대수기하학에서 군 스킴(群scheme, 영어: group scheme, 프랑스어: schéma en groupe)은 군과 유사한 구조를 갖는 스킴이다. 즉, 대수군의 정의에서 대수다양체를 스킴으로 대체한 것이다.

군 스킴은 스킴 범주의 군 대상으로, 또는 특정한 함자로 정의할 수 있다.

스킴 ${\displaystyle S}$가 주어졌다고 하자. ${\displaystyle S}$ 위의 군 스킴은 스킴의 범주의 조각 범주 ${\displaystyle \operatorname {Sch} /S}$ 속의 군 대상이다. 즉, 군 스킴 ${\displaystyle (G,m,e,i)}$은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

• ${\displaystyle G/S}$는 ${\displaystyle S}$-스킴이다.
• ${\displaystyle m\colon G\times _{S}G\to G}$는 ${\displaystyle S}$-스킴 사상이다. 이는 군의 곱셈에 해당한다.
• ${\displaystyle e\colon S\to G}$는 ${\displaystyle S}$-스킴 사상이다. 이는 군의 항등원에 해당한다.
• ${\displaystyle i\colon G\to G}$는 ${\displaystyle S}$-스킴 사상이다. 이는 군의 역원에 해당한다.

이들은 군 대상의 공리를 나타내는 가환 그림들을 만족시켜야 한다.

스킴 ${\displaystyle S}$ 위의 군 스킴은 다음 조건을 만족시키는 함자

${\displaystyle G\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} }$

이다.

• ${\displaystyle \operatorname {Forget} \circ G\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set} }$는 표현 가능 함자이다. 즉, ${\displaystyle \operatorname {Forget} \circ G\cong \hom _{\operatorname {Sch} /S}(-,X)}$가 되는 ${\displaystyle S}$-스킴 ${\displaystyle X}$가 존재한다.

여기서

${\displaystyle \operatorname {Forget} \colon \operatorname {Grp} \to \operatorname {Set} }$

는 군의 구체적 범주의 망각 함자이다.

이 두 정의는 서로 동치이다. 구체적으로, ${\displaystyle \operatorname {Sch} /S}$ 속의 군 대상 ${\displaystyle G}$가 주어졌을 때, 표현 가능 함자 ${\displaystyle \hom(-,G)}$는 둘째 정의에 부합한다.

스킴의 범주에서 위상 공간의 범주로 가는 표준적인 망각 함자

${\displaystyle \operatorname {Sch} \to \operatorname {Top} }$

를 생각하자. 이는 충실한 함자가 아니며, 이 함자 아래 군 스킴은 일반적으로 위상군(또는 군)을 이루지 않는다. 일반적으로 스킴의 범주의 곱 또는 올곱은 곱공간(또는 곱집합)에 대응하지 않는다.

반면, 임의의 체 ${\displaystyle K}$에 대하여, ${\displaystyle \operatorname {Spec} K}$ 위의 군 스킴 ${\displaystyle G}$의 ${\displaystyle K}$-유리점의 집합 ${\displaystyle G(K)}$을 취할 수 있다. 이 경우,

${\displaystyle (G\times _{\operatorname {Spec} K}G)(K)=G(K)\times _{\operatorname {Set} }G(K)}$

이므로, 집합 ${\displaystyle G(K)}$ 위에는 군의 구조가 존재한다.

복소수체 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 위의 군 스킴 가운데 비특이 대수다양체를 이루는 것의 경우, 비특이 대수다양체에 대응하는 복소다양체를 취할 수 있다. 이 경우 군 스킴은 보통 대수군이라고 하며, 이에 대응하는 복소다양체는 복소수 리 군을 이룬다.

스킴 ${\displaystyle S}$ 위의 군 스킴 ${\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }}$은 스킴으로서 원점을 제거한 ${\displaystyle S}$-아핀 직선 ${\displaystyle \mathbb {A} _{S}^{1}\setminus \{0\}}$이다. 함자로서 이는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} }$

${\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times })}$

여기서 ${\displaystyle \Gamma }$는 아벨 군 층의 단면군을 뜻하며, ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\times }}$는 구조층 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$의 가역원군층이다. 특히, 만약 ${\displaystyle S=\operatorname {Spec} R}$가 아핀 스킴이라면, 그 군 스킴은 ${\displaystyle R}$계수 로랑 다항식환의 스펙트럼이다.

