관련 문서 둘러보기
미적분학
미적분학의 기본정리 함수의 극한 연속 함수 평균값 정리 롤의 정리
미분 정의 미분 일반화 무한소 주요 부분 전미분 개념 미분 표기법 고계 도함수 변수 변환 테일러 정리 법칙과 항등식 합 규칙 곱 규칙 몫 규칙 멱 규칙 연쇄 법칙 역함수의 미분 음함수의 미분
적분 적분표 정의 부정적분 적분 (이상적분) 리만 적분 르베그 적분 경로적분 적분법 부분적분 디스크 방법 원통셸 방법 치환적분 (삼각 치환) 부분분수 적분법 적분 순서 적분의 점화식
수열과 급수 기하급수 (산술-기하 수열) 조화급수 교대급수 멱급수 이항급수 테일러 급수 수렴판정법 일반항 판정법 비판정법 근판정법 적분판정법 비교판정법 극한비교판정법 교대급수판정법 코시 응집판정법 디리클레 판정법 아벨 판정법
벡터 미적분학 기울기 발산 회전 라플라시안 방향도함수 벡터 미적분표 정리 발산정리 기울기정리 그린 정리 켈빈-스토크스 정리
다변수 미적분학 형식 행렬 텐서 외미분 기하 정의 편미분 중적분 선적분 면적분 삼중적분 야코비안 헤세 행렬
특수한 경우 분수계 미적분학 말리아빈 미적분 확률미적분학 변분법
v t e

다변수 미적분학에서 역함수 정리(逆函數定理, 영어: inverse function theorem)는 주어진 함수가 국소적으로 충분히 매끄러운 역함수를 가질 충분 조건을 제시하는 정리이다.

양의 정수 ${\displaystyle k}$ 및 열린 근방 ${\displaystyle \mathbf {a} \in U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ 및 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수 ${\displaystyle \mathbf {f} \colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$가 다음을 만족시킨다고 하자.

${\displaystyle \det \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )\neq 0}$

여기서 좌변은 ${\displaystyle \mathbf {f} }$의 ${\displaystyle \mathbf {a} }$에서의 야코비 행렬식이다. 그렇다면, ${\displaystyle \mathbf {f} }$는 ${\displaystyle \mathbf {a} }$에서 국소 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 미분동형사상이다. 즉, 다음을 만족시키는 열린 근방 ${\displaystyle \mathbf {a} \in V\subseteq U}$가 존재한다.

• ${\displaystyle \mathbf {f} (V)}$는 열린집합이다.
• ${\displaystyle \mathbf {f} |_{V}}$는 단사 함수이다.
• ${\displaystyle \mathbf {g} \colon \mathbf {f} (V)\to \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )\mapsto \mathbf {x} }$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수이다.

이를 역함수 정리라고 한다.^[1]:322-323

열린구간 ${\displaystyle a\in I\subseteq \mathbb {R} }$ 및 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수 ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$가 다음을 만족시킨다고 하자.

${\displaystyle f'(a)\neq 0}$

그렇다면, ${\displaystyle f}$는 ${\displaystyle a}$에서 국소 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 미분동형사상이다. 즉, 다음을 만족시키는 열린구간 ${\displaystyle a\in J\subseteq I}$가 존재한다.

• ${\displaystyle f(J)}$는 열린구간이다.
• ${\displaystyle f|_{J}}$는 단사 함수이다.
• ${\displaystyle g\colon f(J)\to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f(x)\mapsto x}$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수이다.

이는 역함수 정리의 일변수 버전이다.

임의의 ${\displaystyle \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}$에 대하여, 다음과 같은 함수 ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }\colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$를 정의하자.

${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )=\mathbf {x} +(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}(\mathbf {y} -\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\qquad \forall \mathbf {x} \in U}$

그렇다면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )=(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )-\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))\qquad \forall \mathbf {x} \in U,\;\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}$

그렇다면 ${\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} }$가 연속 함수이므로, 다음을 만족시키는 열린 근방 ${\displaystyle \mathbf {a} \in V\subseteq U}$가 존재한다.

${\displaystyle \Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )-\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\Vert <{\frac {1}{2\Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert }}}$

즉, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \Vert \mathrm {D} \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )\Vert <{\frac {1}{2}}\qquad \forall \mathbf {x} \in V,\;\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}$

즉, 다음이 성립한다.

