베르 공간
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일반위상수학 에서 베르 공간 (Baire空間, 영어 : Baire space )은 가산 개의 조밀 열린집합 들의 교집합이 조밀할 수 있도록, ‘충분한 수의’ 점들을 갖는 위상 공간 이다.
공집합이 아닌 위상 공간
X
{\displaystyle X}
게임 을 생각하자.
두 선수 갑(甲)과 을(乙)이 있다.
갑과 을은 수(手)를 두는 것을 반복하며, 갑이 먼저 수를 둔다. 여기서, 수를 둔다는 것은 공집합이 아닌 열린집합
U
⊆ ⊆ -->
X
{\displaystyle U\subseteq X}
(
U
0
,
U
1
,
U
2
,
… … -->
)
{\displaystyle (U_{0},U_{1},U_{2},\dots )}
U
0
,
U
2
,
U
4
,
… … -->
{\displaystyle U_{0},U_{2},U_{4},\dots }
U
1
,
U
3
,
U
5
,
… … -->
{\displaystyle U_{1},U_{3},U_{5},\dots }
U
0
⊇ ⊇ -->
U
1
⊇ ⊇ -->
U
2
⊇ ⊇ -->
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle U_{0}\supseteq U_{1}\supseteq U_{2}\supseteq \cdots }
만약
U
0
∩ ∩ -->
U
1
∩ ∩ -->
⋯ ⋯ -->
=
∅ ∅ -->
{\displaystyle U_{0}\cap U_{1}\cap \cdots =\varnothing }
이를 쇼케 게임 (영어 : Choquet game )
Choq
-->
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Choq} (X)}
[ 1] :43, Definition 8.10 [ 2] :39–40, §1 [ 3] :234, §4
공집합이 아닌 위상 공간
X
{\displaystyle X}
게임 을 생각하자.
두 선수 갑(甲)과 을(乙)이 있다.
갑과 을은 수(手)를 두는 것을 반복하며, 갑이 먼저 수를 둔다. 여기서, 수를 둔다는 것은 열린집합 과 그 속의 점의 순서쌍
(
U
,
x
)
{\displaystyle (U,x)}
(
(
U
0
,
x
0
)
,
(
U
1
,
x
1
)
,
(
U
2
,
x
2
)
,
(
U
3
,
x
3
)
,
… … -->
)
{\displaystyle ((U_{0},x_{0}),(U_{1},x_{1}),(U_{2},x_{2}),(U_{3},x_{3}),\dots )}
(
U
0
,
x
0
)
,
(
U
2
,
x
2
)
,
(
U
4
,
x
4
)
,
… … -->
{\displaystyle (U_{0},x_{0}),(U_{2},x_{2}),(U_{4},x_{4}),\dots }
(
U
1
,
x
1
)
,
(
U
3
,
x
3
)
,
(
U
5
,
x
5
)
,
… … -->
{\displaystyle (U_{1},x_{1}),(U_{3},x_{3}),(U_{5},x_{5}),\dots }
U
0
⊇ ⊇ -->
U
1
⊇ ⊇ -->
U
2
⊇ ⊇ -->
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle U_{0}\supseteq U_{1}\supseteq U_{2}\supseteq \cdots }
x
0
=
x
1
∧ ∧ -->
x
2
=
x
3
∧ ∧ -->
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle x_{0}=x_{1}\land x_{2}=x_{3}\land \cdots }
만약
U
0
∩ ∩ -->
U
1
∩ ∩ -->
⋯ ⋯ -->
=
∅ ∅ -->
{\displaystyle U_{0}\cap U_{1}\cap \cdots =\varnothing }
이를 강한 쇼케 게임 (영어 : strong Choquet game )
StrChoq
-->
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {StrChoq} (X)}
위상 공간
X
{\displaystyle X}
동치 이며, 이를 만족시키는 위상 공간 을 베르 공간 이라고 한다.
조건 ㈀ ⇒ 조건 ㈂:
X
{\displaystyle X}
S
⊆ ⊆ -->
X
{\displaystyle S\subseteq X}
제1 범주 열린집합 이라고 하자.
