수론과 선형대수학에서 이차 형식(二次形式, 영어: quadratic form)은 다변수 2차 동차다항식이다.

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 가군 ${\displaystyle V}$ 위의 이차 형식 ${\displaystyle Q}$는 다음 두 조건을 만족시키는 함수 ${\displaystyle Q\colon V\to K}$이다.^{[1]:244[2]:54, (3.15)}

• (동차성) 임의의 ${\displaystyle a\in K}$ 및 ${\displaystyle v\in V}$에 대하여, ${\displaystyle Q(av)=a^{2}Q(v)}$
• (쌍선형성) 함수 ${\displaystyle B\colon V\times V\to K}$, ${\displaystyle (u,v)\mapsto Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}$를 정의하면, ${\displaystyle B}$는 ${\displaystyle V}$ 위의 쌍선형 형식을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다.
  • 임의의 ${\displaystyle u,v,w\in V}$에 대하여, ${\displaystyle Q(u+v+w)-Q(u+w)-Q(v+w)-Q(u+v)+Q(u)+Q(v)+Q(w)=0}$
  • 임의의 ${\displaystyle a,b\in K}$ 및 ${\displaystyle u,v\in V}$에 대하여, ${\displaystyle Q(au+bv)-a^{2}Q(u)-b^{2}Q(v)-ab(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))=0}$

이 경우, ${\displaystyle B}$를 ${\displaystyle Q}$의 연관 쌍선형 형식(영어: associated bilinear form)이라고 한다.^[2]:54 연관 쌍선형 형식은 항상 대칭 쌍선형 형식이며, 만약 ${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$라면 이는 추가로 교대 쌍선형 형식이다.^[2]:54

흔히 다루어지는 경우는 ${\displaystyle K}$는 체이거나 대수적 정수환이며, ${\displaystyle V}$는 자유 가군인 경우다.

같은 가환환 ${\displaystyle K}$ 위에 두 가군 ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle V'}$이 존재하고, 그 위에 각각 이차 형식 ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle Q'}$이 존재한다고 하자. ${\displaystyle Q}$와 ${\displaystyle Q'}$ 사이의 동치(영어: equivalence) ${\displaystyle i}$는 다음 조건을 만족시키는 함수 ${\displaystyle i\colon V\to V'}$이다.

• ${\displaystyle i\colon V\to V'}$는 가군의 동형이다.
• ${\displaystyle Q'\circ i=Q}$이다.

두 이차 형식 사이에 동치가 존재한다면, 두 이차 형식이 서로 동치(영어: equivalent)라고 한다.

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 가군 ${\displaystyle V}$ 위의 이차 형식 ${\displaystyle Q}$의 연관 쌍선형 형식이 ${\displaystyle B}$라고 하자. ${\displaystyle Q}$의 등방성 벡터(等方性vector, 영어: isotropic vector)는 ${\displaystyle Q(v)=0}$인 원소 ${\displaystyle v\in V}$이다.^{[2]:58, §3.4.7} ${\displaystyle Q}$의 근기(영어: radical) ${\displaystyle \operatorname {rad} Q}$는 ${\displaystyle B}$의 근기

${\displaystyle \operatorname {rad} B=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon B(u,v)=0\}=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon Q(u+v)=Q(u)+Q(v)\}}$

에 속하는 등방성 벡터의 집합이다.^{[2]:58, §3.4.7}

${\displaystyle \operatorname {rad} Q=\{v\in \operatorname {rad} B\colon Q(v)=0\}=\{v\in V\colon \forall u\in V\colon Q(u+v)=Q(u)\}}$

이는 ${\displaystyle V}$의 부분 가군이자 ${\displaystyle \operatorname {rad} B}$의 부분 가군이다. 이는 임의의 ${\displaystyle u,v\in \operatorname {rad} B}$에 대하여

${\displaystyle Q(u+v)=Q(u)+Q(v)+B(u,v)=Q(u)+Q(v)}$

이기 때문이다.

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 가군 ${\displaystyle V}$ 위의 이차 형식 ${\displaystyle Q}$가 다음 조건을 만족시킨다면, 비퇴화 이차 형식이라고 한다.^{[3]:59–60, §2.3}

• 연관 대칭 쌍선형 형식 ${\displaystyle B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}$이 비퇴화 쌍선형 형식이다. 즉, ${\displaystyle B}$로부터 정의되는 사상 ${\displaystyle V\to \hom _{K}(V,K)}$, ${\displaystyle u\mapsto B(u,-)}$이 가군의 동형 사상이다.

