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미분기하학에서 준 리만 다양체(영어: pseudo/semi-Riemannian manifold)는 양의 정부호가 아닐 수 있는 계량 텐서가 주어진 매끄러운 다양체이며, 리만 다양체의 일반화이다.

정의

준 리만 다양체 $(M,g)$ 는 다음 조건을 만족시키는 매끄러운 (0,2)-텐서장 $g$ 가 갖추어진 매끄러운 다양체 $M$ 이다.

(대칭성) 모든 벡터장 $X,Y$ 에 대하여 $g(X,Y)=g(Y,X)$ 이다.
(비자명성) 만약 모든 벡터장 $Y$ 에 대하여 $g(X,Y)=0$ 인 벡터장 $X$ 가 있다면, $X=0$ 이다.

$g$ 는 $M$ 의 계량 텐서라고 한다. 만약 $g$ 가 추가로 양의 정부호라면 $(M,g)$ 는 리만 다양체가 된다.

로런츠 다양체

준 리만 다양체 $(M,g)$ 의 부호수(영어: signature)는 그 계량 텐서의 부호수이다. (만약 $M$ 이 연결 공간이라면 이는 모든 점에서 동일하다.) 부호수가 $(\dim M-1,1)$ 인 다양체를 로런츠 다양체(영어: Lorentzian manifold)라고 한다. (대신 $(1,\dim M-1)$ 로 정의하는 문헌도 있는데, 이는 $g\to -g$ 로 단순히 부호를 바꾸는 것에 불과하다.)

로런츠 다양체의 응용

로런츠 다양체는 물리학에서 등장한다. 특히, 일반 상대성 이론은 시공간을 4차원 로런츠 다양체로 나타낸다.

참고 문헌

Chen, Bang-Yen (2011). 《Pseudo-Riemannian geometry, δ-invariants and applications》 (영어). World Scientific Publisher. ISBN 978-981-4329-63-7.
O’Neill, Barrett (1983). 《Semi-Riemannian geometry with applications to relativity》. Pure and Applied Mathematics (영어) 103. Academic Press. ISBN 978-008057057-0.

외부 링크

“Pseudo-Riemannian space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Pseudo-Riemannian manifold”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Pseudo-Riemannian manifold”. 《nLab》 (영어).

같이 보기

인과 구조