ファイバーバンドルの接続（せつぞく、英: connection）とは、ベクトルバンドルの接続概念（Koszul接続）を任意のファイバーバンドルに拡張したものである。

これにより、原理的には任意のファイバーバンドル上で接続の概念を考えられるようになるが、実際に研究が進んでいるのはベクトルバンドルの場合とそれに対応する主バンドルの場合、具体的に${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$、${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$、回転群${\displaystyle SO(n)}$、ユニタリ群${\displaystyle U(n)}$、シンプレクティック群${\displaystyle \mathrm {Sp} (n)}$、スピン群${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$等、一般線形群やその閉部分リー群に対する主バンドルの場合である。 なお、これらはそれぞれ実ベクトルバンドル、実計量ベクトルバンドル、複素ベクトルバンドル、複素計量ベクトルバンドル、シンプレクティックバンドル、クリフォードバンドル（英語版）に対応する。

こうした群の場合、主バンドルの接続からベクトルバンドルの接続が定義でき、逆にベクトルバンドルの接続から主バンドルの接続が定義できる事を本章で見る。ファイバーバンドルの接続、特に主バンドルの接続を考える主目的はベクトルバンドルの接続を別の角度から捉え直す事にある。

チャーン・ヴェイユ理論では、特性類という主バンドルを使って特徴づけられる概念を用いるので、上記のように主バンドルに対して接続を定義することで、理論の記述が可能になる。

以下、本項では特に断りがない限り、多様体、関数、バンドル等は全てC^∞級の場合を考える。よって紛れがなければ「C^∞級」を省略して単に多様体、関数、バンドル等という。

ファイバーバンドルの接続のことをエーレスマン接続^[1]（英: Ehresmann conection）と呼ぶ場合があるが^[2]、主バンドルに対する接続の事を「エーレスマン接続」と読んでいる書籍^[3]もあるので注意が必要である^[4]。なお主バンドル上においても両者の概念は同値ではなく、ファイバーバンドルの接続のうち構造群の作用に関して不変なものを主バンドルの接続と呼ぶ。

両者の区別のため、一般のファイバーバンドルの接続を一般の接続（英: general connection^[5]）、主バンドルの接続を主接続（英: principal connection^[6]）と呼ぶ場合がある。

またファイバーバンドルの接続のうち、完備なもののみを「エーレスマン接続」と呼ぶ場合もある^[7]。なおエーレスマン自身による定義では完備性を仮定していた^[8]。

本節では、ファイバーバンドルの接続、中でも特に主バンドルの接続を定義する動機を説明する。

リーマン多様体の接バンドル上のレヴィ・チヴィタ接続、あるいはより一般に任意の多様体のベクトルバンドルの接続はベクトルバンドル${\displaystyle E\to M}$上の微分演算子∇によって定義されている。

M上のベクトル場Xに対し行列${\displaystyle \omega (X)}$を

${\displaystyle (\nabla _{X}e_{1},\ldots ,\nabla _{X}e_{m})=(e_{1},\ldots ,e_{m})\omega (X)}$

により定義し、Xに${\displaystyle \omega (X)}$を対応させる行列値の1-形式${\displaystyle \omega =(\omega ^{i}{}_{j})_{ij}}$を局所的な基底${\displaystyle (e_{1},\ldots ,e_{m})}$に関する接続∇の接続形式（英: connection form）という^[9]。

∇が定義する共変微分はライプニッツ則により、

${\displaystyle \nabla _{X}s=X(s^{j})e_{j}+s^{i}\omega _{i}{}^{j}(X)e_{j}}$

とかけるので、接続形式ωが分かれば接続∇が再現でき、ωと∇は1対1対応する。ここで${\displaystyle s=s^{j}e_{j}}$はEの切断である。

実はむしろωから接続概念を定義したほうが、数学的に有利である事が示唆され、このアイデアを結実したのが主バンドルの接続概念である。

接続形式ωから接続概念を定義したほうが有利な理由は２つある。第一に、リーマン多様体であれば∇から定義される曲率テンソルを使って記述できた恒等式、例えば（第二）構造方程式や（第二）ビアンキ恒等式は、一般のベクトルバンドルではωを使わないと記述できない（接続 (ベクトル束)#曲率を参照）。

第二に、接続概念において重要な役割を果たす平行移動の概念は接続形式ωと強く関係しており、底空間Mの曲線${\displaystyle c(t)}$に沿って定義された局所的な基底${\displaystyle (e_{1}(t),\ldots ,e_{m}(t))}$をtで微分したものが接続形式${\displaystyle \omega ({\tfrac {dc}{dt}}(0))}$に一致する。

