${\displaystyle d^{*}(X)\geq z(X)}$의 증명. ${\displaystyle Y\subseteq X}$가 부분 집합이며, ${\displaystyle \leq }$가 ${\displaystyle Y}$ 위의 정렬 전순서이며, ${\displaystyle Y}$의 모든 상집합이 ${\displaystyle Y}$의 열린집합이라고 하자. ${\displaystyle |Y|\leq d^{*}(X)}$를 보이면 충분하다. 이를 보이기 위해서, 임의의 무한 기수 ${\displaystyle \kappa <|Y|}$에 대하여, ${\displaystyle \kappa ^{+}\leq d^{*}(X)}$임을 보이면 충분하다. ${\displaystyle \alpha }$가 ${\displaystyle (Y,\leq )}$의 순서형이라고 하자. ${\displaystyle \kappa ^{+}\leq |Y|\leq \alpha }$이므로, 순서형이 ${\displaystyle \kappa ^{+}}$인 부분 집합

${\displaystyle Z\subseteq Y}$

가 존재한다. 임의의 상집합 ${\displaystyle S\subseteq Z}$는 ${\displaystyle S}$의 ${\displaystyle Y}$에서의 상폐포와 ${\displaystyle Y}$의 교집합이므로, ${\displaystyle Z}$의 열린집합이다. ${\displaystyle \kappa ^{+}=|Z|}$는 무한 기수의 따름 기수이므로, 정칙 기수이다. 따라서, 만약 ${\displaystyle D\subseteq S}$가 조밀 집합이라면, ${\displaystyle D}$는 ${\displaystyle S}$의 공종 집합이며, ${\displaystyle |D|\geq \kappa ^{+}}$이다. 즉,

${\displaystyle \kappa ^{+}=d(Z)\leq d^{*}(X)}$

이다.

${\displaystyle d^{*}(X)\leq z(X)}$의 증명. 임의의 ${\displaystyle Y\subseteq X}$에 대하여, ${\displaystyle d(Y)\leq z(X)}$임을 보이면 충분하다. 초한 귀납법에 따라, 다음과 같은 초한 점렬 ${\displaystyle (y_{\alpha })_{\alpha <d(Y)}\subseteq Y}$을 만들 수 있다.

${\displaystyle y_{\alpha }\in Y\setminus \operatorname {cl} \{y_{\beta }\colon \beta <\alpha \}\qquad (\forall \alpha <d(Y))}$

이제,

${\displaystyle Z=\{y_{\alpha }\colon \alpha <d(Y)\}}$

라고 하자. ${\displaystyle Z}$ 위에 그 원소의 첨수에 따른 순서를 부여하면, 순서형이 ${\displaystyle d(Y)}$인 정렬 전순서 집합을 이룬다. 또한, 임의의 상집합 ${\displaystyle S\subseteq Z}$에 대하여, 그 최소 원소가 ${\displaystyle \min S=y_{\alpha }}$라고 하면,

${\displaystyle S=\{y_{\beta }\colon \alpha \leq \beta <d(Y)\}=Z\cap (Y\setminus \operatorname {cl} \{y_{\beta }\colon \beta <\alpha \})}$

이므로, ${\displaystyle S\subseteq Z}$는 열린집합이다. 따라서,

${\displaystyle d(Y)=|S|\leq z(X)}$

이다.

${\displaystyle c^{*}(X)\leq s(X)}$의 증명. ${\displaystyle X}$의 부분 집합 ${\displaystyle Y\subseteq X}$ 및 ${\displaystyle Y}$의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족 ${\displaystyle {\mathcal {U}}\subseteq \operatorname {Open} (Y)}$가 주어졌을 때, 임의의 ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$에 대하여

${\displaystyle x_{U}\in U}$

를 고르면,

${\displaystyle D=\{x_{U}\colon U\in {\mathcal {U}}\}\subseteq Y\subseteq X}$

는 ${\displaystyle X}$의 부분 집합이며, 또한 이산 공간이다.

${\displaystyle c^{*}(X)\geq s(X)}$의 증명. ${\displaystyle X}$의 이산 집합 ${\displaystyle D\subseteq X}$가 주어졌을 때,

${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{\{x\}\colon x\in D\}\subseteq \operatorname {Open} (D)}$

는 ${\displaystyle D}$의 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족이다.