${\displaystyle K}$가 체이고, ${\displaystyle V}$가 그 위의 유한 차원 벡터 공간이라고 하자. 그렇다면

${\displaystyle \operatorname {rad} Q\subseteq \operatorname {rad} B}$

의 여차원을 생각할 수 있다. 만약 ${\displaystyle K}$의 표수가 2가 아니라면, 항상 ${\displaystyle \operatorname {rad} Q=\operatorname {rad} B}$이다. 만약 ${\displaystyle K}$가 표수 2의 완전체라면, 여차원은 0 또는 1이다. 만약 ${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$이며, 완전체가 아니라면, 여차원은 2 이상일 수 있다.

만약 ${\displaystyle Q}$의 근기가 ${\displaystyle \{0\}}$이라면, ${\displaystyle Q}$를 비특이 이차 형식(非特異二次形式, 영어: nonsingular quadratic form)이라고 한다.^{[2]:58, §3.4.7} 만약 ${\displaystyle Q}$의 연관 쌍선형 형식 ${\displaystyle B}$가 비퇴화 쌍선형 형식이라면 (즉, ${\displaystyle B}$의 근기가 ${\displaystyle \{0\}}$이라면), ${\displaystyle Q}$를 비퇴화 이차 형식(非退化二次形式, 영어: nondegenerate quadratic form)이라고 한다.^{[2]:58, §3.4.7} 만약 ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$라면 비특이 이차 형식의 개념과 비퇴화 이차 형식의 개념이 일치하지만, ${\displaystyle \operatorname {char} K=2}$일 경우 퇴화 비특이 이차 형식이 존재한다. ${\displaystyle K}$가 완전체인 경우, 이는

${\displaystyle \dim _{K}\operatorname {rad} B=1}$

${\displaystyle \dim _{K}\operatorname {rad} Q=0}$

인 경우이다.

순서체 ${\displaystyle K}$ 위의 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 이차 형식 ${\displaystyle Q}$에 대하여, 다음과 같은 용어들을 정의한다.

• 양의 정부호 이차 형식(陽의定符號二次形式, 영어: positive-definite quadratic form): 모든 ${\displaystyle v\in V\setminus \{0\}}$에 대하여, ${\displaystyle Q(v)>0}$이다.
• 음의 정부호 이차 형식(陰의定符號二次形式, 영어: negative-definite quadratic form): 모든 ${\displaystyle v\in V\setminus \{0\}}$에 대하여, ${\displaystyle Q(v)<0}$이다.
• 양의 준정부호 이차 형식(陽의準定符號二次形式, 영어: positive-semidefinite quadratic form): 모든 ${\displaystyle v\in V}$에 대하여, ${\displaystyle Q(v)\geq 0}$이다.
• 음의 준정부호 이차 형식(陰의準定符號二次形式, 영어: negative-semidefinite quadratic form): 모든 ${\displaystyle v\in V}$에 대하여, ${\displaystyle Q(v)\leq 0}$이다.
• 부정부호 이차 형식(不定符號二次形式, 영어: indefinite quadratic form): 양의 정부호 이차 형식이 아니며, 음의 정부호 이차 형식도 아니다.

가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 이차 공간(二次空間, 영어: quadratic space) ${\displaystyle (M,Q)}$은 ${\displaystyle R}$ 위의 가군 ${\displaystyle M}$과 그 위의 이차 형식 ${\displaystyle Q\colon M\to R}$의 순서쌍이다.

${\displaystyle R}$ 위의 두 이차 공간 ${\displaystyle (M,Q)}$, ${\displaystyle (M',Q')}$ 사이의 사상(영어: morphism of quadratic spaces)은 다음 조건을 만족시키는 함수 ${\displaystyle f\colon M\to M'}$이다.

• ${\displaystyle f\colon M\to M'}$은 ${\displaystyle R}$-가군의 가군 준동형이다.
• ${\displaystyle Q'\circ f=Q}$이다.

단사 함수인 이차 공간 사상을 이차 공간의 매장(영어: embedding)이라고 한다. 이차 공간의 매장 ${\displaystyle \iota \colon (M,Q)\to (M',Q')}$이 주어졌을 때, 만약 ${\displaystyle \operatorname {coker} \iota =M'/\iota (M)}$이 자유 가군이라면, ${\displaystyle \iota }$를 원시 매장(영어: primitive embedding)이라고 한다.

