호프 연환 매듭 이론 에서 호프 연환 (Hopf連環, 영어 : Hopf link )은 서로 얽힌 두 개의 원이다. 가장 간단한, 자명하지 않은 연환 이다.
호프 연환 은 3차원 초구
S
3
{\displaystyle \mathbb {S} ^{3}}
연결 성분 을 가진, 자명하지 않은 유일한 연환 이다. 그 알렉산더-브리그스 기호는
2
1
2
{\displaystyle 2_{1}^{2}}
이는 (2,2)-원환면 연환 이다.
호프 연환
L
{\displaystyle L}
S
3
∖ ∖ -->
L
{\displaystyle \mathbb {S} ^{3}\setminus L}
R
× × -->
S
1
× × -->
S
1
{\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}
미분 동형 이며, 따라서 그 매듭군 은
π π -->
1
(
S
3
∖ ∖ -->
L
)
≅ ≅ -->
Z
⊕ ⊕ -->
2
{\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {S} ^{3}\setminus L)\cong \mathbb {Z} ^{\oplus 2}}
이다.
호프 올뭉치
π π -->
: : -->
S
3
↠ ↠ -->
S
2
{\displaystyle \pi \colon \mathbb {S} ^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {S} ^{2}}
를 생각하자. 임의의
x
,
y
∈ ∈ -->
S
2
{\displaystyle x,y\in \mathbb {S} ^{2}}
x
≠ ≠ -->
y
{\displaystyle x\neq y}
원상 으로 구성된 연환
π π -->
− − -->
1
(
{
x
,
y
}
)
⊊ ⊊ -->
S
3
{\displaystyle \pi ^{-1}(\{x,y\})\subsetneq \mathbb {S} ^{3}}
은 항상 호프 연환이다. 이로부터, 호프 올뭉치 가 자명한 올다발 이 아님을 알 수 있다.
16세기에 센요 소조(일본어 : 専誉 僧正 , 1530~1604)에 의하여 창시된, 진언종 의 종파인 풍산파(일본어 : 豊山派 부잔하[* ] )의 몬 은 호프 연환의 모양을 하고 있다. 또한, 일본 아소(일본어 : 麻生 ) 가문의 가몬 인 지가이쿠기누키(일본어 : 違釘抜 ) 역시 호프 연환을 나타낸다.
또한, 독일 라인란트팔츠 주 의 마을인 포메른안데르모젤(독일어 : Pommern an der Mosel )의 문장 역시 호프 연환을 포함하고 있다.
일본의 아소 가문의
가몬 은 호프 연환을 나타낸다.
독일 포메른안데르모젤의
문장 은 호프 연환을 포함한다.
이후 하인츠 호프 가 1931년에 호프 올뭉치 가 자명한 올다발 이 아님을 증명하기 위하여 이 개념을 사용하였다.[ 1]
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