일반 상대성이론
${\displaystyle G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}$
개론 역사 수학적 공식화 (개론) 검증
기초 개념 등가원리 특수상대론 세계선 리만 기하학
관련 현상 케플러 문제 중력렌즈 중력파 틀 끌림 측지효과 사건의 지평선 특이점 블랙홀 시공간 시공도 민코프스키 공간 아인슈타인–로젠 다리 반 더시터르 공간
방정식 형식 방정식 중력 선형화 아인슈타인 방정식 프리드만 방정식 측지 마티손–파파페트로우–딕슨 방정식 해밀턴–야코비–아인슈타인 방정식 형식화 ADM BSSN PPN 고급 학설 칼루차–클레인 이론 양자중력 아인슈타인-카르탕 이론
해 슈바르츠실트 라이스너–노르드스트룀 괴델 커 커–뉴먼 카스너 르메트르–톨먼 타브-넛 밀런 로버트슨–워커 pp-파동 판 스토쿰 먼지
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물리학 포털   분류: 일반 상대성이론
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카스너 계량(영어: Kasner metric)은 알베르트 아인슈타인의 일반 상대성 이론에 대한 엄밀 해의 하나로 물질이 없는(즉, 진공 해이다) 이방성 우주를 기술한다. 1921년 미국 수학자 에드워드 카스너에 의하여 개발되어 그의 이름을 따서 명명되었다.^[2] 이 해는 ${\displaystyle D>3}$ 인 어떤 시공간 차원에서도 기술될 수 있으며 중력 혼돈 연구와 강한 연관성을 가지고 있다.

차원 ${\displaystyle D>3}$인 시공간에서 카스너 계량은,

${\displaystyle {\text{d}}s^{2}=-{\text{d}}t^{2}+\sum _{j=1}^{D-1}t^{2p_{j}}[{\text{d}}x^{j}]^{2}}$

으로 카스너 지수라고 불리는 상수 ${\displaystyle p_{j}}$가 ${\displaystyle D-1}$개 포함되어 있다. 카스너 계량은 등시간 조각이 공간적으로 평평한 시공간을 기술하는데, 이 공간은 서로 따른 방향으로 ${\displaystyle p_{j}}$ 값에 따라 서로 다른 비율로 확장하거나 수축한다. 이 계량에서 공변좌표가 ${\displaystyle \Delta x^{j}}$ 만큼 차이가 나는 시험 입자는 ${\displaystyle t^{p_{j}}\Delta x^{j}}$ 의 물리적 거리만큼 떨어져 있다.

카스너 계량은 카스너 지수가 다음의 카스너 조건을 만족할 때 진공에서 아인슈타인 등식의 엄밀해의 하나이다.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{D-1}p_{j}=1,}$

${\displaystyle \sum _{j=1}^{D-1}p_{j}^{2}=1.}$

첫 번째 조건은 카스너 평면이라는 평면을 정의하고, 두 번째 조건은 구의 일종은 카스너 구를 설명한다. 따라서 두 조건을 충족하는 해(즉 ${\displaystyle p_{j}}$의 선택)는 두 조건이 교차하는 구(때때로 혼란스럽게도 이것도 카스너 구로 불린다) 상에 있다. ${\displaystyle D}$ 차원의 시공간에서 해의 공간은 ${\displaystyle D-3}$ 차원의 구 ${\displaystyle S^{D-3}}$ 상에 존재한다.

카스너 해에는 눈에 띄고 특이한 몇 가지 특징이 있다. 즉,

• 공간 조각의 부피는 항상 ${\displaystyle O(t)}$인데, 이는 그 양이 ${\displaystyle {\sqrt {-g}}}$에 비례하고, 또한

${\displaystyle {\sqrt {-g}}=t^{p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{D-1}}=t}$

이기 때문인데 여기서 우리는 첫 번째 카스너 조건을 사용했다. 따라서 그러므로 ${\displaystyle t\to 0}$일 때 ${\displaystyle t}$의 방향에 따라서,빅뱅 또는 빅 크런치를 설명할 수 있다.

• 공간의 등방성 확장이나 수축은 허용되지 않는다. 공간 조각이 등방성으로 확장되는 경우 모든 카스너 지수는 동일해야 하고 따라서 첫번째 카스너 조건을 만족시키기 위해서 ${\displaystyle p_{j}=1/(D-1)}$ 가 된다. 하지만 이때는 두 번째 카스너 조건이 충족될 수 없는데, 이는

${\displaystyle \sum _{j=1}^{D-1}p_{j}^{2}={\frac {1}{D-1}}\neq 1}$

이기 때문이다.

이와 대조적으로 우주론 에서 사용되는 프리드만-르메트르-로버트슨-워커 계량은 물질의 존재로 인해 등방성으로 팽창하거나 수축할 수 있다.

• 조금 더 계산하면, 하나의 ${\displaystyle p_{j}=1}$이고 나머지는 0이 되는 해가 적어도 아니라면, 최소한 하나의 카스너 지수가 항상 음수라는 것을 보여줄 수 있다. 우리가 시간 좌표 ${\displaystyle t}$가 0에서 증가한다고 가정하자. 그렇다면 이는 공간의 부피가 ${\displaystyle t}$,와 같이 증가할 때에, 적어도 하나의 방향(음의 카스너 지수에 해당)은 실제로 '수축'하고 있다는 것을 의미한다.
• 카스너 계량이 진공 아인슈타인 방정식에 대한 해이므로, 리치 텐서는 카스너 조건을 충족하는 어떤 지수에 대해서도 항상 소멸한다. 전체 리만 텐서는 하나의 ${\displaystyle p_{j}=1}$ 이고 나머지에 대해서는 소멸하고, 이 경우 공간은 평평해진다. 민코프스키 계량은 좌표 변환 ${\displaystyle t'=t\cosh x_{j}}$ 및 ${\displaystyle x_{j}'=t\sinh x_{j}}$ 을 통해 찾을 수 있다.

• BKL 특이점
• 믹스마스터 우주

• Misner, Charles W.; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (September 1973). 《Gravitation》. San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0.