임의의 표수의 체 ${\displaystyle K}$ 위의 이차 공간 ${\displaystyle (V_{1},Q_{1})}$, ${\displaystyle (V_{2},Q_{2})}$, ${\displaystyle (V_{3},Q_{3})}$이 주어졌다고 하자. 비트 소거 정리(영어: Witt cancellation theorem)에 따르면, 만약 ${\displaystyle (V_{1},Q_{1})\oplus (V_{3},Q_{3})\cong (V_{2},Q_{2})\oplus (V_{3},Q_{3})}$이라면, ${\displaystyle (V_{1},Q_{1})\cong (V_{2},Q_{2})}$이다.

가환환 ${\displaystyle K}$에서 2가 가역원일 경우 (예를 들어, ${\displaystyle K}$가 표수가 2가 아닌 체일 경우), ${\displaystyle K}$-가군 ${\displaystyle V}$ 위의 이차 형식은 ${\displaystyle V}$ 위의 대칭 쌍선형 형식과 표준적으로 일대일 대응한다. 구체적으로, 이차 형식 ${\displaystyle Q}$의 연관 쌍선형 형식

${\displaystyle B(u,v)=Q(u+v)-Q(u)-Q(v)}$

이 주어졌다면, 이로부터 원래 이차 형식을 다음과 같이 되찾을 수 있다.

${\displaystyle Q(v)={\frac {1}{2}}B(v,v)}$

그러나 만약 ${\displaystyle K}$에서 2가 가역원이 아니라면 이는 일반적으로 성립하지 않는다.

보다 일반적으로, 임의의 가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 가군 ${\displaystyle V}$ 및 ${\displaystyle \epsilon \in \{\pm 1\}\subseteq K}$에 대하여, 2차 순환군 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2=\langle t|t^{2}=1\rangle }$이 쌍선형 형식의 공간 ${\displaystyle \hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)}$ 위에 다음과 같이 작용한다.

${\displaystyle (t\cdot B)(u,v)=\epsilon B(v,u)}$

이에 대하여, ${\displaystyle \hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)}$는 군환 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\mathbb {Z} /2]}$ 위의 가군을 이룬다. 이 계수에 대하여 군 호몰로지 및 군 코호몰로지를 정의할 수 있다. 0차 군 코호몰로지는 군의 작용의 불변량으로 구성되며, 만약 ${\displaystyle \epsilon =+1}$이라면 이는 대칭 쌍선형 형식의 공간과 같다.

${\displaystyle \operatorname {H} ^{0}\left(\mathbb {Z} /2;\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\right)=\left(\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\right)^{\mathbb {Z} /2}=\left\{B\in \hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\colon B(u,v)=\epsilon B(v,u)\qquad \forall u,v\in V\right\}}$

0차 군 호몰로지는 군의 작용의 쌍대불변량으로 구성된다.

${\displaystyle \operatorname {H} _{0}\left(\mathbb {Z} /2;\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\right)=\left(\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\right)_{\mathbb {Z} /2}={\frac {\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)}{\{B-t\cdot B\colon B\in \hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\}}}}$

만약 ${\displaystyle \epsilon =-1}$일 경우, 이는 ${\displaystyle M}$ 위의 이차 형식의 공간 ${\displaystyle \operatorname {QForms} (M;K)}$과 다음과 같이 동형이다.

${\displaystyle [B(-,-)]\mapsto \left(Q_{B}\colon (u\in V)\mapsto B(u,u)\right)}$

다시 말해, 다음과 같은 ${\displaystyle K}$-가군의 완전열이 존재한다.

${\displaystyle 0\to \operatorname {H} ^{0}\left(\mathbb {Z} /2;\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\right)\to \hom _{K}(V\otimes _{K}V;K){\xrightarrow {1-t}}\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\to \operatorname {H} _{0}\left(\mathbb {Z} /2;\hom _{K}(V\otimes _{K}V;K)\right)\to 0}$

가환환 ${\displaystyle K}$ 위의 가군 ${\displaystyle V}$ 위의 이차 형식 ${\displaystyle Q}$가 주어졌을 때, 이 데이터로부터 클리퍼드 대수 ${\displaystyle \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}$를 정의할 수 있다. 이는 ${\displaystyle K}$-단위 결합 대수이다.

클리퍼드 대수는 표준적인 단사 ${\displaystyle K}$-선형 변환

${\displaystyle \iota _{0}\colon K\hookrightarrow \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}$

${\displaystyle \iota _{1}\colon V\hookrightarrow \operatorname {Cliff} (V,Q;K)}$

를 갖는다.

