미분기하학 에서 에레스만 접속 (Ehresmann接續, 영어 : Ehresmann connection )은 임의의 올다발 에서, 올의 원소를 주어진 곡선을 따라 "평행하게" 이동하는 방법을 제시하는 구조이다. 구체적으로, 올다발의 접다발 에서, 밑공간과 평행한 방향으로 구성되는 부분 벡터 다발이다. 이를 통해 평행 운송과 홀로노미 및 곡률 을 정의할 수 있지만, 단면에 대한 공변 미분 연산자를 정의할 수 없다. 벡터 다발 의 코쥘 접속 이나, 주다발 의 주접속 의 공통된 일반화이다.
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
매끄러운 올다발
π π -->
: : -->
E
↠ ↠ -->
M
{\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M}
이 주어졌다고 하고,
E
{\displaystyle E}
E
{\displaystyle E}
매끄러운 다양체 를 이룬다고 하자. 그렇다면 수직 벡터 다발
V
E
⊆ ⊆ -->
T
E
{\displaystyle \mathrm {V} E\subseteq \mathrm {T} E}
이에 따라, 짧은 완전열
0
→ → -->
V
E
↪ ↪ -->
T
E
↠ ↠ -->
π π -->
∗ ∗ -->
T
π π -->
π π -->
∗ ∗ -->
T
M
→ → -->
0
{\displaystyle 0\to \mathrm {V} E\hookrightarrow \mathrm {T} E\;{\overset {\pi ^{*}\mathrm {T} \pi }{\twoheadrightarrow }}\;\pi ^{*}\mathrm {T} M\to 0}
이 존재한다. (여기서
π π -->
∗ ∗ -->
T
π π -->
: : -->
(
e
,
u
)
↦ ↦ -->
(
e
,
T
π π -->
(
u
)
)
{\displaystyle \pi ^{*}\mathrm {T} \pi \colon (e,u)\mapsto (e,\mathrm {T} \pi (u))}
분할 완전열 이지만, 이러한 분할은 (추가 데이터 없이) 표준적으로 주어지지 않는다. 에레스만 접속은 위 분할을 표준적으로 제시하는 데이터이다.
E
{\displaystyle E}
(에레스만) 접속 (Ehresmann接續, 영어 : (Ehresmann) connection )
ι ι -->
: : -->
H
↪ ↪ -->
T
E
{\displaystyle \iota \colon H\hookrightarrow \mathrm {T} E}
T
E
↠ ↠ -->
E
{\displaystyle \mathrm {T} E\twoheadrightarrow E}
벡터 다발 이다.
T
E
=
H
⊕ ⊕ -->
V
E
{\displaystyle \mathrm {T} E=H\oplus \mathrm {V} E}
이는 1차 제트 다발
J
1
E
↠ ↠ -->
E
{\displaystyle \mathrm {J} ^{1}E\twoheadrightarrow E}
단면 과 같다. 직관적으로, 에레스만 접속은
E
{\displaystyle E}
접공간
T
e
E
{\displaystyle \mathrm {T} _{e}E}
M
{\displaystyle M}
V
e
E
{\displaystyle \mathrm {V} _{e}E}
H
e
{\displaystyle H_{e}}
에레스만 접속
H
{\displaystyle H}
벡터 다발 사영을 정의할 수 있다.
v
: : -->
T
E
↠ ↠ -->
V
E
{\displaystyle v\colon \mathrm {T} E\twoheadrightarrow \mathrm {V} E}
v
: : -->
(
h
,
u
)
↦ ↦ -->
u
(
h
∈ ∈ -->
Γ Γ -->
(
H
)
,
u
∈ ∈ -->
Γ Γ -->
(
V
E
)
)
{\displaystyle v\colon (h,u)\mapsto u\qquad \left(h\in \Gamma (H),\;u\in \Gamma (\mathrm {V} E)\right)}
0
→ → -->
V
E
⇄ ⇄ -->
v
T
E
⇄ ⇄ -->
ι ι -->
π π -->
∗ ∗ -->
T
π π -->
π π -->
∗ ∗ -->
T
M
→ → -->
0
{\displaystyle 0\to \mathrm {V} E\;{\underset {v}{\rightleftarrows }}\;\mathrm {T} E\;{\overset {\pi ^{*}\mathrm {T} \pi }{\underset {\iota }{\rightleftarrows }}}\;\pi ^{*}\mathrm {T} M\to 0}
즉,
H
=
ker
-->
v
{\displaystyle H=\ker v}
가 된다. 이 경우,
v
{\displaystyle v}
H
{\displaystyle H}
접속 형식 (接續形式, 영어 : connection form )이라고 한다.
v
{\displaystyle v}
E
{\displaystyle E}
V
E
{\displaystyle \mathrm {V} E}
1차 미분 형식 으로 간주할 수 있다.