${\displaystyle L^{*}(X)\geq h(X)}$의 증명. ${\displaystyle Y\subseteq X}$가 부분 집합이며, ${\displaystyle \leq }$가 ${\displaystyle Y}$ 위의 정렬 전순서이며, ${\displaystyle Y}$의 모든 하집합이 ${\displaystyle Y}$의 열린집합이라고 하자. ${\displaystyle |Y|\leq L^{*}(X)}$를 보이면 충분하다. 이를 보이기 위해서, 임의의 무한 기수 ${\displaystyle \kappa <|Y|}$에 대하여 ${\displaystyle \kappa ^{+}\leq L^{*}(X)}$임을 보이면 충분하다. ${\displaystyle \alpha }$가 ${\displaystyle (Y,\leq )}$의 순서형이라고 하자. ${\displaystyle \kappa ^{+}\leq |Y|\leq \alpha }$이므로, 순서형이 ${\displaystyle \kappa ^{+}}$인 부분 집합

${\displaystyle Z\subseteq Y}$

가 존재한다. ${\displaystyle Z}$의 모든 하집합 역시 ${\displaystyle Z}$의 열린집합임을 쉽게 알 수 있다. ${\displaystyle \kappa ^{+}=|Z|}$는 무한 기수의 따름 기수이므로, 정칙 기수이다. 따라서, ${\displaystyle Z}$의 열린 덮개

${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{\mathop {\downarrow } z\setminus \mathop {\uparrow } z\colon z\in Z\}}$

의 모든 부분 덮개의 크기는 ${\displaystyle \kappa ^{+}}$이다. 즉,

${\displaystyle \kappa ^{+}=L({\mathcal {U}})\leq L(Z)\leq L^{*}(X)}$

이다.

${\displaystyle L^{*}(X)\leq h(X)}$의 증명. 임의의 부분 집합 ${\displaystyle Y\subseteq X}$ 및 무한 기수 ${\displaystyle \kappa <L(Y)}$에 대하여, ${\displaystyle \kappa ^{+}\leq h(X)}$임을 보이면 충분하다. ${\displaystyle L({\mathcal {U}})>\kappa }$인 ${\displaystyle Y}$의 열린 덮개 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$를 고르자. 초한 귀납법에 따라, 다음과 같은 초한 점렬 ${\displaystyle (y_{\alpha })_{\alpha <\kappa ^{+}}\subseteq Y}$ 및 ${\displaystyle (U_{\alpha })_{\alpha <\kappa ^{+}}\subseteq {\mathcal {U}}}$을 만들 수 있다.

${\displaystyle y_{\alpha }\in Y\setminus \bigcup _{\beta <\alpha }U_{\beta }\qquad (\forall \alpha <\kappa ^{+})}$

이제,

${\displaystyle Z=\{y_{\alpha }\colon \alpha <\kappa ^{+}\}\subseteq Y}$

라고 하자. ${\displaystyle Z}$는 자연스럽게 순서형이 ${\displaystyle \kappa ^{+}}$인 정렬 전순서 집합을 이룬다. 또한, ${\displaystyle Z}$의 임의의 하집합

${\displaystyle S=\bigcup _{y_{\alpha }\in S}\{y_{\beta }\colon \beta \leq \alpha \}=\bigcup _{y_{\alpha }\in S}\left(Z\cap \bigcup _{\beta \leq \alpha }U_{\beta }\right)=Z\cap \bigcup _{y_{\alpha }\in S}\bigcup _{\beta \leq \alpha }U_{\beta }}$

은 ${\displaystyle Z}$의 열린집합이다. 따라서,

${\displaystyle \kappa ^{+}=|Z|\leq h(X)}$

이다.