이차 형식의 클리퍼드 대수는 이차 형식의 불변량을 이룬다. 비퇴화 이차 형식의 클리퍼드 대수는 항상 등급 아즈마야 대수를 이루며, 따라서 브라우어-월 군 ${\displaystyle \operatorname {BW} (K)}$의 원소를 정의한다. 이 역시 비퇴화 이차 형식의 불변량으로 생각할 수 있다.

체 ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 벡터 공간 ${\displaystyle K^{n}=\operatorname {Span} _{K}\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$ 위의 이차 형식 ${\displaystyle Q}$가

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}x_{i}^{2}\qquad (a_{1},\dots ,a_{n}\in K)}$

의 꼴의 이차 형식과 동치라면, ${\displaystyle Q}$를 대각화 가능 이차 형식(對角化可能二次形式, 영어: diagonalizable quadratic form)이라고 한다.

표수가 2가 아닌 체 위의 유한 차원 벡터 공간 위의 모든 이차 형식은 대각화 가능 이차 형식이다. 그러나 이는 표수 2의 경우 성립하지 않는다. 구체적으로, 대각화 알고리즘은 다음과 같은 그람-슈미트 과정의 일종이다. 표수가 2가 아닌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 유한 차원 벡터 공간 ${\displaystyle V}$ 위의 이차 형식 ${\displaystyle Q}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle Q=0}$일 경우 이미 대각화돼 있으므로 ${\displaystyle Q\neq 0}$를 가정할 수 있다. 이 경우 ${\displaystyle Q(v)\neq 0}$인 ${\displaystyle v\in V}$를 고를 수 있으며, 이 경우

${\displaystyle V=\operatorname {Span} \{v\}\oplus (\operatorname {Span} \{v\})^{\perp }}$

${\displaystyle u=\underbrace {B(u,v)v/B(v,v)} _{\operatorname {Span} \{v\}}+\underbrace {\left(u-B(u,v)v/B(v,v)\right)} _{(\operatorname {Span} \{v\})^{\perp }}\qquad \forall u\in V}$

이다. 따라서, 마찬가지로 ${\displaystyle Q(v')\neq 0}$인 ${\displaystyle v'\in (\operatorname {Span} \{v\})^{\perp }}$를 골라 위 과정을 재귀적으로 반복할 수 있다.

비트 분해 정리(Witt分解定理, 영어: Witt decomposition theorem)에 따르면, 표수가 2가 아닌 체 ${\displaystyle K}$ 위의 이차 공간 ${\displaystyle (V,Q)}$는 다음과 같은 꼴로 표준적으로 분해된다.^{[4]:12, Theorem 4.1}

${\displaystyle (V,Q)=(V_{0},0)\oplus (V_{1},Q_{1})\oplus (V_{2},Q_{2})}$

여기서 각 성분은 다음과 같다.

• ${\displaystyle (V_{0},0)}$은 이차 형식이 0인 이차 공간이다.
• ${\displaystyle (V_{1},Q_{1})}$은 비등방성 이차 공간(영어: anisotropic quadratic space)이다. 즉, ${\displaystyle V_{1}}$ 속에서 ${\displaystyle Q_{1}(v)=0}$인 벡터 ${\displaystyle v\in V_{1}}$은 ${\displaystyle v=0}$뿐이다. 특히, ${\displaystyle Q_{1}}$은 비퇴화 이차 형식이다.
• ${\displaystyle (V_{2},Q_{2})}$는 분해 이차 공간(영어: split quadratic space)이다. 즉, ${\displaystyle Q_{2}}$는 비퇴화 이차 형식이며, ${\displaystyle \dim _{K}V_{2}=2n}$는 짝수이며, ${\displaystyle V_{2}}$ 속에서 ${\displaystyle Q_{2}|_{W}=0}$인 ${\displaystyle n}$차원 부분 공간 ${\displaystyle W\subseteq V_{2}}$이 존재한다.

이 경우 ${\displaystyle (V_{1},Q_{1})}$을 ${\displaystyle (V,Q)}$의 핵심(영어: core)이라고 한다. 또한, ${\displaystyle \dim _{K}(V_{1}\oplus V_{2})}$를 ${\displaystyle Q}$의 계수(영어: rank)라고 하며, ${\displaystyle (\dim _{K}V_{2})/2}$를 ${\displaystyle Q}$의 비트 지표(영어: Witt index)라고 한다.^[2]:58 비트 정리에 따라 만약 ${\displaystyle Q}$가 비퇴화 이차 형식이라면, ${\displaystyle Q|_{W}=0}$이 되는 부분 벡터 공간들의 포함 관계에 대한 부분 순서 집합에서, 극대 원소들의 차원은 항상 비트 지표와 같다.