${\displaystyle \Vert \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )-\mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} ')\Vert \leq {\frac {1}{2}}\Vert \mathbf {x} -\mathbf {x} '\Vert \qquad \forall \mathbf {x} ,\mathbf {x} '\in V,\;\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}$

이제 ${\displaystyle \mathbf {f} |_{V}}$가 단사 함수임을 보이자. ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {x} '\in V}$가 ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {x} ')}$를 만족시킨다고 가정하자. 그렇다면, ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {x} '}$는 모두 ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {f} (\mathbf {x} )}}$의 고정점이다. 즉, ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {f} (\mathbf {x} )}(\mathbf {x} )=\mathbf {x} }$이며 ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {f} (\mathbf {x} )}(\mathbf {x} ')=\mathbf {x} '}$이다. 이를 위에 대입하면, ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} '}$를 얻는다. 따라서 ${\displaystyle \mathbf {f} |_{V}}$는 단사 함수이다.

이제 ${\displaystyle \mathbf {f} (V)}$가 열린집합임을 보이자. 즉, 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} '\in V}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {B} (\mathbf {f} (\mathbf {x} '),\epsilon )\subseteq \mathbf {f} (V)}$인 ${\displaystyle \epsilon >0}$을 찾자. 그러려면 임의의 ${\displaystyle \mathbf {y} \in \operatorname {B} (\mathbf {f} (\mathbf {x} '),\epsilon )}$에 대하여, ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }}$가 ${\displaystyle V}$에서 고정점을 가지는 것으로 족하다. ${\displaystyle \delta >0}$가 ${\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta )\subseteq V}$를 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 임의의 ${\displaystyle \mathbf {y} \in \operatorname {B} (\mathbf {f} (\mathbf {x} '),\epsilon )}$에 대하여 ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta ))\subseteq \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta )}$가 성립함을 보이는 것으로 족하다. 사실, ${\displaystyle \epsilon =\delta /2\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert }$를 취하면, 임의의 ${\displaystyle \mathbf {y} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {f} (\mathbf {x} '),\epsilon )}$ 및 ${\displaystyle \mathbf {x} \in \operatorname {B} (\mathbf {x} ',\delta )}$에 대하여, 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\Vert \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )-\mathbf {x} '\Vert &\leq \Vert \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )-\mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} ')\Vert +\Vert \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} ')-\mathbf {x} '\Vert \\&\leq {\frac {1}{2}}\Vert \mathbf {x} -\mathbf {x} '\Vert +\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}(\mathbf {y} -\mathbf {f} (\mathbf {x} '))\Vert \\&<\delta \end{aligned}}}$

즉, ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )\in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta )}$이다. 즉, ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }}$는 ${\displaystyle {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta )}$ 위의 축약 사상이며, 바나흐 고정점 정리에 따라, ${\displaystyle \mathbf {F} _{\mathbf {y} }}$는 고정점 ${\displaystyle \mathbf {x} \in {\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta )}$를 갖는다. 따라서, ${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {f} (\mathbf {x} )\in \mathbf {f} ({\bar {\operatorname {B} }}(\mathbf {x} ',\delta ))\subseteq \mathbf {f} (V)}$이며, ${\displaystyle \mathbf {f} (V)}$는 열린집합이다.

이제 임의의 ${\displaystyle \mathbf {x} \in V}$에 대하여, ${\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )}$가 가역 행렬임을 보이자. ${\displaystyle \mathbf {h} \in \mathbb {R} ^{n}}$가 ${\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\mathbf {h} =\mathbf {0} }$을 만족시킨다고 가정하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\mathbf {h} \Vert \\&\geq \Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )\mathbf {h} \Vert -\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )-\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))\mathbf {h} \Vert \\&\geq {\frac {\Vert \mathbf {h} \Vert }{\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert }}-\Vert \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} )-\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\Vert \Vert \mathbf {h} \Vert \\&\geq {\frac {\Vert \mathbf {h} \Vert }{2\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert }}\\\end{aligned}}}$

즉, ${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {0} }$이다. 따라서 ${\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )}$는 가역 행렬이다.

이제 ${\displaystyle \mathbf {g} \colon \mathbf {f} (V)\to \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )\to \mathbf {x} }$가 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수임을 보이자. 임의의 ${\displaystyle \mathbf {y} ,\mathbf {y} +\mathbf {k} \in \mathbf {f} (V)}$에 대하여, ${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {f} (\mathbf {x} )}$ 또한 ${\displaystyle \mathbf {y} +\mathbf {k} =\mathbf {f} (\mathbf {x} +\mathbf {h} )}$인 ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {x} +\mathbf {h} \in V}$를 취하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\Vert \mathbf {h} \Vert &\geq \Vert \mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} +\mathbf {h} )-\mathbf {F} _{\mathbf {y} }(\mathbf {x} )\Vert \\&=\Vert \mathbf {h} -(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\mathbf {k} \Vert \\&\geq \Vert \mathbf {h} \Vert -\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert \Vert \mathbf {k} \Vert \end{aligned}}}$