よって特に（レヴィ・チヴィタ接続などの）∇がEの計量と両立する接続の場合、∇による平行移動は回転変換、すなわち${\displaystyle SO(n)}$の元なので、その微分である接続形式ωは${\displaystyle SO(n)}$のリー代数${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$の元、すなわち歪対称行列である^{[注 1]}。

このように接続形式を用いるとベクトルバンドルの構造群（上の例では${\displaystyle SO(n)}$）が接続形式の構造をリー群・リー代数対応により支配している事が見えやすくなる。

上では回転群${\displaystyle \mathrm {SO} (m)}$の場合を説明したが、${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$（を自然に${\displaystyle \mathrm {GL} _{2n}(\mathbb {R} )}$の部分群とみなしたもの）や${\displaystyle \mathrm {U} _{n}(\mathbb {C} )}$、物理学で重要なシンプレクティック群やスピン群に対しても同種の性質が証明でき、接続形式がリー群・リー代数対応により支配されている事がわかる。

こうした事実は接続概念を直接リー群と接続形式とで記述する方が数学的に自然である事を示唆する。後で説明する、リー群の主バンドルに対する接続はこのアイデアを定式化したもので、主バンドルの接続は接続形式に相当するものを使って定義される。

そこで本項では、まずベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の両方を包括する概念であるファイバーバンドルの接続概念を導入する。この概念は「そもそも平行移動とは何か」を直接的に定式化したもので、この概念それ自身が接続形式の言葉で記述されるわけではない。

そして次にファイバーバンドルの接続概念を用いて主バンドルの接続概念を定義すると同時に、主バンドルの接続を接続形式の言葉で再定式化する。そして構造群を持つファイバーバンドルにその主バンドルから接続を誘導する方法を説明する。そして最後にベクトルバンドルの接続と主バンドルの接続の接続形式の言葉で記述する。

ファイバーバンドルの接続概念は、ベクトルバンドルの接続における平行概念を自然に拡張する事で定義する。

${\displaystyle \pi ~:~E\to M}$をベクトルバンドルとし、∇をこのバンドルのKoszul接続とする。M上の任意の曲線c(t)とc(t)上の任意の切断s(t)で平行なものに対し、s(t)をE上の曲線とみなしたときに${\displaystyle {\tfrac {ds}{dt}}}$が入るT_eEの部分空間を「水平部分空間」と呼ぶ。

以上のように接続∇から水平部分空間が定まるが、逆に水平部分空間の情報があれば接続を再現できる事も知られている。実際、${\displaystyle {\tfrac {ds}{dt}}}$が常に水平部分空間に入るような切断s(t)を平行な切断とみなす事で水平部分空間から平行が再現でき、平行概念から接続概念を再現できる事も知られている^[10]。

よってベクトルバンドルの場合は接続概念は水平部分空間の概念は等価なので、一般のファイバーバンドルに対する接続を水平部分空間の概念を用いて定義する事にする。

以上の考察を元に、ファイバーバンドルの接続を定義する。そのためにまず「垂直部分空間」という概念を定義する。${\displaystyle \pi ~:~E\to M}$をファイバーFを持つファイバーバンドルとし、e∈EをEの元とするとしπが誘導する写像を${\displaystyle \pi _{*}~:~TE\to TM}$とするとき、

${\displaystyle {\mathcal {V}}_{e}:=\{\xi \in T_{e}E\mid \pi _{*}(\xi )=0\}=T_{e}(E_{\pi (e)})}$

を、eにおけるT_eEの垂直部分空間（英: vertical subspace）という^{[11][12][注 2]}。そしてファイバーバンドルの接続を以下のように定義する：

分解

${\displaystyle T_{e}E={\mathcal {V}}_{e}\oplus {\mathcal {H}}_{e}}$

があれば、T_eEの元の${\displaystyle {\mathcal {V}}_{e}}$への射影

${\displaystyle V_{e}~:~T_{e}E\to {\mathcal {V}}_{e}}$

すなわち${\displaystyle \mathrm {Ker} V_{e}={\mathcal {H}}_{e}}$、${\displaystyle V_{e}|_{{\mathcal {V}}_{e}}=\mathrm {id} }$となる線形変換を定義できる。このV_eを垂直射影（英: vertical projection^[14]）もしくは接続写像（英: connection map^[14]）といい、接続写像によって接続概念を定式化することも可能である：

