대수기하학에서 에탈 기본군(étale基本群, 영어: étale fundamental group)은 대수다양체와 스킴에 대하여 정의되는 기본군이다.

에탈 기본군은 대수적 위상수학과 갈루아 이론 사이의 다음과 같은 대응성으로부터 출발하며, 이 둘을 대수기하학적으로 일반화하여 공통적으로 다룬다.

대수적 위상수학	갈루아 이론	대수기하학
피복 공간 ${\displaystyle \pi \colon Y\twoheadrightarrow X}$	분해 가능 확대 ${\displaystyle Y/X}$	유한 에탈 사상 ${\displaystyle \pi \colon Y\to X}$
범피복 공간	분해 가능 폐포	유한 에탈 사상들의 범주 ${\displaystyle \operatorname {fin{\acute {E}}t} /X}$
기본군	절대 갈루아 군	에탈 기본군

연결 스킴 ${\displaystyle X}$ 의 기하점(영어: geometric point) ${\displaystyle x\in X}$는 ${\displaystyle x}$에서의 줄기 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$의 잉여류체를 포함하는 분해 가능 폐포 ${\displaystyle K}$이다. 즉, 다음과 같은 사상

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}\twoheadrightarrow {\mathcal {O}}_{X,x}/{\mathfrak {m}}({\mathcal {O}}_{X,x})\hookrightarrow K}$

를 합성하여, 사상 ${\displaystyle x\colon \operatorname {Spec} (K)\to X}$를 정의할 수 있다. 이는 ${\displaystyle X}$ 속의, ${\displaystyle K}$ 값의 좌표를 갖는 점으로 여긴다.

${\displaystyle X}$를 공역으로 하는 유한 에탈 사상들의 범주를 ${\displaystyle \operatorname {fin{\acute {E}}t} /X}$라고 쓰자. (에탈 코호몰로지와 달리, 여기에 그로텐디크 위상을 정의할 필요가 없다.) 그렇다면, 스킴 사상 ${\displaystyle Y\to X}$ 및 ${\displaystyle X}$의 기하점 ${\displaystyle x\colon \operatorname {Spec} K\to X}$이 주어졌을 때, 기하올(영어: geometric fibre) ${\displaystyle Y\times _{X}\operatorname {Spec} K}$을 스킴의 범주의 올곱으로 정의할 수 있으며, 에탈 사상의 정의에 따라서 이는 어떤 자연수 ${\displaystyle n}$에 대하여 ${\displaystyle (\operatorname {Spec} K)^{\sqcup n}}$와 동형이다.

따라서, 밑점이 주어졌을 때, 다음과 같은 요네다 매장을 생각하자.

${\displaystyle \operatorname {fin{\acute {E}}t} /X\to \operatorname {Set} }$

${\displaystyle Y\mapsto |Y\times _{X}x|=\hom _{\operatorname {fin{\acute {E}}t} /X}(x,Y)}$

이는 기하학적으로 ${\displaystyle \pi \colon Y\to X}$를 그 원상 “${\displaystyle \pi ^{-1}(x)}$”에 대응시킨다. 이들 집합들은 사상에 따라 사영계(영어: projective system)를 이룬다. 따라서 다음과 같은 역극한을 취할 수 있으며, 이를 ${\displaystyle X}$의 밑점 ${\displaystyle x}$에서의 에탈 기본군이라고 한다.

${\displaystyle \pi _{1,\operatorname {{\acute {e}}t} }(X,x)=\varprojlim _{i}\operatorname {Aut} _{X}(X_{i})}$

이는 유한군의 역극한이므로, 사유한군을 이룬다. 또한, 이 요네다 함자에 의하여 다음과 같은 범주의 동치가 존재한다.

${\displaystyle \operatorname {fin{\acute {E}}t} /X\simeq \pi _{1}(X,x){\text{-Set}}}$

여기서, 범주 ${\displaystyle G{\text{-Set}}}$는 ${\displaystyle G}$의 작용을 갖는 집합들의 범주이다.

체 ${\displaystyle K}$가 주어졌을 때, ${\displaystyle \operatorname {Spec} K}$의 밑점 ${\displaystyle x}$는 ${\displaystyle K}$의 분해 가능 폐포 ${\displaystyle K^{\operatorname {sep} }\subset {\bar {K}}}$과 대응한다. (모든 분해 가능 폐포들은 서로 동형이지만, 표준적으로 동형이지 못하다.) 이 경우, 밑점 ${\displaystyle K^{\operatorname {sep} }}$에서의 에탈 기본군은 ${\displaystyle K}$의 절대 갈루아 군과 동형이다.

${\displaystyle \pi _{1,\operatorname {{\acute {e}}t} }(\operatorname {Spec} K,K^{\operatorname {sep} })\cong \operatorname {Gal} (K^{\operatorname {sep} }/K)}$

복소 유한형 스킴 ${\displaystyle X\to \operatorname {Spec} \mathbb {C} }$의 에탈 기본군은 그 복소해석공간 ${\displaystyle X^{\operatorname {an} }}$의 (대수적 위상수학적) 기본군의 사유한 완비이다.

${\displaystyle \pi _{1,\operatorname {{\acute {e}}t} }(X,x)\cong {\hat {\pi }}_{1}(X^{\operatorname {an} },x^{\operatorname {an} })}$

알렉산더 그로텐디크가 《마리 숲 대수 기하학 세미나》(영어: Séminaire de géométrie algébrique du Bois Marie, SGA) 1권^[1]에서 정의하였다.

• Murre, J. P. (1967), 《Lectures on an introduction to Grothendieck's theory of the fundamental group》, Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR 0302650 
• Tamagawa, Akio (1997), “The Grothendieck conjecture for affine curves”, 《Compositio Mathematica》 109 (2): 135–194, doi:10.1023/A:1000114400142, MR 1478817 

• 에탈 코호몰로지

• “Algebraic fundamental group”. 《nLab》 (영어).