이차 형식의 동치에 대한 분류는 수론과 선형대수학에서 매우 중요한 문제이다.

${\displaystyle K}$가 표수가 2가 아닌 이차 폐체(영어: quadratically closed field, 모든 원소가 제곱근을 갖는 체)라고 하자. (예를 들어, ${\displaystyle K}$가 복소수체이거나, 표수가 2가 아닌 체의 대수적 폐포인 경우 이에 해당된다.) 그렇다면, 유한 차원 복소수 벡터 공간 ${\displaystyle K^{n}}$ 위의 이차 형식은 그 계수 ${\displaystyle r}$에 따라서 완전히 분류된다. 즉, 모든 이차 형식 ${\displaystyle Q}$은 다음과 같은 꼴의 이차 형식과 동치이다.

${\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\cdots +z_{r}^{2}\qquad (1\leq r\leq n)}$

이 경우, 이차 형식은 계수 ${\displaystyle r}$에 의하여 완전히 분류된다.

${\displaystyle (K,\leq )}$가 에우클레이데스 체(영어: Euclidean field, 모든 양수가 제곱근을 갖는 순서체)라고 하자. (예를 들어, ${\displaystyle K}$가 실수체 ${\displaystyle \mathbb {R} }$이거나 보다 일반적으로 실폐체일 경우 이에 해당된다.)

유한 차원 실수 벡터 공간 ${\displaystyle K^{n}}$ 위의 이차 형식은 그 계수 및 부호수 ${\displaystyle (s,k)}$에 따라서 완전히 분류된다 (${\displaystyle 1\leq s\leq k\leq n}$). 즉, 모든 이차 형식 ${\displaystyle Q}$은 다음과 같은 꼴의 이차 형식과 동치이다.

${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{s}^{2}-x_{s+1}^{2}-\cdots -x_{r}^{2}\qquad (1\leq s\leq k\leq n)}$

구체적으로, n 변수의 ${\displaystyle K}$ 계수 이차 형식 ${\displaystyle Q(x_{1},\dots ,x_{n})}$은 ${\displaystyle n\times n}$ 대칭 행렬 ${\displaystyle M}$으로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle Q(x_{1},\dots ,x_{n})={\begin{pmatrix}x_{1}&\cdots &x_{n}\end{pmatrix}}M{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle Q}$의 부호수(영어: signature) ${\displaystyle (n_{+},n_{0},n_{-})}$는 ${\displaystyle M}$의 양의 고윳값의 수 ${\displaystyle n_{+}\in \mathbb {N} }$, 고윳값 0의 중복도 ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$, 음의 고윳값의 수 ${\displaystyle n_{-}\in \mathbb {N} }$의 순서쌍이다. 물론

${\displaystyle n_{+}+n_{0}+n_{-}=n}$

이다. 여기서, ${\displaystyle n_{+}}$ 등은 고윳값의 중복도를 고려하여 센다. 그렇다면 ${\displaystyle (n_{+},n_{0},n_{-})}$는 실수 계수 이차 형식의 완전한 불변량이다. 즉, 두 실수 계수 이차 형식이 서로 동치일 필요충분조건은 두 이차 형식의 부호수가 같은 것이다. 이를 실베스터 관성 법칙(Sylvester慣性法則, 영어: Sylvester’s law of inertia)이라고 한다.

p진수체 위의 이차 형식은 그 계수와 하세-비트 불변량에 따라 완전히 분류된다. 마찬가지로 다른 국소체 위의 이차 형식도 완전히 분류되었다.

하세-민코프스키 정리에 따르면, 대역체 ${\displaystyle K}$ 위의 두 이차 형식 ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle Q'}$이 동치일 필요충분조건은 다음과 같다.

• ${\displaystyle K}$의 완비화인 모든 국소체 ${\displaystyle k}$에 대하여, ${\displaystyle Q_{k}}$와 ${\displaystyle Q'_{k}}$는 서로 동치이다. 여기서 ${\displaystyle Q_{k}}$는 ${\displaystyle Q}$를 ${\displaystyle k\supset K}$ 계수로 간주한, ${\displaystyle k}$ 위의 이차 형식이다.

표수가 2가 아닌 유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ 위의 벡터 공간 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{n}}$ 위의 이차 형식의 동치류는 총 ${\displaystyle 2n+1}$개가 있으며, 이들 가운데 비퇴화 이차 형식인 것은 두 개이다.