${\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }\cong \operatorname {Spec} [x,x^{-1}]=\operatorname {Spec} R[x,y]/(xy-1)}$

이 경우, 군 이항 연산

${\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }\times _{\operatorname {Spec} R}\mathbb {G} _{\operatorname {m} }\to \mathbb {G} _{\operatorname {m} }}$

은 다음과 같은 ${\displaystyle R}$-결합 대수의 준동형에 대응한다.

${\displaystyle R[x,x^{-1}]\to R[y,y^{-1},z,z^{-1}]=R[y,y^{-1}]\star _{R}R[z,z^{-1}]}$

${\displaystyle x\mapsto yz}$

마찬가지로, 항등원

${\displaystyle \operatorname {Spec} R\to \mathbb {G} _{\operatorname {m} }}$

은 다음과 같은 ${\displaystyle R}$-결합 대수의 준동형에 대응한다.

${\displaystyle R[x,x^{-1}]\to R}$

${\displaystyle x\mapsto 1}$

이는 로랑 다항식환 ${\displaystyle R[x,x^{-1}]}$의 호프 대수 구조에서 유래한다.

보다 일반적으로, 스킴 ${\displaystyle S}$ 위의 일반 선형군 스킴(一般線型郡scheme, 영어: general linear group scheme) ${\displaystyle \operatorname {GL} (n;S)}$는 함자로서 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {GL} (n;S)\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} }$

${\displaystyle \operatorname {GL} (n;S)\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto \operatorname {Mat} (n;\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}^{\times }))}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {Mat} (;)}$는 행렬환을 뜻한다. 이 경우 ${\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }=\operatorname {GL} (1;S)}$이다.

스킴 ${\displaystyle S}$ 위의 군 스킴 ${\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {a} }}$는 스킴으로서 ${\displaystyle S}$-아핀 직선 ${\displaystyle \mathbb {A} _{S}^{1}=\operatorname {Spec} (S[x])}$이다. 함자로서 이는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {a} }\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} }$

${\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {a} }\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

여기서 ${\displaystyle \Gamma }$는 아벨 군 층의 단면군을 뜻한다.

특히, 만약 ${\displaystyle S=\operatorname {Spec} R}$가 아핀 스킴이라면, ${\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {a} }=\mathbb {A} _{S}^{1}=\operatorname {Spec} R[x]}$이다. 이 경우, 군의 이항 연산

${\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {a} }\times _{\operatorname {Spec} R}\mathbb {G} _{\operatorname {a} }\to \mathbb {G} _{\operatorname {a} }}$

은 다음과 같은 환 준동형에 대응한다.

${\displaystyle R[x]\to R[y,z]=R[y]\star _{R}R[z]}$

${\displaystyle x\mapsto y+z}$

군의 항등원 사상

${\displaystyle \operatorname {Spec} R\to \mathbb {G} _{\operatorname {a} }}$

은 다음과 같은 환 준동형에 대응한다.

${\displaystyle R[x]\to R}$

${\displaystyle x\mapsto 0}$

양의 정수 ${\displaystyle n}$에 대하여, 1의 ${\displaystyle n}$제곱근 군 스킴(영어: group scheme of ${\displaystyle n}$th roots of unity) ${\displaystyle \mathbb {\mu } _{n}}$은 ${\displaystyle n}$제곱 사상 ${\displaystyle \mathbb {G} _{\operatorname {m} }\to \mathbb {G} _{\operatorname {m} }}$의 핵이다. 함자로서 이는 다음과 같다.

${\displaystyle \mathbb {\mu } _{n}\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} }$

${\displaystyle \mathbb {\mu } _{n}\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\to \{s\in \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\colon s^{n}=1_{\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}\}}$

특히, 만약 ${\displaystyle S=\operatorname {Spec} R}$가 아핀 스킴이라면, ${\displaystyle \mathbb {\mu } _{n}=\operatorname {Spec} (R[x]/(x^{n}-1))}$이다.

