미적분학에서, 두 급수의 코시 곱(영어: Cauchy product)은 두 급수의 곱으로 수렴하는 급수의 하나다. 두 급수의 합성곱을 항으로 한다.

두 복소수 항 급수 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ 및 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$의 코시 곱은 다음과 같은 급수다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}&=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\cdots +a_{n}b_{0})\\&=a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})+\cdots \end{aligned}}}$

두 급수의 항의 곱을 무한한 행렬

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{0}b_{0}&a_{0}b_{1}&a_{0}b_{2}&\cdots \\a_{1}b_{0}&a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&\cdots \\a_{2}b_{0}&a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots \end{matrix}}}$

위에 배열하였을 때, 코시 곱의 ${\displaystyle n}$번째 항은 (오른쪽 위에서 왼쪽 아래로 향하는) ${\displaystyle n}$번째 대각선 성분들의 합이다.

만약 두 급수 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$, ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$와 코시 곱 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}}$이 모두 수렴한다면, 코시 곱은 두 급수의 곱이다.^{[1]:321, Theorem of Abel}

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)}$

이는 아벨 극한 정리를 통해 보일 수 있으며, 닐스 헨리크 아벨이 처음 증명하였다.

메르텐스 정리(영어: Mertens' theorem)에 따르면, 임의의 두 수렴급수 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$, ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$에 대하여, 만약 적어도 하나가 절대 수렴한다면, 코시 곱은 수렴한다.^{[1]:321, Theorem of Mertens}

임의의 두 절대 수렴 급수 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$, ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$ 및 임의의 전단사 함수 ${\displaystyle \sigma \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$에 대하여, 급수

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma _{1}(n)}b_{\sigma _{2}(n)}}$

는 절대 수렴하며,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{\sigma _{1}(n)}b_{\sigma _{2}(n)}=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)}$

이다. 특히, 두 절대 수렴 급수의 코시 곱은 절대 수렴한다.

두 복소수 계수 멱급수 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}}$ 및 ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-a)^{n}}$의 코시 곱

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(x-a)^{n}\sum _{k=0}^{n}a_{n-k}b_{k}}$

은 통상적인 곱과 일치한다.

급수

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n}}}}$

는 교대급수 판정법에 따라 수렴한다. 이 급수의 스스로와의 코시 곱

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }c_{n}}$

을 생각하자. 임의의 ${\displaystyle n\in \{2,3,4,\dots \}}$에 대하여,

${\displaystyle c_{n}=(-1)^{n}\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{\sqrt {k(n-k)}}}}$

이므로

${\displaystyle {\begin{aligned}|c_{n}|&=\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {1}{\sqrt {k(n-k)}}}\\&\geq \sum _{k=1}^{n-1}{\frac {2}{n}}\\&={\frac {2(n-1)}{n}}\\&\geq 1\end{aligned}}}$

이다. 따라서, 코시 곱은 발산한다.

프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시의 이름을 땄다.

• “Absolutely convergent series”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Cauchy product”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Cauchy product”. 《PlanetMath》 (영어).