이들은 구체적으로 다음과 같다. ${\displaystyle a\in \mathbb {F} _{q}}$가 제곱수가 아닌 임의의 수라고 하자.

${\displaystyle \nexists b\in \mathbb {F} _{q}\colon b^{2}=a}$

이러한 수는 항상 존재한다. 그렇다면, 모든 비퇴화 이차 형식(의 연관 대칭 쌍선형 형식)은 다음 두 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 서로 동치이다.

${\displaystyle Q_{1}^{(n)}=\operatorname {diag} (1,\dots ,1,1)}$

${\displaystyle Q_{2}^{(n)}=\operatorname {diag} (1,\dots ,1,a)}$

즉, 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle Q_{1}^{(n)}(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}$

${\displaystyle Q_{2}^{(n)}(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +ax_{n}^{2}}$

만약 ${\displaystyle n}$이 홀수라면, ${\displaystyle Q_{2}^{(n)}}$는 ${\displaystyle \alpha Q_{1}^{(n)}}$과 동치이다.^[2]:69 이 경우 비트 지표는 ${\displaystyle Q_{1}^{(n)}}$, ${\displaystyle Q_{2}^{(n)}}$ 둘 다 ${\displaystyle (n-1)/2}$이다.

만약 ${\displaystyle n}$이 짝수라면, ${\displaystyle Q_{1}^{(n)}}$은 ${\displaystyle \alpha Q_{1}^{(n)}}$과 동치이며, 비트 지표는 다음과 같다.^[2]:59

• ${\displaystyle n\equiv 2{\pmod {4}}}$이며 ${\displaystyle q\equiv 3{\pmod {4}}}$인 경우, ${\displaystyle Q_{1}^{(n)}}$의 비트 지표는 ${\displaystyle n/2-1}$이며 ${\displaystyle Q_{2}^{(n)}}$의 비트 지표는 ${\displaystyle n/2}$이다.
• ${\displaystyle n\equiv 0{\pmod {4}}}$이거나 또는 ${\displaystyle q\equiv 1{\pmod {4}}}$인 경우, ${\displaystyle Q_{1}^{(n)}}$의 비트 지표는 ${\displaystyle n/2}$이며 ${\displaystyle Q_{2}^{(n)}}$의 비트 지표는 ${\displaystyle n/2-1}$이다.

이 경우, 비트 지표가 ${\displaystyle n/2}$인 경우를 플러스형(영어: plus-type), ${\displaystyle n/2-1}$인 경우를 마이너스형(영어: minus-type)이라고 한다.^[2]:59

비트 분해 정리에 의하여, 모든 (퇴화 또는 비퇴화) 이차 형식은 비퇴화 이차 형식과 0의 직합과 동치이다. 즉, 다음 두 꼴 가운데 하나와 동치이다.

${\displaystyle \operatorname {diag} (1,\dots ,1,1,0,\dots ,0)}$

${\displaystyle \operatorname {diag} (1,\dots ,1,a,0,\dots ,0)}$

홀수 차수 유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$의 비트 환의 크기는 4이며, 이는 ${\displaystyle q}$에 따라 구체적으로 다음과 같다.^[4]:37

${\displaystyle W(\mathbb {F} _{q})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} /(4)&q\equiv 3{\pmod {4}}\\\mathbb {F} _{2}[\mathbb {F} _{q}^{\times }/(\mathbb {F} _{q}^{\times })^{2}]&q\equiv 1{\pmod {4}}\end{cases}}}$

이 동형은 구체적으로 다음과 같다.

${\displaystyle q\equiv 3{\pmod {4}}}$인 경우

${\displaystyle \mathbb {Z} /(4)}$	0	1	2	3
${\displaystyle W(\mathbb {F} _{q})}$	${\displaystyle Q_{1}^{(0)}}$	${\displaystyle Q_{1}^{(1)}}$	${\displaystyle Q_{1}^{(2)}}$	${\displaystyle Q_{2}^{(1)}}$

${\displaystyle q\equiv 1{\pmod {4}}}$인 경우

${\displaystyle \mathbb {F} _{2}[x]/(x^{2})}$	0	1	x	1+x
${\displaystyle W(\mathbb {F} _{q})}$	${\displaystyle Q_{1}^{(0)}}$	${\displaystyle Q_{1}^{(1)}}$	${\displaystyle Q_{2}^{(2)}}$	${\displaystyle Q_{2}^{(1)}}$

표수가 2가 아닌 유한체 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ 위의 벡터 공간 ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}^{n}}$ 위의 이차 형식의 동치류는 총 ${\displaystyle \lceil (3n+1)/2\rceil }$개가 있으며, 이들 가운데 비특이 이차 형식인 것은 ${\displaystyle n}$이 양의 짝수일 경우 2개, 홀수이거나 0일 경우 1개이다.^{[2]:58–59, §3.4.7} ${\displaystyle n}$이 홀수라면 비특이 이차 형식은 퇴화 이차 형식이지만, ${\displaystyle n}$이 짝수라면 비특이 이차 형식은 모두 비퇴화 이차 형식이다.