즉, ${\displaystyle \Vert \mathbf {k} \Vert \geq \Vert \mathbf {h} \Vert /(2\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert )}$이다. 따라서, 다음이 성립한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{\mathbf {k} \to \mathbf {0} }{\frac {\Vert \mathbf {g} (\mathbf {y} +\mathbf {k} )-\mathbf {g} (\mathbf {y} )-(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))^{-1}\mathbf {k} \Vert }{\Vert \mathbf {k} \Vert }}&=\limsup _{\mathbf {k} \to \mathbf {0} }{\frac {\Vert \mathbf {h} -(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))^{-1}(\mathbf {f} (\mathbf {x} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\Vert }{\Vert \mathbf {k} \Vert }}\\&\leq \limsup _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac {\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))^{-1}\Vert }{\Vert (\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {a} ))^{-1}\Vert }}{\frac {\Vert \mathbf {f} (\mathbf {x} +\mathbf {h} )-\mathbf {f} (\mathbf {x} )-(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} ))^{-1}\mathbf {h} \Vert }{\Vert \mathbf {h} \Vert }}\\&=0\end{aligned}}}$

즉, ${\displaystyle \mathrm {D} \mathbf {g} (\mathbf {x} )=(\mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {g} (\mathbf {y} ))^{-1}}$이며, ${\displaystyle \mathbf {g} }$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수이다.

열린집합 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ 및 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ 함수 ${\displaystyle \mathbf {f} \colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$가 다음을 만족시킨다고 하자.

${\displaystyle \det \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\neq 0\qquad \forall \mathbf {x} \in U}$

그렇다면, ${\displaystyle \mathbf {f} }$는 열린 함수이다. 즉, 모든 열린집합 ${\displaystyle {\widetilde {U}}\subseteq U}$의 상 ${\displaystyle \mathbf {f} ({\widetilde {U}})}$은 역시 열린집합이다.

열린집합 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ 및 단사 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수 ${\displaystyle \mathbf {f} \colon U\to \mathbb {R} ^{n}}$가 다음을 만족시킨다고 하자.

${\displaystyle \det \mathrm {D} \mathbf {f} (\mathbf {x} )\neq 0\qquad \forall \mathbf {x} \in U}$

그렇다면, ${\displaystyle \mathbf {f} }$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 미분동형사상이다. 즉, 다음이 성립한다.

• ${\displaystyle \mathbf {f} (U)}$는 열린집합이다.
• ${\displaystyle \mathbf {f} ^{-1}\colon f(U)\to \mathbb {R} ^{n}}$은 역시 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 함수이다.

다음과 같은 함수 ${\displaystyle \mathbf {f} \colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$를 생각하자.

${\displaystyle \mathbf {f} (x,y)=(e^{x}\cos y,e^{x}\sin y)\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }$

그렇다면, ${\displaystyle \mathbf {f} }$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ 함수이며, 또한 다음을 만족시킨다.

${\displaystyle \det \mathrm {D} \mathbf {f} (x,y)=e^{2x}\neq 0}$

음함수 정리에 따라, ${\displaystyle \mathbf {f} }$는 (모든 점에서) 국소 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}$ 미분동형사상이다. 그러나 ${\displaystyle \mathbf {f} }$는 삼각 함수의 주기성에 따라 단사 함수가 아니므로, 미분동형사상이 아니다.

다음과 같은 함수 ${\displaystyle \mathbf {f} \colon \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$를 생각하자.

${\displaystyle \mathbf {f} (x,y)=(x^{3},y)\qquad \forall x,y\in \mathbb {R} }$

그렇다면, ${\displaystyle \mathbf {f} }$는 연속 함수이며, 다음과 같은 연속 역함수 ${\displaystyle f^{-1}}$를 갖는다.

${\displaystyle f^{-1}(u,v)=(u^{1/3},v)\qquad \forall u,v\in \mathbb {R} }$

즉, ${\displaystyle \mathbf {f} }$는 ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}}$ 미분동형사상이다. 그러나, ${\displaystyle \det \mathrm {D} \mathbf {f} (0,0)=0}$이다. 즉, ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}}$ 미분동형사상은 야코비 행렬식이 0인 점을 가질 수 있다. ${\displaystyle k>0}$일 경우, ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{k}}$ 미분동형사상은 야코비 행렬식이 0인 점을 가지지 않는다.

• 음함수 정리

• Weisstein, Eric Wolfgang. “Inverse function theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.