalde diverse goede resultaten in Russische en internationale jeugdkampioenschappen.
Individuele resultaten
Bij de Maccabiade in 2001 in Tel Aviv won Aleksejev de gouden medaille met schaken.
Hij werd tweede bij het kampioenschap van St. Petersburg in 2001.
In 2006 won Aleksejev met 7.5 pt. uit 11 partijen het Schaakkampioenschap van Rusland, na in een playoff match Dmitry Jakovenko te hebben verslagen met 1.5 - 0.5.[1]
In 2007 speelde Jevgeni Aleksejev voor het Russische team dat de winnaar werd van het Europees schaakkampioenschap voor landenteams. Hij behaalde het op een na beste resultaat aan het vierde bord.
In 2009 werd hij met zijn team tweede op het Europees schaakkampioenschap voor landenteams.[7]
In 2010 speelde hij bij de 39e Schaakolympiade, gehouden in Khanty-Mansiysk, aan bord 2 van team 2 van Rusland, dat als zesde eindigde.[8]
Schaakverenigingen
In de Russische competitie voor schaakverenigingen speelde Aleksejev in 2001 en 2002 voor St. Petersburg, van 2004 tot 2006 voor Lada Togliatti, van 2007 tot 2013 voor Ekonomist-1 Saratow en sinds 2014 voor Universität Beloretschensk.[9] Met St. Petersburg, Saratow en Beloretschensk nam hij 9 keer deel aan de European Club Cup. In 2009 en 2010 won zijn team en hij bereikte in 2012 het beste resultaat aan bord 3.[10]
In de Bosnische competitie speelde hij in 2004 voor ŠK Kiseljak.[11] In Hongarije won Aleksejev in seizoen 2007/08 met Csuti Antal SK. Zalaegerszeg het kampioenschap voor schaakverenigingen. In Spanje speelde hij in 2007 voor CA Cuna de Dragones-Ajoblanco Mérida en in 2008 voor de kampioen CCA CajaCanarias Santa Cruz.
Aleksejev speelde in seizoen 2006/07 van de Duitse bondscompetitie voor de TV Tegernsee. Van 2011 tot 2014 speelde hij aan bord 1 bij de SV Wiesbaden, in seizoen 2012/13 in de bondscompetitie. Sinds seizoen 2014/15 speelt hij bij TSV Schott Mainz.