구체적으로, ${\displaystyle n}$이 홀수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 블록 대각 행렬과 동치이다.

${\displaystyle \operatorname {diag} \left(1,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\cdots ,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right)}$

즉, 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle Q(x)=x_{1}^{2}+x_{2}x_{3}+x_{4}x_{5}+\cdots +x_{n-1}x_{n}}$

이 경우 ${\displaystyle Q}$의 연관 대칭 쌍선형 형식은

${\displaystyle B=\operatorname {diag} \left(0,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\cdots ,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\right)}$

이다. 즉, ${\displaystyle \operatorname {rad} B=\operatorname {Span} _{\mathbb {F} _{q}}\{x_{1}\}}$이다.

${\displaystyle a\in \mathbb {F} _{q}}$가 ${\displaystyle x^{2}+x+a=0}$의 해가 존재하지 않는 임의의 수라고 하자. (이러한 수는 항상 적어도 하나 이상 존재한다.) ${\displaystyle n}$이 양의 짝수일 경우, 모든 비특이 이차 형식은 다음과 같은 두 블록 대각 행렬 가운데 정확히 하나와 동치이다.^{[2]:58–59, §3.4.7}

${\displaystyle \operatorname {diag} \left({\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\cdots ,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {diag} \left({\begin{pmatrix}a&1\\0&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\cdots ,{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\right)}$

즉, 각각 다음과 같은 꼴이다.

${\displaystyle Q_{+}(x)=x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +x_{n-1}x_{n}}$

${\displaystyle Q_{-}(x)=ax_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{3}x_{4}+\cdots +\cdots +x_{n-1}x_{n}}$

이 경우 ${\displaystyle Q_{+}}$를 플러스형(영어: plus-type), ${\displaystyle Q_{-}}$를 마이너스형(영어: minus-type)이라고 한다.^[2]:59 ${\displaystyle Q_{+}}$의 비트 지표는 ${\displaystyle n/2}$이며, ${\displaystyle Q_{-}}$의 비트 지표는 ${\displaystyle n/2-1}$이다.

비트 분해 정리에 따라, 모든 이차 형식은 비특이 이차 형식과 0의 직합으로 나타내어진다.

정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$이나 다른 대수적 정수환 위의 유한 차원 자유 가군 (=유한 생성 자유 아벨 군) 위의 이차 형식의 경우 하세-민코프스키 정리가 성립하지 않으며, 이들의 분류는 일반적으로 어렵다.

정수 계수 부정부호 형식의 경우, 마르틴 아이클러(독일어: Martin Eichler)는 스피너 종수(영어: spinor genus)를 사용하여 완전히 분류하였다.^[5]:§15.1 정수 계수 정부호 형식의 경우는 유클리드 공간 속의 격자에 대응하며, 이는 낮은 차원(대략 24차원 이하)에서는 에른스트 비트와 마르틴 크네저(독일어: Martin Kneser), 한스폴커 니마이어(독일어: Hans-Volker Niemeier)가 개발한 접착법(영어: gluing method)을 사용하여 분류할 수 있다.^[5]:§15.1 이보다 더 큰 차원에서의 정부호 형식의 분류는 불가능하다고 추측된다.^[5]:§15.1

정수 계수 이차 형식의 경우, 동치보다 더 거친 종수(種數, 영어: genus)라는 동치 관계가 존재한다. ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ 위의 두 이차 형식 ${\displaystyle Q}$, ${\displaystyle Q'}$이 다음 두 조건을 만족시키면, 같은 종수에 속한다고 한다.

• ${\displaystyle Q}$와 ${\displaystyle Q'}$는 실수 계수 위에서 서로 동치이다.
• 모든 소수 ${\displaystyle p=2,3,5,\dots }$에 대하여, p진 정수환 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$를 정의한다면, ${\displaystyle Q}$와 ${\displaystyle Q'}$는 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ 계수 위에서 서로 동치이다.