S
=
⋃ ⋃ -->
i
=
0
∞ ∞ -->
S
i
{\displaystyle \textstyle S=\bigcup _{i=0}^{\infty }S_{i}}
S
i
{\displaystyle S_{i}}
조밀한 곳이 없는 집합 이라고 하자. 그렇다면
∅ ∅ -->
=
int
-->
(
⋃ ⋃ -->
i
=
0
∞ ∞ -->
cl
-->
S
i
)
⊇ ⊇ -->
int
-->
S
=
S
{\displaystyle \textstyle \varnothing =\operatorname {int} \left(\bigcup _{i=0}^{\infty }\operatorname {cl} S_{i}\right)\supseteq \operatorname {int} S=S}
조건 ㈂ ⇒ 조건 ㈃:
X
{\displaystyle X}
S
⊆ ⊆ -->
X
{\displaystyle S\subseteq X}
제1 범주 집합 이라고 하자. 그렇다면,
int
-->
S
{\displaystyle \operatorname {int} S}
제1 범주 열린집합 이다. 따라서,
∅ ∅ -->
=
int
-->
S
=
cl
-->
X
∖ ∖ -->
S
{\displaystyle \varnothing =\operatorname {int} S=\operatorname {cl} X\setminus S}
X
∖ ∖ -->
S
{\displaystyle X\setminus S}
조밀 집합 이다.
조건 ㈃ ⇒ 조건 ㈁:
X
{\displaystyle X}
(
U
i
)
i
=
0
∞ ∞ -->
{\displaystyle (U_{i})_{i=0}^{\infty }}
조밀 열린집합 들의 열이라고 하자. 그렇다면,
S
=
⋃ ⋃ -->
i
=
0
∞ ∞ -->
X
∖ ∖ -->
U
i
{\displaystyle \textstyle S=\bigcup _{i=0}^{\infty }X\setminus U_{i}}
제1 범주 집합 이다. 따라서,
X
∖ ∖ -->
S
=
⋂ ⋂ -->
i
=
0
∞ ∞ -->
U
i
{\displaystyle \textstyle X\setminus S=\bigcap _{i=0}^{\infty }U_{i}}
조밀 집합 이다.
조건 ㈁ ⇒ 조건 ㈄: 쇼케 게임
Choq
-->
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Choq} (X)}
나무 를
T
{\displaystyle T}
Choq
-->
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Choq} (X)}
σ σ -->
{\displaystyle \sigma }
σ σ -->
{\displaystyle \sigma }
만약
(
σ σ -->
(
)
,
U
1
,
σ σ -->
(
U
1
)
,
U
3
,
σ σ -->
(
U
1
,
U
3
)
,
U
5
,
… … -->
,
U
2
i
− − -->
1
)
∈ ∈ -->
T
{\displaystyle (\sigma (),U_{1},\sigma (U_{1}),U_{3},\sigma (U_{1},U_{3}),U_{5},\dots ,U_{2i-1})\in T}
(
σ σ -->
(
)
,
U
1
,
σ σ -->
(
U
1
)
,
U
3
,
σ σ -->
(
U
1
,
U
3
)
,
U
5
,
… … -->
,
U
2
i
− − -->
1
,
σ σ -->
(
U
1
,
U
3
,
… … -->
,
U
2
i
− − -->
1
)
)
∈ ∈ -->
T
{\displaystyle (\sigma (),U_{1},\sigma (U_{1}),U_{3},\sigma (U_{1},U_{3}),U_{5},\dots ,U_{2i-1},\sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1}))\in T}
만약
(
σ σ -->
(
)
,
U
1
,
σ σ -->
(
U
1
)
,
U
3
,
σ σ -->
(
U
1
,
U
3
)
,
U
5
,
… … -->
)
{\displaystyle (\sigma (),U_{1},\sigma (U_{1}),U_{3},\sigma (U_{1},U_{3}),U_{5},\dots )}
T
{\displaystyle T}
극대 사슬 이라면,
σ σ -->
(
)
∩ ∩ -->
U
1
∩ ∩ -->
σ σ -->
(
U
1
)
∩ ∩ -->
U
3
∩ ∩ -->
σ σ -->
(
U
1
,
U
3
)
∩ ∩ -->
U
5
∩ ∩ -->
⋯ ⋯ -->
=
∅ ∅ -->
{\displaystyle \sigma ()\cap U_{1}\cap \sigma (U_{1})\cap U_{3}\cap \sigma (U_{1},U_{3})\cap U_{5}\cap \dots =\varnothing }
그렇다면,
σ σ -->
(
)
{\displaystyle \sigma ()}
T
′
=
{
(
U
1
,
U
3
,
… … -->
,
U
2
i
− − -->
1
)
: : -->
(
σ σ -->
(
)
,
U
1
,
σ σ -->
(
U
1
)
,
U
3
,
σ σ -->
(
U
1
,
U
3
)
,
U
5
,
… … -->
,
U
2
i
− − -->
1
)
∈ ∈ -->
T
}
{\displaystyle T'=\{(U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})\colon (\sigma (),U_{1},\sigma (U_{1}),U_{3},\sigma (U_{1},U_{3}),U_{5},\dots ,U_{2i-1})\in T\}}
라고 쓰자. 초른 보조정리 에 따라, 임의의
U
→ → -->
=
(
U
1
,
U
3
,
… … -->
,
U
2
i
− − -->
1
)
∈ ∈ -->
T
′
{\displaystyle {\vec {U}}=(U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})\in T'}
U
(
U
→ → -->
)
{\displaystyle {\mathcal {U}}({\vec {U}})}
극대 집합족이라고 하자.
