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해석학 및 위상수학에서 극한(極限, 영어: limit) 또는 극한값(極限-)은 수열이나 함수 따위가 한없이 가까워지는 값이다. 기호는 ${\displaystyle \lim }$. 수렴(收斂, 영어: convergence)은 수열이나 함수가 극한을 갖는 성질이다. 발산(發散, 영어: divergence)은 수렴에 반대되는 성질이다. 수열의 극한은 그물의 극한으로 자연스럽게 일반화되며, 함수의 극한은 필터의 극한의 특수한 경우다. 필터와 그물 사이의 대응 관계에 따라, 필터와 그물의 수렴 이론은 사실상 동치다.

 이 부분의 본문은 근방 필터입니다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle X}$의 부분 집합들의 필터 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(X)}$
• ${\displaystyle x\in X}$

만약 다음 조건이 성립한다면 필터 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$가 점 ${\displaystyle x}$로 수렴한다(영어: the filter base ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ converges to the point ${\displaystyle x}$)고 하며, ${\displaystyle x}$를 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$의 극한이라고 한다. 이를 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$라고 쓴다.

• ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}\subset \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}}$. 즉, 임의의 근방 ${\displaystyle U\ni x}$에 대하여, ${\displaystyle B\subset U}$인 ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$가 존재한다. (여기서 ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$는 ${\displaystyle x}$의 근방 필터이며, ${\displaystyle \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}}$는 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$의 상폐포다.)

다음 두 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 ${\displaystyle x}$가 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$의 집적점(集積點, 영어: cluster point)이라고 한다.

• ${\displaystyle \textstyle x\in \bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\operatorname {cl} B}$. (여기서 ${\displaystyle \operatorname {cl} B}$는 ${\displaystyle B}$의 폐포다.)
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}'\to x}$이며 ${\displaystyle \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}\subset \mathop {\uparrow } {\mathcal {B}}'}$인 필터 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}'\subset {\mathcal {P}}(X)}$가 존재한다.

모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

필터 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$의 극한·집적점은 이로부터 유도되는 그물

${\displaystyle \{(b,B)\colon b\in B\in {\mathcal {B}}\}\to X}$

${\displaystyle (b,B)\mapsto b}$

의 극한·집적점과 일치한다. 이 그물의 정의역 위에 주어지는 상향 부분 순서는 다음과 같다.

${\displaystyle (b,B)\lesssim (b',B')\iff B\supset B'}$

 이 부분의 본문은 그물 (수학)입니다.

 이 부분의 본문은 수열의 극한입니다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 ${\displaystyle X}$
• 그물 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in (I,\lesssim _{I})}\subset X}$
• ${\displaystyle x\in X}$

만약 다음 조건이 성립한다면, 그물 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$가 점 ${\displaystyle x}$로 수렴한다(영어: the net ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$ converges to the point ${\displaystyle x}$)고 하며, ${\displaystyle x}$를 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$의 극한이라고 한다. 이를 ${\displaystyle x_{i}\to x}$라고 쓴다.

• 임의의 근방 ${\displaystyle U\ni x}$에 대하여, ${\displaystyle \forall i\gtrsim _{I}i_{0}\colon x_{i}\in U}$인 ${\displaystyle i_{0}\in I}$가 존재한다.

특히, 실수열 ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\subset \mathbb {R} }$의 경우 이 조건은 다음과 같다.

• 임의의 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, ${\displaystyle \forall n\geq n_{0}\colon |x_{n}-x|<\epsilon }$인 자연수 ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$이 존재한다.

다음 세 조건이 서로 동치이며, 이 조건이 성립한다면 ${\displaystyle x}$가 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$의 집적점이라고 한다.

• 임의의 근방 ${\displaystyle U\ni x}$에 대하여, ${\displaystyle \{i\in I\colon x_{i}\in U\}}$는 공종 집합이다.
• ${\displaystyle x_{i(j)}\to x}$인 상향 원순서 집합 ${\displaystyle (J,\lesssim _{J})}$ 및 단조 공종 함수 ${\displaystyle i\colon J\to I}$가 존재한다.
• ${\displaystyle x_{i(j)}\to x}$이며 ${\displaystyle \forall i_{0}\in I\exists j_{0}\in J\forall j\in j_{0}\colon i(j)\gtrsim i_{0}}$인 상향 원순서 집합 ${\displaystyle (J,\lesssim _{J})}$ 및 함수 ${\displaystyle i\colon J\to I}$가 존재한다.

모든 극한은 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

그물 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$의 극한·집적점은 그물로부터 유도되는 필터 기저

${\displaystyle \{\{x_{i}\colon i\gtrsim i_{0}\}\colon i_{0}\in I\}}$

의 극한·집적점과 일치한다.