즉, 이는 하세-민코프스키 정리와 유사하게, 각 유한 · 무한 소수에서의 "정수환"에서 동치인 것이다. 그러나 유리수 계수의 경우와 달리 같은 종수에 속하는 두 정수 계수 이차 형식이 서로 동치이지 않을 수 있다.

주어진 종수에 속한 모든 이차 형식들의 (적절한 무게를 부여한) 수는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식에 의하여 주어진다.

이차 형식의 이론은 다른 여러 수학 분야와 밀접한 관계를 가진다.

임의의 0이 아닌 n변수 이차 형식은 사영 공간에 n-2차원 이차 초곡면을 정의한다. 이런 관점에서, 3변수 2차형식은 원뿔 곡선에 대응된다.

임의의 이차 형식에 대하여 세타 함수를 정의할 수 있으며, 이는 모듈러 형식을 이룬다. 이를 일반화하여 힐베르트 모듈러 형식 · 지겔 모듈러 형식 · 야코비 형식 등의 이론이 이차 형식 이론과 깊은 관계를 가진다.

정수 계수의 이차 형식은 유클리드 공간 속의 격자의 이론과 밀접한 관계를 가진다. 이를 통해 이차 형식 이론은 민코프스키의 수 기하학(영어: geometry of numbers)이나 코드 이론(영어: coding theory), 암호학 등에 응용된다.

특수한 정수 계수 이차 형식의 연구는 고대 수학에서 이미 등장한다. 한 예는 정수 계수 2변수 이차 형식 ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$의 상을 계산하는 문제로, 이는 피타고라스 수에 관련된다. 이 문제는 1640년에 피에르 드 페르마가 페르마 두 제곱수 정리로서 해결하였다.

기원후 7세기에 인도의 수학자 브라마굽타는 펠 방정식의 해를 제시하였다. 이 역시 특수한 2변수 이차 형식 ${\displaystyle x^{2}-ny^{2}}$을 연구하는 문제이다.

1801년에 카를 프리드리히 가우스는 《산술 연구》(영어: Disquisitiones Arithmeticae)에서 정수 계수 2변수 이차 형식을 체계적으로 연구하였다. 1852년에 제임스 조지프 실베스터는 실수 계수 이차 형식을 실베스터 관성 법칙을 통해 완전히 분류하였다.^[6] 이 정리의 어원은 실베스터가 오늘날 부호수로 불리는 개념을 "관성"(영어: inertia)이라고 불렀기 때문이다.

1867년에 헨리 존 스티븐 스미스는 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 최초로 발견하였으나, 널리 알려지지 않았다.^[7] 1885년에 헤르만 민코프스키는 박사 학위 논문^[8]에서 이차 형식의 종수(영어: genus)의 개념을 도입하였고, 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 재발견하였다.

헬무트 하세(1898~1979)는 쿠르트 헨젤의 p진수를 유리수 계수 이차 형식의 분류에 도입하여, 하세-민코프스키 정리를 완성하였다. 카를 루트비히 지겔(1896~1982)은 1935년에 민코프스키가 제시한 질량 공식의 오류를 교정하여 스미스-민코프스키-지겔 질량 공식을 완성하였고,^[9] 이를 비롯한 세 편의 논문^[9][10][11]에서 이차 형식의 해석적 이론을 제창하였다. 에른스트 비트(1911~1991)는 1937년 하빌리타치온 논문^[12]에서 비트 소거 정리와 비트 분해 정리 및 비트 환의 개념을 도입하였고, 이로서 이차 형식의 대수적 이론을 제창하였다.^[13]

마르틴 아이클러(독일어: Martin Eichler, 1912~1992)는 스피너 종수(영어: spinor genus)를 사용하여 부정부호 정수 계수 이차 형식을 분류하였으며,^[5]:§15.1 마르틴 크네저(독일어: Martin Kneser, 1928~2004), 한스폴커 니마이어(독일어: Hans-Volker Niemeier, 1940~)는 접착법(영어: gluing method)을 사용하여 낮은 차원의 정부호 정수 계수 이차 형식의 분류를 완성하였다.^[5]:§15.1 현대의 이차 형식 이론은 이차 수체와 모듈러 형식의 이론과 밀접한 관계를 가지며, 현대 수론의 주요 분야로 성장하게 되었다.

• 삼차 형식
• 판별식
• 하세-민코프스키 정리
• 이차 초곡면
• 제곱 유군
• 비트 환

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