군 ${\displaystyle G}$가 주어졌다고 하자. 스킴 ${\displaystyle S}$ 위의 상수 군 스킴(영어: constant group scheme) ${\displaystyle G_{S}}$는 스킴으로서 분리합집합 ${\displaystyle S^{\sqcup G}}$이다 (즉, 위상 공간으로서 ${\displaystyle G}$에 이산 위상을 준다면 ${\displaystyle G\times S}$이다). 그 위의 군 스킴의 구조는 ${\displaystyle G}$의 군 구조로부터 유도된다. 함자로서 이는 다음과 같다.

${\displaystyle G_{S}\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} }$

${\displaystyle G_{S}\colon X\mapsto G^{\times \operatorname {conn\,comp} (X)}}$

여기서 ${\displaystyle \operatorname {conn\,comp} (X)}$는 ${\displaystyle X}$의 연결 성분의 집합이다. 즉, 이는 스킴을 그 연결 성분의 수만큼의 군 직접곱에 대응시킨다.

특히, ${\displaystyle G}$가 자명군인 경우, 항등 사상을 갖춘 ${\displaystyle S/S}$는 ${\displaystyle S}$ 위의 군 스킴을 이룬다. 함자로서, 이는 모든 ${\displaystyle S}$ 위의 스킴을 자명군에 대응시킨다.

아벨 군 ${\displaystyle G}$가 주어졌다고 하자. 스킴 ${\displaystyle S}$ 위의 대각화 가능 군 스킴(영어: diagonalizable group scheme) ${\displaystyle \operatorname {Diag} (G)}$는 함자로서 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {Diag} (G)\colon (\operatorname {Sch} /S)^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Grp} }$

${\displaystyle \operatorname {Diag} (G)\colon (X,{\mathcal {O}}_{X})\mapsto \hom _{\operatorname {Ab} }\left(G,(\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})^{\times }\right)}$

만약 ${\displaystyle S=\operatorname {Spec} R}$가 아핀 스킴이라면, ${\displaystyle \operatorname {Diag} G=\operatorname {Spec} (R[G])}$는 군환 ${\displaystyle R[G]}$의 스펙트럼이다.

가환환 ${\displaystyle R}$ 위의 가환 호프 대수 ${\displaystyle H}$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼 ${\displaystyle \operatorname {Spec} H}$는 표준적으로 ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$-군 스킴을 이룬다. 반대로, ${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$ 위의 모든 아핀 군 스킴은 ${\displaystyle R}$ 위의 가환 호프 대수의 스펙트럼과 동형이다. 이 경우, 군 스킴으로서의 연산은 호프 대수로서의 연산과 다음과 같이 대응한다.

군 스킴	호프 대수
곱 ${\displaystyle \Delta ^{\operatorname {op} }\colon \operatorname {Spec} H\times _{R}\operatorname {Spec} H=\operatorname {Spec} (H\otimes _{R}H)\to \operatorname {Spec} H}$	쌍대곱 ${\displaystyle \Delta \colon H\to H\otimes _{R}H}$
항등원 ${\displaystyle \epsilon ^{\operatorname {op} }\colon \operatorname {Spec} R\to \operatorname {Spec} H}$	쌍대항등원 ${\displaystyle \epsilon \colon H\to R}$
역원 ${\displaystyle S^{\operatorname {op} }\colon \operatorname {Spec} H\to \operatorname {Spec} H}$	앤티포드 ${\displaystyle S\colon H\to H}$
${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$-스킴의 구조 사상 ${\displaystyle \eta ^{\operatorname {op} }\operatorname {Spec} H\to \operatorname {Spec} R}$	항등원 ${\displaystyle \eta \colon R\to H}$
대각 사상 ${\displaystyle \operatorname {diag} _{\operatorname {Spec} H/R}=\nabla ^{\operatorname {op} }\colon \operatorname {Spec} H\to \operatorname {Spec} H\times _{R}\operatorname {Spec} H=\operatorname {Spec} (H\otimes _{R}H)}$	곱 ${\displaystyle \nabla \colon H\otimes _{R}H\to H}$

• 안정점
• 기하 불변량 이론 몫
• 불변량 이론

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