Molodkovsko, Sokoluvo Kazunės seniūnas. Radvilų šalininkas.
Baigė Vilniaus pijorų kolegiumą. 1738 metais Adomas Bžostovskis buvo išrinktas pasiuntiniu (deputatu) nuo Kauno pavieto į seimą, 1744 metais – pasiuntinys nuo Slanimo pavieto. 1748 metais gavo generolo-majoro kavalerijoje titulą, vėliau tapo pėstininkų generolu-leitenantu. 1758 metais Adomas Bžostovskis buvo paskirtas Plocko kaštelionu ir Lietuvos tribunolo maršalka.
1764 metų gegužės 7 d. Adomas Bžostovskis kartu su 21 senatoriais pasirašė Karūnos didžiojo etmono Jono Klemensko Branickio manifestą prieš rusų valdininkavimą ir partijos „Familija“ šalininkus. 1766 metais – LDK iždo komisijos narys. 1767 metais prisijungė prie Radomo konfederacijos ir dalyvavo Repnino seime, kuris ratifikavo taikos sutartį su Rusija.
1769 metais Adomas Bžostovskis prisijungė prie Baro konfederacijos. Organizavo ginkluotą partizaninį judėjimą Mažojoje ir Dižiojoje Lenkijoje. Po konfederatų pralaimėjimo emigravo į Saksoniją. 1773 metais jis grįžo į tėvynę ir atsitraukė nuo politinės veiklos. 1776 metais Adomas Bžostovskis atsisakė nuo Plocko kašteliono pareigybės.
Buvo vedęs kunigaikštytę Ganeverą Oginskaitę, Trakų vaivados, kunigaikščio Juozapo Jono Tado Oginskio ir Anos Višnioveckaitės dukterį, nuo santuokos su kuria turėjo tris sūnus:
Polski Słownik Biograficzny – Kraków: Polska Akademia Umiejętności – Skład Główny w Księgarniach Gebethnera i Wolffa, 1937. – Т. 3. – С. 46-47. Reprint: Zakład Narodowy im. Ossolińskich, Kraków 1989, ISBN 8304032910