${\displaystyle c(X)\leq d(X)}$의 증명. ${\displaystyle {\mathcal {U}}\subseteq \operatorname {Open} (X)}$가 공집합이 아닌 서로소 열린집합들의 집합족이라고 하자. ${\displaystyle D\subseteq X}$가 조밀 집합이라고 하자. ${\displaystyle |{\mathcal {U}}|\leq |D|}$임을 보이면 족하다. 조밀성에 따라, 임의의 ${\displaystyle U\in {\mathcal {U}}}$에 대하여

${\displaystyle x_{U}\in U\cap D}$

를 고를 수 있다. ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$가 서로소이므로, ${\displaystyle U\mapsto x_{U}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {U}}\to D}$ 단사 함수이다. 따라서 ${\displaystyle |{\mathcal {U}}|\leq |D|}$이다.

${\displaystyle d(X)\leq \pi (X)}$의 증명. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$가 ${\displaystyle X}$의 π-기저라고 하자. ${\displaystyle |D|\leq |{\mathcal {B}}|}$인 조밀 집합 ${\displaystyle D\subseteq X}$를 찾으면 족하다. 임의의 ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$에 대하여 ${\displaystyle x_{B}\in B}$를 고르자. 그렇다면,

${\displaystyle D=\{x_{B}\colon B\in {\mathcal {B}}\}\subseteq X}$

는 조밀 집합이며, ${\displaystyle |D|\leq |B|}$이다.

${\displaystyle \pi (X)\leq w(X)}$의 증명. 모든 기저는 π-기저이므로 자명하다.

${\displaystyle w(X)\leq \left|\operatorname {Open} (X)\right|}$의 증명. ${\displaystyle \operatorname {Open} (X)}$는 ${\displaystyle X}$의 기저를 이루므로 자명하다.

${\displaystyle \left|\operatorname {Open} (X)\right|\leq 2^{|X|}}$의 증명. ${\displaystyle \operatorname {Open} (X)\leq {\mathcal {P}}(X)}$이므로 자명하다.

${\displaystyle \left|\operatorname {Open} (X)\right|\leq 2^{nw(X)}}$의 증명. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$이 ${\displaystyle X}$의 망이라고 하자. ${\displaystyle \left|\operatorname {Open} (X)\right|\leq 2^{|{\mathcal {N}}|}}$임을 보이면 족하다. 이는

${\displaystyle {\mathcal {P}}({\mathcal {N}})\to \operatorname {Open} (X)}$

${\displaystyle {\mathcal {S}}\mapsto \bigcup {\mathcal {S}}}$

가 전사 함수이므로 자명하다.

${\displaystyle \max\{d(X),L(X)\}\leq nw(X)\leq \min\{|X|,w(X)\}}$ ${\displaystyle d(X)\leq nw(X)}$의 증명. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$이 ${\displaystyle X}$의 망이라고 하자. ${\displaystyle |D|\leq |{\mathcal {N}}|}$인 조밀 집합 ${\displaystyle D\subseteq X}$를 찾으면 족하다. 임의의 ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$에 대하여 ${\displaystyle x_{N}\in {\mathcal {N}}}$을 고르자. 그렇다면,

${\displaystyle D=\{x_{N}\colon N\in {\mathcal {N}}\}\subseteq X}$

는 조밀 집합이며, ${\displaystyle |D|\leq |{\mathcal {N}}|}$이다.

${\displaystyle L(X)\leq nw(X)}$의 증명. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$이 ${\displaystyle X}$의 망이라고 하자. ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$가 ${\displaystyle X}$의 열린 덮개라고 하자. ${\displaystyle |{\mathcal {V}}|\leq |{\mathcal {N}}|}$인 부분 덮개 ${\displaystyle {\mathcal {V}}\subseteq {\mathcal {U}}}$를 찾으면 족하다.

${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{N\in {\mathcal {N}}\colon \exists U\in {\mathcal {U}}\colon N\subseteq U\}}$

라고 하자. 임의의 ${\displaystyle N\in {\mathcal {S}}}$에 대하여

${\displaystyle N\subseteq U_{N}}$

인 ${\displaystyle U_{N}\in {\mathcal {U}}}$를 고르자. 그렇다면,

${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{U_{N}\colon N\in {\mathcal {N}}\}}$

은 ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$의 부분 덮개이며, ${\displaystyle |{\mathcal {V}}|\leq |{\mathcal {N}}|}$이다.