임의의
U
2
i
+
1
∈ ∈ -->
U
(
U
→ → -->
)
{\displaystyle U_{2i+1}\in {\mathcal {U}}({\vec {U}})}
(
U
1
,
U
3
,
… … -->
,
U
2
i
+
1
)
∈ ∈ -->
T
′
{\displaystyle (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i+1})\in T'}
{
σ σ -->
(
U
1
,
U
3
,
… … -->
,
U
2
i
+
1
)
: : -->
U
2
i
+
1
∈ ∈ -->
U
(
U
→ → -->
)
}
{\displaystyle \{\sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i+1})\colon U_{2i+1}\in {\mathcal {U}}({\vec {U}})\}}
서로소 집합 들의 집합이다.그렇다면,
⋃ ⋃ -->
U
2
i
+
1
∈ ∈ -->
U
(
U
→ → -->
)
σ σ -->
(
U
1
,
U
3
,
… … -->
,
U
2
i
+
1
)
{\displaystyle \textstyle \bigcup _{U_{2i+1}\in {\mathcal {U}}({\vec {U}})}\sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i+1})}
σ σ -->
(
U
1
,
U
3
,
… … -->
,
U
2
i
− − -->
1
)
{\displaystyle \sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})}
조밀 집합 이다. (만약
V
{\displaystyle V}
σ σ -->
(
U
1
,
U
3
,
… … -->
,
U
2
i
− − -->
1
)
{\displaystyle \sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})}
공집합 이 아닌 열린집합 이며,
⋃ ⋃ -->
U
2
i
+
1
∈ ∈ -->
U
(
U
→ → -->
)
σ σ -->
(
U
1
,
U
3
,
… … -->
,
U
2
i
+
1
)
{\displaystyle \textstyle \bigcup _{U_{2i+1}\in {\mathcal {U}}({\vec {U}})}\sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i+1})}
서로소 라면,
U
(
U
→ → -->
)
∪ ∪ -->
{
V
}
{\displaystyle {\mathcal {U}}({\vec {U}})\cup \{V\}}
T
″
=
{
(
U
1
,
U
3
,
… … -->
,
U
2
i
− − -->
1
)
∈ ∈ -->
T
′
: : -->
∀ ∀ -->
j
: : -->
U
2
j
− − -->
1
∈ ∈ -->
U
(
(
U
1
,
U
3
,
… … -->
,
U
2
j
− − -->
3
)
)
}
{\displaystyle T''=\{(U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})\in T'\colon \forall j\colon U_{2j-1}\in {\mathcal {U}}((U_{1},U_{3},\dots ,U_{2j-3}))\}}
W
i
=
⋃ ⋃ -->
(
U
1
,
U
3
,
… … -->
,
U
2
i
− − -->
1
)
∈ ∈ -->
T
″
σ σ -->
(
U
1
,
U
3
,
… … -->
,
U
2
i
− − -->
1
)
{\displaystyle W_{i}=\bigcup _{(U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})\in T''}\sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})}
라고 하자. 그렇다면, 각
W
i
{\displaystyle W_{i}}
W
i
− − -->
1
{\displaystyle W_{i-1}}
조밀 집합 이다. 따라서, 각
W
i
{\displaystyle W_{i}}
W
0
=
σ σ -->
(
)
{\displaystyle W_{0}=\sigma ()}
조밀 열린집합 이다. 따라서,
⋂ ⋂ -->
i
∈ ∈ -->
N
W
i
=
∅ ∅ -->