그물의 극한은 함수의 극한의 특수한 경우다. 구체적으로, 그물 ${\displaystyle (x_{i})_{i\in (I,\lesssim _{I})}}$은 ${\displaystyle I\to X}$ 꼴의 함수다. ${\displaystyle I}$에 한 점을 추가한 집합 ${\displaystyle I\cup \{\infty \}}$ 위에 다음과 같은 위상을 부여하자. 모든 ${\displaystyle i\in I}$는 고립점이며, ${\displaystyle \infty }$의 열린 근방은 (${\displaystyle \infty }$와) ${\displaystyle \{i\in I\colon i\gtrsim _{I}i_{0}\}}$ 꼴의 집합을 포함하는 집합들이다. 이 경우,

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\infty }=\mathop {\uparrow } \{\{i\in I\colon i\gtrsim _{I}i_{0}\}\colon i_{0}\in I\}}$

이며, 그 그물에 대한 상

${\displaystyle \{\{x_{i}\colon i\in D\}\colon D\in {\mathcal {D}}_{\infty }\}}$

은 그물로 유도되는 필터 기저와 같은 필터를 생성한다. 따라서, ${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$의 ${\displaystyle \infty }$에서의 함수 극한은 그물 극한과 일치한다.

${\displaystyle \mathbb {N} }$ 위의 전순서에 의하여, 점렬은 그물의 특수한 경우다. 위상 공간 속 점렬의 극한·집적점은 그물로서의 극한·집적점이다. 점렬의 경우, 부분 점렬의 극한은 항상 집적점이지만, 그 역은 성립하지 않는다.

 이 부분의 본문은 함수의 극한입니다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$
• ${\displaystyle x_{0}\in X}$
• 함수 ${\displaystyle f\colon X\setminus \{x_{0}\}\to Y}$
• ${\displaystyle y_{0}\in Y}$

그렇다면, ${\displaystyle x_{0}}$의 빠진 근방들의 집합족

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}=\{U\setminus \{x_{0}\}\colon U\in {\mathcal {N}}_{x_{0}}\}}$

은 ${\displaystyle X\setminus \{x_{0}\}}$의 부분 집합들의 필터를 이루며, 따라서 그 상 ${\displaystyle f({\mathcal {D}}_{x_{0}})}$은 ${\displaystyle Y}$의 부분 집합들의 필터 기저를 이룬다. 만약 다음 조건이 성립한다면, 함수 ${\displaystyle f}$가 점 ${\displaystyle x_{0}}$에서 점 ${\displaystyle y_{0}}$로 수렴한다(영어: the map ${\displaystyle f}$ converges to the point ${\displaystyle y_{0}}$ at the point ${\displaystyle x_{0}}$)고 하며, ${\displaystyle y_{0}}$을 ${\displaystyle f}$의 ${\displaystyle x_{0}}$에서의 극한이라고 한다. 이는

${\displaystyle f(x)\to y_{0}\qquad (x\to x_{0})}$

라고 쓴다.

• ${\displaystyle f({\mathcal {D}}_{x_{0}})}$는 ${\displaystyle y_{0}}$으로 수렴한다. 즉, 임의의 근방 ${\displaystyle V\ni y_{0}}$에 대하여, ${\displaystyle f(U\setminus \{x_{0}\})\subset V}$인 근방 ${\displaystyle U\ni x_{0}}$이 존재한다.

특히, 실함수 ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \setminus \{x_{0}\}\to \mathbb {R} }$의 경우, 이 조건은 다음과 같다.

• 임의의 양의 실수 ${\displaystyle \epsilon >0}$에 대하여, ${\displaystyle f((x_{0}-\delta ,x_{0})\cup (x_{0},x_{0}+\delta ))\subset (y_{0}-\epsilon ,y_{0}+\epsilon )}$인 양의 실수 ${\displaystyle \delta >0}$이 존재한다.

${\displaystyle X=\mathbb {R} }$가 실수선일 때, ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}}$ 대신

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}^{-}=\{U\cap (-\infty ,x_{0})\colon U\in {\mathcal {N}}_{x_{0}}\}}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{x_{0}}^{+}=\{U\cap (x_{0},\infty )\colon U\in {\mathcal {N}}_{x_{0}}\}}$

을 사용하면 ${\displaystyle f}$의 ${\displaystyle x_{0}}$에서의 좌극한(左極限, 영어: left limit)·우극한(右極限, 영어: right limit)의 개념을 얻는다.

필터는 극한을 가지지 않을 수 있으며, 여러 개의 극한을 가질 수도 있다. 예를 들어, 무한 이산 공간 속 쌍대 유한 집합들의 필터는 집적점을 가지지 않는다. 비이산 공간의 모든 필터는 모든 점으로 수렴한다. 주어진 위상 공간의 모든 부분 집합들은 자명하게 필터를 이루며, 이는 위상 공간 속 모든 점으로 수렴한다.