${\displaystyle nw(X)\leq |X|}$의 증명. ${\displaystyle \{\{x\}\colon x\in X\}}$가 ${\displaystyle X}$의 망이므로 자명하다.

${\displaystyle nw(X)\leq w(X)}$의 증명. 모든 기저는 망을 이루므로 자명하다.

${\displaystyle t(x,X)\leq \chi (x,X)}$의 증명. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$가 ${\displaystyle x}$의 국소 기저라고 하자. ${\displaystyle S\subseteq X}$이며 ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} S}$라고 하자.

${\displaystyle x\in \operatorname {cl} T}$

${\displaystyle |T|\leq |{\mathcal {B}}|}$

인 ${\displaystyle T\subseteq S}$를 찾으면 족하다. 임의의 ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$에 대하여, ${\displaystyle x_{B}\in B\cap S}$를 고르자. 그렇다면,

${\displaystyle T=\{x_{B}\colon B\in {\mathcal {B}}\}\subseteq S}$

는 위 조건들을 만족시킨다.

${\displaystyle \pi \chi (x,X)\leq \chi (x,X)}$의 증명. ${\displaystyle x}$의 임의의 국소 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$에 대하여,

${\displaystyle \{\operatorname {int} B\colon B\in {\mathcal {B}}\}}$

는 열린 근방들로 이루어진 국소 기저이며, 특히 ${\displaystyle x}$의 국소 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

${\displaystyle \max\{t(X),\pi \chi (X)\}\leq \chi (X)}$의 증명. (ㄷ)에 의하여 자명하다.

${\displaystyle \chi (X)\leq w(X)}$의 증명. ${\displaystyle X}$의 임의의 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 및 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여,

${\displaystyle \{B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}}$

는 ${\displaystyle x}$의 국소 기저이므로 자명하다.

${\displaystyle w(X)\leq |X|\chi (X)}$의 증명. 모든 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여 국소 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}}$가 주어졌을 때,

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{\operatorname {int} B\colon B\in \bigcup _{x\in X}{\mathcal {B}}_{x}\right\}}$

는 ${\displaystyle X}$의 기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

${\displaystyle \pi \chi (X)\leq \pi (X)}$의 증명. 모든 π-기저는 모든 점의 국소 π-기저이므로 자명하다.

${\displaystyle \pi (X)\leq d(X)\pi \chi (X)}$의 증명. 모든 점 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여 국소 π-기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}}$가 주어졌고, 임의의 조밀 집합 ${\displaystyle D\subseteq X}$가 주어졌을 때,

${\displaystyle {\mathcal {B}}=\bigcup _{x\in D}{\mathcal {B}}_{x}}$

는 ${\displaystyle X}$의 π-기저이다. 따라서 이 부등식은 자명하게 참이다.

임의의 ${\displaystyle S\subseteq X}$에 대하여 ${\displaystyle |S|\leq |X|}$이므로 자명하다.

${\displaystyle \left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|\leq \pi (X)^{c(X)}}$의 증명. ${\displaystyle X}$의 임의의 π-기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq X}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$의 크기 ${\displaystyle c(X)}$ 이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 단사 함수

${\displaystyle \operatorname {RegClsd} (X)\to {\mathcal {P}}_{\leq c(X)}({\mathcal {B}})}$

를 찾으면 족하다. 임의의 정칙 닫힌집합 ${\displaystyle F\subseteq X}$에 대하여,

${\displaystyle {\mathcal {U}}_{F}\subseteq {\mathcal {B}}}$

가 ${\displaystyle U\subseteq \operatorname {int} F}$인 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 속의 서로소 열린집합 ${\displaystyle U\in {\mathcal {B}}}$들로 구성된 집합족 가운데 극대 원소인 하나라고 하자. (이는 초른 보조정리에 따라 존재하며, 선택 공리에 따라 극대 원소들 가운데 하나를 고를 수 있다.) 이제, 함수

${\displaystyle F\mapsto {\mathcal {U}}_{F}}$

를 생각하자. 자명하게 ${\displaystyle |{\mathcal {U}}_{F}|\leq c(X)}$이다. 만약 ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{E}={\mathcal {U}}_{F}}$라면,

${\displaystyle E=\operatorname {cl} \bigcup {\mathcal {U}}_{E}=\operatorname {cl} \bigcup {\mathcal {U}}_{F}=F}$

이다. 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.