{\displaystyle \textstyle \bigcap _{i\in \mathbb {N} }W_{i}=\varnothing }
귀류법 을 사용하여,
x
∈ ∈ -->
⋂ ⋂ -->
i
∈ ∈ -->
N
W
i
{\displaystyle \textstyle x\in \bigcap _{i\in \mathbb {N} }W_{i}}
나무
T
″
{\displaystyle T''}
i
∈ ∈ -->
N
{\displaystyle i\in \mathbb {N} }
x
∈ ∈ -->
σ σ -->
(
U
1
,
U
3
,
… … -->
,
U
2
i
− − -->
1
)
{\displaystyle x\in \sigma (U_{1},U_{3},\dots ,U_{2i-1})}
극대 사슬
(
U
1
,
U
3
,
U
5
,
… … -->
)
{\displaystyle (U_{1},U_{3},U_{5},\dots )}
x
∈ ∈ -->
σ σ -->
(
)
∩ ∩ -->
σ σ -->
(
U
1
)
∩ ∩ -->
σ σ -->
(
U
1
,
U
3
)
∩ ∩ -->
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle x\in \sigma ()\cap \sigma (U_{1})\cap \sigma (U_{1},U_{3})\cap \cdots }
σ σ -->
{\displaystyle \sigma }
조건 ㈄ ⇒ 조건 ㈀:
(
F
i
)
i
=
0
∞ ∞ -->
{\displaystyle (F_{i})_{i=0}^{\infty }}
내부 가 공집합 인,
X
{\displaystyle X}
닫힌집합 들의 열이지만,
S
=
⋃ ⋃ -->
i
=
0
∞ ∞ -->
F
i
{\displaystyle \textstyle S=\bigcup _{i=0}^{\infty }F_{i}}
내부 가 공집합 이 아니라고 하자. 그렇다면, 쇼케 게임
Choq
-->
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {Choq} (X)}
(
U
0
,
U
1
,
… … -->
,
U
2
i
− − -->
1
)
{\displaystyle (U_{0},U_{1},\dots ,U_{2i-1})}
U
2
i
=
(
int
-->
S
∩ ∩ -->
U
0
∩ ∩ -->
⋯ ⋯ -->
∩ ∩ -->
U
2
i
− − -->
1
)
∖ ∖ -->
F
i
{\displaystyle U_{2i}=(\operatorname {int} S\cap U_{0}\cap \cdots \cap U_{2i-1})\setminus F_{i}}
F
i
{\displaystyle F_{i}}
내부 가 공집합 이므로, 반드시
U
2
i
≠ ≠ -->
∅ ∅ -->
{\displaystyle U_{2i}\neq \varnothing }
U
2
i
− − -->
1
⊆ ⊆ -->
int
-->
S
∖ ∖ -->
(
F
0
∪ ∪ -->
F
1
∪ ∪ -->
⋯ ⋯ -->
∪ ∪ -->
F
i
)
{\displaystyle U_{2i-1}\subseteq \operatorname {int} S\setminus (F_{0}\cup F_{1}\cup \cdots \cup F_{i})}
U
0
∩ ∩ -->
U
1
∩ ∩ -->
U
2
∩ ∩ -->
⋯ ⋯ -->
=
∅ ∅ -->
{\displaystyle U_{0}\cap U_{1}\cap U_{2}\cap \cdots =\varnothing }
위상 공간
X
{\displaystyle X}
공집합 이거나, 또는 그 쇼케 게임에서 을이 필승 전략을 갖는다면,
X
{\displaystyle X}
쇼케 공간 (Choquet空間, 영어 : Choquet space )이라고 한다.[ 1] :Definition 8.12 위상 공간
X
{\displaystyle X}
공집합 이거나, 또는 그 강한 쇼케 게임에서 을이 필승 전략을 갖는다면,
X
{\displaystyle X}
강한 쇼케 공간 (Choquet空間, 영어 : strong Choquet space )이라고 한다. 따라서, 모든 쇼케 공간은 베르 공간이며, 모든 강한 쇼케 공간은 쇼케 공간이나, 그 역은 성립하지 않는다. 즉, 공집합이 아닌 위상 공간들은 그 쇼케 게임의 성질에 따라서 다음과 같이 세 종류로 분류된다.