위상 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치다.

• 모든 필터는 집적점을 갖는다.
• 콤팩트 공간이다.

특히, 콤팩트 공간의 모든 그물은 수렴 부분 그물을 갖는다. 하지만 콤팩트 공간의 모든 점렬이 수렴 부분 점렬을 가질 필요는 없다. 이 조건은 점렬 콤팩트 공간이라고 불리며, 어느 한 조건도 다른 한 조건을 함의하지 않는다.

위상 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치다.

• 모든 (자명하지 않은) 수렴 필터의 극한은 유일하다.
• 하우스도르프 공간이다.

특히, 하우스도르프 공간 속 수렴 점렬의 극한은 유일하며, 이는 하우스도르프 조건보다 약한 조건이다. 이에 따라, 하우스도르프 공간 속 극한은 연산자의 꼴로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \lim {\mathcal {F}}=x}$

${\displaystyle \lim _{x\in I}x_{i}=x}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}$

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=y_{0}}$

(일부 저자는 극한이 유일하지 않은 경우에도 위와 같은 표기를 사용한다.)

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 집합 ${\displaystyle X}$
• 위상 공간들의 족 ${\displaystyle (Y_{i})_{i\in I}}$
• 함수족 ${\displaystyle (f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}}$
• ${\displaystyle X}$의 부분 집합들의 필터 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(X)}$
• ${\displaystyle x\in X}$

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치다.

• ${\displaystyle X}$ 위에 모든 ${\displaystyle f_{i}}$들을 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 시작 위상을 부여하였을 때, ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$
• 임의의 ${\displaystyle i\in I}$에 대하여, ${\displaystyle f_{i}({\mathcal {B}})\to f_{i}(x)}$

특수한 경우들은 다음과 같다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 ${\displaystyle X}$
• 부분 집합 ${\displaystyle Y\subset X}$
• ${\displaystyle Y}$의 부분 집합들의 필터 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(Y)}$
• ${\displaystyle y\in Y}$

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치다.

• ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to y}$
• ${\displaystyle X}$에서 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to y}$

즉, 부분 집합에서의 수렴은 모공간에서의 수렴과 일치한다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간들의 집합 ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$. ${\displaystyle \textstyle X=\prod _{i\in I}X_{i}}$가 그 곱공간, ${\displaystyle \pi _{i}\colon X\to X_{i}}$가 사영 함수들이라고 하자.
• ${\displaystyle X}$의 부분 집합들의 필터 기저 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subset {\mathcal {P}}(X)}$
• ${\displaystyle x\in X}$

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치다.

• ${\displaystyle {\mathcal {B}}\to x}$
• 임의의 ${\displaystyle i\in I}$에 대하여, ${\displaystyle \pi _{i}({\mathcal {B}})\to x_{i}}$

즉, 곱공간에서의 수렴은 성분별 수렴이다.

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

• 위상 공간 ${\displaystyle X_{1}}$, ${\displaystyle X_{2}}$
• 정칙 하우스도르프 공간 ${\displaystyle Y}$
• 함수 ${\displaystyle f\colon X_{1}\times X_{2}\to Y}$
• ${\displaystyle a_{i}\in X_{i}}$ (${\displaystyle i=1,2}$)

이들이 다음 두 조건 만족시킨다고 하자.

• 극한 ${\displaystyle \lim _{(x_{1},x_{2})\to (a_{1},a_{2})}f(x_{1},x_{2})}$이 존재한다.
• 임의의 ${\displaystyle x_{1}\in X_{1}}$에 대하여, 극한 ${\displaystyle \lim _{x_{2}\to a_{2}}f(x_{1},x_{2})}$이 존재한다.

그렇다면, 이중 극한

${\displaystyle \lim _{x_{1}\to a_{1}}\lim _{x_{2}\to a_{2}}f(x_{1},x_{2})}$

이 존재하며,

${\displaystyle \lim _{x_{1}\to a_{1}}\lim _{x_{2}\to a_{2}}f(x_{1},x_{2})=\lim _{(x_{1},x_{2})\to (a_{1},a_{2})}f(x_{1},x_{2})}$

이다.

• 확률 변수의 수렴
• 극한 (범주론)
• 함수의 극한

• Bourbaki, Nicolas (1989). 《General topology. Chapters 1–4》. Elements of Mathematics (Berlin) (영어) Reprint ofe 1966판. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 3-540-19374-X. MR 0979294. Zbl 0683.54003.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

• 이철희. “수열의 극한”. 《수학노트》. 
• “Limit”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Limit”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Convergence”. 《nLab》 (영어). 
• “Limit of a function”. 《nLab》 (영어). 
• “Limit”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Limit examples”. 《PlanetMath》 (영어). 
• “Limit of sequence of sets”. 《PlanetMath》 (영어).