${\displaystyle \left|\operatorname {RegOpen} (X)\right|\leq 2^{d(X)}}$의 증명. 임의의 조밀 집합 ${\displaystyle D\subseteq X}$가 주어졌다고 하자. 단사 함수

${\displaystyle \operatorname {RegClsd} (X)\to {\mathcal {P}}(D)}$

를 찾으면 족하다. 함수

${\displaystyle F\mapsto F\cap D}$

를 생각하자. 만약 ${\displaystyle E\cap D=F\cap D}$라면,

${\displaystyle E=\operatorname {cl} U}$

${\displaystyle F=\operatorname {cl} V}$

인 열린집합 ${\displaystyle U,V\subseteq X}$를 골랐을 때,

${\displaystyle E=\operatorname {cl} U=\operatorname {cl} (\operatorname {cl} U\cap D)=\operatorname {cl} (E\cap D)=\operatorname {cl} (F\cap D)=\operatorname {cl} (\operatorname {cl} V\cap D)=\operatorname {cl} V=F}$

이다. 따라서 이 함수는 단사 함수이다.

${\displaystyle X}$의 임의의 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$가 주어졌다고 하자. 단사 함수

${\displaystyle X\to {\mathcal {P}}({\mathcal {B}})}$

를 찾으면 족하다. 콜모고로프 조건에 따라, 함수

${\displaystyle x\mapsto \{B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}}$

는 단사 함수이다.

${\displaystyle \psi w(X)\leq |X|}$의 증명. T₁ 조건에 따라 ${\displaystyle \{X\setminus \{x\}\colon x\in X\}}$가 ${\displaystyle X}$의 유사 기저이므로 자명하다.

${\displaystyle \psi w(X)\leq w(X)}$의 증명. T₁ 조건에 따라 모든 기저는 유사 기저이므로 자명하다.

${\displaystyle |X|\leq \left|\operatorname {Open} (X)\right|}$의 증명. T₁ 조건에 따라 모든 ${\displaystyle X\setminus \{x\}}$은 ${\displaystyle X}$의 열린집합이므로 자명하다.

T₁ 조건에 따라 ${\displaystyle x}$의 모든 국소 기저는 국소 유사 기저이므로 자명하다.

${\displaystyle \psi (X)\leq \chi (X)}$의 증명. (ㄴ)에 의하여 자명하다.

${\displaystyle \psi (X)\leq \psi w(X)}$의 증명. ${\displaystyle X}$의 임의의 유사 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ 및 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여,

${\displaystyle \{B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}}$

는 ${\displaystyle x}$의 국소 유사 기저이므로 자명하다.

${\displaystyle |X|\leq 2^{\psi w(X)}}$의 증명. ${\displaystyle X}$의 임의의 유사 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$가 주어졌다고 하자. 단사 함수

${\displaystyle X\to {\mathcal {P}}({\mathcal {B}})}$

를 찾으면 족하다. 함수

${\displaystyle x\mapsto {\mathcal {\{}}B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}}$

를 생각하자. 만약 ${\displaystyle \{B\in {\mathcal {B}}\colon x\in B\}=\{B\in {\mathcal {B}}\colon y\in B\}}$라면,

${\displaystyle \{x\}=\bigcap _{x\in B\in {\mathcal {B}}}B=\bigcap _{y\in B\in {\mathcal {B}}}B=\{y\}}$

이다. 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.

${\displaystyle |X|\leq nw(X)^{\psi (X)}}$의 증명. ${\displaystyle X}$의 임의의 망 ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$이 주어졌다고 하자. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$의 크기 ${\displaystyle \psi (X)}$ 이하의 부분 집합들의 집합으로 가는 단사 함수

${\displaystyle X\mapsto {\mathcal {P}}_{\leq \psi (X)}({\mathcal {N}})}$

를 찾으면 족하다. 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle |{\mathcal {B}}_{x}|\leq \psi (X)}$인 ${\displaystyle x}$의 국소 유사 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}}$를 고르자. 임의의 ${\displaystyle x\in X}$ 및 ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}_{p}}$에 대하여, ${\displaystyle x\in N_{x,B}\subseteq B}$인 ${\displaystyle N_{x,B}\in {\mathcal {N}}}$을 고르자. 이제, 함수