올다발
π π -->
: : -->
E
↠ ↠ -->
M
{\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M}
ker
-->
v
{\displaystyle \ker v}
곡률 형식 (曲率形式, 영어 : curvature form )은 다음과 같은,
E
{\displaystyle E}
T
E
{\displaystyle \mathrm {T} E}
2차 미분 형식 이다.
R
=
1
2
[
v
∧ ∧ -->
v
]
∈ ∈ -->
Ω Ω -->
2
(
E
,
T
E
)
{\displaystyle R={\frac {1}{2}}[v\wedge v]\in \Omega ^{2}(E,\mathrm {T} E)}
여기서
[
∧ ∧ -->
]
{\displaystyle [\wedge ]}
T
E
{\displaystyle \mathrm {T} E}
미분 형식
v
∈ ∈ -->
Ω Ω -->
1
(
E
,
T
E
)
{\displaystyle v\in \Omega ^{1}(E,\mathrm {T} E)}
평탄 에레스만 접속 (平坦Ehresmann接續, 영어 : flat Ehresmann connection )이라고 한다.
밑공간
M
{\displaystyle M}
곡선
γ γ -->
: : -->
[
a
,
b
]
→ → -->
M
{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to M}
M
{\displaystyle M}
올다발
E
{\displaystyle E}
H
{\displaystyle H}
평행 운송
P
(
γ γ -->
)
: : -->
E
γ γ -->
(
a
)
→ → -->
E
γ γ -->
(
b
)
{\displaystyle P(\gamma )\colon E_{\gamma (a)}\to E_{\gamma (b)}}
을 정의할 수 있다.
올다발 에 벡터 다발 이나 주다발 과 같은 추가 구조가 주어질 경우, 이들 구조와 호환되는 특수한 접속들을 정의할 수 있다. 반대로, 에레스만 접속의 개념은 벡터 다발이나 주다발 위의 접속의 개념의 일반화이다.
이 부분의 본문은
주접속 입니다.
리 군
G
{\displaystyle G}
π π -->
: : -->
E
↠ ↠ -->
M
{\displaystyle \pi \colon E\twoheadrightarrow M}
G
{\displaystyle G}
주다발 이라고 하자. 이 경우, 수직 벡터 다발
V
E
{\displaystyle VE}
리 대수
g
=
T
1
G
{\displaystyle {\mathfrak {g}}=T_{1}G}
벡터 다발 과 동형이다.
V
E
≅ ≅ -->
g
× × -->
E
{\displaystyle \mathrm {V} E\cong {\mathfrak {g}}\times E}
따라서,
E
{\displaystyle E}
v
: : -->
T
E
↠ ↠ -->
V
E
{\displaystyle v\colon \mathrm {T} E\twoheadrightarrow \mathrm {V} E}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
1차 미분 형식 이 된다. 만약
v
{\displaystyle v}
G
{\displaystyle G}
E
{\displaystyle E}
주접속 을 이룬다.
E
{\displaystyle E}
벡터 다발 이라고 하자. 이 경우, 수직 벡터 다발
V
E
{\displaystyle \mathrm {V} E}
당김
π π -->
∗ ∗ -->
E
{\displaystyle \pi ^{*}E}
E
{\displaystyle E}
ker
-->
v
{\displaystyle \ker v}
E
{\displaystyle E}
단면
s
∈ ∈ -->
Γ Γ -->
(
E
)
{\displaystyle s\in \Gamma (E)}
s
: : -->
M
→ → -->
E
{\displaystyle s\colon M\to E}
로 생각할 수 있으며, 따라서 그 미분
d
s
: : -->
T
M
→ → -->
T
E
{\displaystyle \mathrm {d} s\colon \mathrm {T} M\to TE}
를 정의할 수 있다. 여기에
v
: : -->
T
E
→ → -->
V
E
≅ ≅ -->
π π -->
∗ ∗ -->
E
{\displaystyle v\colon \mathrm {T} E\to \mathrm {V} E\cong \pi ^{*}E}
를 합성 하자.