쇼케 게임의 성질
갑이 필승 전략을 가짐
갑·을 아무도 필승 전략을 갖지 못함
을이 필승 전략을 가짐
위상 공간의 성질
베르 공간이 아닌 공간
쇼케 공간이 아닌 베르 공간
쇼케 공간
베르 공간의 공집합 이 아닌 열린집합 은 제1 범주 집합 이 아니다. 특히, 공집합 이 아닌 베르 공간의 제1 범주 집합 의 여집합 은 공집합 이 아니다.
베르 범주 정리 (Baire範疇定理, 영어 : Baire category theorem )는 어떤 위상 공간 이 베르 공간이 될 충분조건 을 제시하는 두 개의 정리를 일컫는다.[ 4] :415–417
제1 베르 범주 정리의 증명:
완비 거리 공간
(
X
,
d
)
{\displaystyle (X,d)}
조밀 열린집합 들의 열
(
U
i
)
i
=
0
∞ ∞ -->
{\displaystyle (U_{i})_{i=0}^{\infty }}
x
0
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
r
0
∈ ∈ -->
R
+
{\displaystyle r_{0}\in \mathbb {R} ^{+}}
x
∈ ∈ -->
B
(
x
0
,
r
0
)
∩ ∩ -->
⋂ ⋂ -->
i
=
0
∞ ∞ -->
U
i
≠ ≠ -->
∅ ∅ -->
{\displaystyle x\in B(x_{0},r_{0})\cap \textstyle \bigcap _{i=0}^{\infty }U_{i}\neq \varnothing }
인
x
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle x\in X}
이제,
U
i
{\displaystyle U_{i}}
조밀 열린집합 이므로
cl
-->
(
B
(
x
i
+
1
,
r
i
+
1
)
)
⊂ ⊂ -->
U
i
∩ ∩ -->
B
(
x
i
,
r
i
)
{\displaystyle \operatorname {cl} (B(x_{i+1},r_{i+1}))\subset U_{i}\cap B(x_{i},r_{i})}
r
i
+
1
≤ ≤ -->
1
/
(
i
+
1
)
{\displaystyle r_{i+1}\leq 1/(i+1)}
인 점렬
(
x
i
)
i
=
0
∞ ∞ -->
⊆ ⊆ -->
X
{\displaystyle (x_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq X}
(
r
i
)
i
=
0
∞ ∞ -->
⊆ ⊆ -->
R
+
{\displaystyle (r_{i})_{i=0}^{\infty }\subseteq \mathbb {R} ^{+}}
그렇다면,
(
x
i
)
i
=
0
∞ ∞ -->
{\displaystyle (x_{i})_{i=0}^{\infty }}
코시 열 이므로 극한
lim
i
→ → -->
∞ ∞ -->
x
i
=
x
∈ ∈ -->
X
{\displaystyle \textstyle \lim _{i\to \infty }x_{i}=x\in X}
x
∈ ∈ -->
B
(
x
0
,
r
0
)
∩ ∩ -->
U
0
∩ ∩ -->
U
1
∩ ∩ -->
⋯ ⋯ -->
{\displaystyle x\in B(x_{0},r_{0})\cap U_{0}\cap U_{1}\cap \cdots }
이다.
제1 베르 범주 정리를 증명하기 위해서는 의존적 선택 공리 가 필요하다.[ 10]
사실, 모든 완비 거리화 가능 공간 과 모든 국소 콤팩트 차분한 공간 [ 11] :12, Proposition 9.1 국소 콤팩트 차분한 공간 ”에서, “국소 콤팩트”는 모든 점이 콤팩트 국소 기저 를 갖는 조건을 일컫는다.) 즉, 다음이 성립한다.