${\displaystyle x\mapsto {\mathcal {S}}_{x}=\{N_{x,B}\colon B\in {\mathcal {B}}\}\subseteq {\mathcal {N}}}$

생각하자. (${\displaystyle |{\mathcal {S}}_{x}|\leq |{\mathcal {B}}_{x}|\leq \psi (X)}$이므로 ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{x}\in {\mathcal {P}}_{\leq \psi (X)}({\mathcal {N}})}$이다.) 만약 ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{x}={\mathcal {S}}_{y}}$라면,

${\displaystyle \{x\}=\bigcap {\mathcal {B}}_{x}=\bigcap {\mathcal {S}}_{x}=\bigcap {\mathcal {S}}_{y}=\bigcap {\mathcal {B}}_{y}=\{y\}}$

이다. 따라서 이 함수는 단사 함수이다.

${\displaystyle X}$의 임의의 유사 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$에 대하여,

${\displaystyle {\mathcal {N}}=\left\{X\setminus \bigcup {\mathcal {S}}\colon {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {B}},\;|{\mathcal {S}}|\leq L(X)\right\}}$

는 ${\displaystyle X}$의 망을 이루며,

${\displaystyle |{\mathcal {N}}|\leq |{\mathcal {B}}|^{L(X)}}$

이다.

${\displaystyle |X|\leq 2^{2^{d(X)}}}$의 증명. 임의의 조밀 집합 ${\displaystyle D\subseteq X}$가 주어졌다고 하자. 단사 함수

${\displaystyle X\to {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(D))}$

를 찾으면 족하다. 함수

${\displaystyle x\mapsto \{U\cap D\colon x\in U\in \operatorname {Open} (X)\}}$

를 생각하자. 만약

${\displaystyle \{U\cap D\colon x\in U\in \operatorname {Open} (X)\}=\{U\cap D\colon y\in U\in \operatorname {Open} (X)\}}$

라면, 하우스도르프 조건에 따라

${\displaystyle \{x\}=\bigcap _{x\in U\in \operatorname {Open} (X)}\operatorname {cl} U=\bigcap _{x\in U\in \operatorname {Open} (X)}\operatorname {cl} (U\cap D)=\bigcap _{y\in U\in \operatorname {Open} (X)}\operatorname {cl} (U\cap D)=\bigcap _{x\in U\in \operatorname {Open} (X)}\operatorname {cl} U=\{y\}}$

이다. (두 번째 등식은 조밀성에 따라 ${\displaystyle \operatorname {cl} U=\operatorname {cl} (U\cap D)}$이기 때문이다.) 따라서, 이 함수는 단사 함수이다.

${\displaystyle |X|\leq d(X)^{\chi (X)}}$의 증명. 만약 ${\displaystyle \chi (X)<\aleph _{0}}$이라면, ${\displaystyle X}$는 이산 공간이며, 이 부등식은 자명하게 성립한다. 이제, ${\displaystyle \chi (X)\geq \aleph _{0}}$이라고 하자. 임의의 조밀 집합 ${\displaystyle D\subseteq X}$가 주어졌다고 하자. 단사 함수

${\displaystyle X\to {\mathcal {P}}_{\leq \chi (X)}({\mathcal {P}}_{\leq \chi (X)}(D))}$

를 찾으면 족하다. 임의의 ${\displaystyle x\in X}$에 대하여, ${\displaystyle |{\mathcal {B}}_{x}|\leq \chi (X)}$인 국소 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{x}}$를 고르자. 임의의 ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}_{x}}$에 대하여

${\displaystyle s_{x,B}\in B\cap D}$

를 고르고,

${\displaystyle S_{x}=\{s_{x,B}\colon B\in {\mathcal {B}}_{x}\}\subseteq D}$

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{x}=\{B\cap S_{x}\colon B\in {\mathcal {B}}_{x}\}\subseteq {\mathcal {P}}(S_{x})\subseteq {\mathcal {P}}(D)}$