v
∘ ∘ -->
d
s
: : -->
T
M
→ → -->
π π -->
∗ ∗ -->
E
{\displaystyle v\circ \mathrm {d} s\colon \mathrm {T} M\to \pi ^{*}E}
만약
v
: : -->
T
M
→ → -->
T
E
{\displaystyle v\colon \mathrm {T} M\to \mathrm {T} E}
벡터 다발 의 사상이라면),
v
∘ ∘ -->
d
s
{\displaystyle v\circ ds}
∇ ∇ -->
: : -->
Γ Γ -->
(
E
)
→ → -->
Γ Γ -->
(
T
∗ ∗ -->
M
⊗ ⊗ -->
E
)
{\displaystyle \nabla \colon \Gamma (E)\to \Gamma (\mathrm {T} ^{*}M\otimes E)}
∇ ∇ -->
: : -->
s
↦ ↦ -->
v
∘ ∘ -->
d
s
{\displaystyle \nabla \colon s\mapsto v\circ \mathrm {d} s}
는 벡터 다발의 코쥘 접속 을 이룬다. 반대로,
E
{\displaystyle E}
∇ ∇ -->
{\displaystyle \nabla }
H
e
=
{
d
s
π π -->
(
e
)
(
T
π π -->
(
e
)
M
)
: : -->
s
∈ ∈ -->
Γ Γ -->
(
E
)
,
s
(
π π -->
(
e
)
)
=
e
,
∇ ∇ -->
s
=
0
}
{\displaystyle H_{e}=\{\mathrm {d} s_{\pi (e)}(T_{\pi (e)}M)\colon s\in \Gamma (E),\;s(\pi (e))=e,\;\nabla s=0\}}
로 정의하면
H
{\displaystyle H}
E
↠ ↠ -->
M
{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}
동차공간
G
/
H
{\displaystyle G/H}
올다발 이라고 하고, 또
G
/
H
{\displaystyle G/H}
잉여류 에 해당하는 매끄러운 단면
s
∈ ∈ -->
Γ Γ -->
(
E
)
{\displaystyle s\in \Gamma (E)}
E
{\displaystyle E}
ker
-->
v
{\displaystyle \ker v}
국소적 자명화를 잡았을 때, 임의의 곡선
γ γ -->
: : -->
[
0
,
1
]
→ → -->
M
{\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to M}
T
γ γ -->
(
0
)
M
→ → -->
T
γ γ -->
(
1
)
M
{\displaystyle T_{\gamma (0)}M\to T_{\gamma (1)}M}
g
∈ ∈ -->
G
{\displaystyle g\in G}
작용 으로 주어진다.
임의의
x
∈ ∈ -->
M
{\displaystyle x\in M}
s
∗ ∗ -->
v
: : -->
T
x
M
→ → -->
V
s
(
x
)
E
{\displaystyle s^{*}v\colon T_{x}M\to V_{s(x)}E}
벡터 공간 의 동형이다. 그렇다면 이는
M
{\displaystyle M}
G
/
H
{\displaystyle G/H}
올다발 위의 카르탕 접속 의 개념과 동치이다.
역사적으로 접속은 리만 기하학 에서 무한소 적 관점으로 다루어졌다. 이는 일정 부분 엘빈 브루노 크리스토펠 의 연구로 시작되었으며, 나중에 그레고리오 리치쿠르바스트로 와 툴리오 레비치비타 가 크리스토펠이 사용한 의미의 접속을 이용하면 평행 운송의 개념을 만들 수 있음을 발견하면서 보다 큰 관심을 받게 되었다.[ 1]
레비치비타는 접속을 일종의 미분 작용소로, 평행 운송을 미분 방정식 의 해로 보았다. 20세기에 엘리 카르탕 은 미분 형식의 기술을 펠릭스 클라인 의 에를랑겐 프로그램 에 적용하려고 하면서 접속의 새로운 개념을 개발해냈다. 그는 자신의 카르탕 접속 이 고전적인 에를랑겐 기하학에는 존재하지 않는 곡률 의 개념을 제공한다는 것을 알아차렸다.[ 2] [ 3] 장 가스통 다르부 의 동역학을 이용해 평행 운송을 카르탕 접속에 대해 일반화시키고, 이를 통해 접속을 미분형식 의 한 종류로 보는 새로운 흐름이 나타났다.
1950년에 장루이 코쥘 은 벡터 다발 의 코쥘 접속 의 현대적인 정의를 제시하였다.[ 4] 샤를 에레스만 (프랑스어 : Charles Ehresmann )은 임의의 올다발 위의 에레스만 접속의 개념을 도입하였다.[ 5]
![{\displaystyle R={\frac {1}{2}}[v\wedge v]\in \Omega ^{2}(E,\mathrm {T} E)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40696bc39c50bf11fcd8e7a02f3ad5e4701f525c)
![{\displaystyle [\wedge ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/191363fc6fb4595c04851ec8b070f42910a1a882)
![{\displaystyle \gamma \colon [a,b]\to M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2ad211fe721fae3ae8c83692d31ec8869445941)
![{\displaystyle \gamma \colon [0,1]\to M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f996fded967c7c0428088f2d90081eb1b58a1a60)