증명 (국소 콤팩트 차분한 공간은 강한 쇼케 공간):
베르 공간의 임의의 열린집합 은 베르 공간이다.[ 5] :297 [ 1] :41, Proposition 8.3 열린집합 은 쇼케 공간이다.[ 1] :44, Exercise 8.13 닫힌집합 은 베르 공간이 아닐 수 있다.
베르 공간 조건은 국소적이다. 즉, 위상 공간 X의 모든 점들이 베르 근방 을 가질 때 X도 베르 공간이 된다.[ 5] :299
베르 공간들의 곱공간 은 베르 공간이 아닐 수 있다. 그러나 쇼케 공간들의 곱공간은 항상 쇼케 공간이다.[ 1] :44, Exercise 8.13
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
거리화 가능 공간 이라 하자. 이때 연속 함수 들의 열
f
i
: : -->
X
→ → -->
Y
{\displaystyle f_{i}\colon X\to Y}
i
∈ ∈ -->
N
{\displaystyle i\in \mathbb {N} }
f
: : -->
X
→ → -->
Y
{\displaystyle f\colon X\to Y}
점별 수렴 한다면,
f
{\displaystyle f}
연속 함수 인 점들의 집합은
X
{\displaystyle X}
조밀 집합 이다.[ 5] :297
공집합 은 (자명하게) 베르 공간이다.
무리수 집합은 베르 공간이다.[ 5] :299
모든 하우스도르프 국소 유클리드 공간 은 (국소 콤팩트 공간 이므로) 베르 공간이다.
모든 폴란드 공간 은 (완비 거리화 가능 공간 이므로) 베르 공간이다.
연속 함수 의 집합
C
(
[
0
,
1
]
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}([0,1],\mathbb {R} )}
거리 함수
d
(
f
,
g
)
=
sup
x
∈ ∈ -->
[
0
,
1
]
{
|
f
(
x
)
− − -->
g
(
x
)
|
}
{\displaystyle \textstyle d(f,g)=\sup _{x\in [0,1]}\{|f(x)-g(x)|\}}
완비 거리 공간 이며, 따라서 베르 공간이다.
적어도 한 점에서 미분 가능한
[
0
,
1
]
→ → -->
R
{\displaystyle [0,1]\to \mathbb {R} }
연속 함수 의 집합은
C
(
[
0
,
1
]
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}([0,1],\mathbb {R} )}
제1 범주 집합 임을 보일 수 있다. 따라서, 그 여집합 은 공집합 이 아니다. 이는 어떤 점에서도 미분 가능 하지 않은 함수의 예이다.[ 9] :238–240
실수선
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
완비 거리 공간 이자 국소 콤팩트 하우스도르프 공간 이며, 따라서 베르 공간이다.
A
⊆ ⊆ -->
R
{\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} }
조밀 집합 이며, 함수
f
: : -->
R
→ → -->
R
{\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }
A
{\displaystyle A}
연속 함수 라고 하자. 이 경우,
f
{\displaystyle f}
제1 범주 집합 이다. 무리수 의 집합은 제1 범주 집합 이 아니므로, 유리수에서만 연속인 함수는 존재하지 않는다.[ 9] :237–238
연속 dcpo
(
X
,
≤ ≤ -->
)
{\displaystyle (X,\leq )}
스콧 위상 을 부여하였을 때, 그 극대 원소 의 집합
max
X
{\displaystyle \max X}
[ 12] :182, Theorem 5.1
실수선 위의 베르 범주 정리는 미국의 수학자 윌리엄 포그 오스굿(영어 : William Fogg Osgood , 1864~1943)이 1896년 8월에 최초로 발표하였다.[ 13] [ 14]
이후 이와 독자적으로 프랑스의 수학자 르네루이 베르 가 1899년 박사 학위 논문에서 유클리드 공간 에서의 베르 범주 정리와 제1 범주 집합 의 개념을 도입하였다.[ 15] [ 16]
쇼케 게임은 귀스타브 쇼케(프랑스어 : Gustave Choquet , 1915~2006)가 1958년에 도입하였다.[ 17] [ 18]
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![{\displaystyle {\mathcal {C}}([0,1],\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/512254df81db013ec19c9e988e6c2fe854b3d747)
![{\displaystyle \textstyle d(f,g)=\sup _{x\in [0,1]}\{|f(x)-g(x)|\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07375f240adbc2c2b04a08e8dd37b643ca233063)
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