後で述べるように、この垂直射影V_eが主バンドルの接続の場合は接続形式に対応している。

本節ではジェットバンドル（英語版）の概念を用いる事でファイバーバンドルの接続を特徴づける。

${\displaystyle \pi ~:~E\to M}$をファイバーバンドルとし、uをMの点とする。uの近傍で定義されたEの２つの切断s、s'に対し、

${\displaystyle s\sim s'\iff s_{u}=s_{u}~~{\text{and}}~~s_{*}|_{u}=s'_{*}|_{u}}$

という同値関係を定義し、その同値類を${\displaystyle j_{u}^{1}s}$と書き、sの1次のジェット（英: jet）という^{[注 5]}。さらに同値類全体を${\displaystyle J_{u}^{1}E}$と書き、${\displaystyle J^{1}E=\bigcup _{u\in M}J_{u}^{1}E}$とすると、

${\displaystyle j_{u}^{1}s\in J^{1}E\mapsto u\in M}$

によりJ¹EはM上のバンドルとみなせる。このバンドルをファイバーバンドル${\displaystyle \pi ~:~E\to M}$に関する1次のジェットバンドルという。なお、

${\displaystyle j_{u}^{1}s\in J^{1}E\mapsto s_{u}\in E}$

によりJ¹EをE上のバンドルとみなすこともできる。

ジェット${\displaystyle j_{u}^{1}s}$を一つ指定すると、点${\displaystyle s_{u}\in E}$における平面${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s_{u}}:=s_{*}(T_{u}M)}$で垂直部分空間と${\displaystyle {\mathcal {V}}_{s_{u}}\cap {\mathcal {H}}_{s_{u}}=\{0\}}$を満たすものが定義できる。逆に${\displaystyle {\mathcal {V}}_{s_{u}}\cap {\mathcal {H}}_{s_{u}}=\{0\}}$を満たす平面${\displaystyle {\mathcal {H}}_{s_{u}}\subset T_{s_{u}}E}$からジェット${\displaystyle j_{u}^{1}s}$が1つ定まる事も容易に示せる。

ファイバーバンドル${\displaystyle \pi ~:~E\to M}$の接続とはEの各点eに${\displaystyle {\mathcal {V}}_{e}\cap {\mathcal {H}}_{e}=\{0\}}$を満たす${\displaystyle {\mathcal {H}}_{e}\subset T_{e}E}$を定めるものであったので、上述の議論から、これはEの各点eに${\displaystyle s_{\pi (e)}=e}$を満たすジェット${\displaystyle j_{u}^{1}s}$を定める事に等しく、Eの各点にそのようなジェットを定める行為は

${\displaystyle j_{u}^{1}s\in J^{1}E\mapsto s_{u}\in E}$

の切断を定める行為に等しい。よって${\displaystyle \pi ~:~E\to M}$の接続概念を以下のように定式化できる：

「切断」という「水平部分空間」よりも数学的に扱いやすい対象によって接続を定義できる点でこの定義は有益である。

本節では、上記の接続の概念に基づいて、一般のファイバーバンドルに対して平行移動、共変微分、および曲率形式の概念を定義していく。 ベクトルバンドルの場合にこれらの概念がこれまで議論してきた平行移動、共変微分、および曲率形式の概念に一致する事は後述する。

平行移動の概念を以下のように定義する：

接続の定義から、

${\displaystyle \pi _{*}|_{{\mathcal {H}}_{e}}:|~{\mathcal {H}}_{e}\to T_{\pi (e)}M}$

はベクトル空間としての同型であるので、この逆写像

${\displaystyle \mathrm {Lift} _{e}~:~T_{\pi (e)}M\to {\mathcal {H}}_{e}}$

を考える事ができる。${\displaystyle \mathrm {Lift} _{e}(v)}$を${\displaystyle v\in T_{\pi (e)}M}$のeへの水平リフト（英: horizontal lift^[13]）といい、vに水平リフトを対応させる写像 ${\displaystyle \mathrm {Lift} _{e}~:~T_{\pi (e)}M\to {\mathcal {H}}_{e}}$をクリストッフェル写像（英: Christoffel map^[16]）という事もある。この写像とクリストッフェル記号の関係は後述する。

水平リフトの定義から明らかなように、切断${\displaystyle s(t)}$が平行である必要十分条件は

${\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}s(t)=\mathrm {Lift} _{s(t)}\left({\tfrac {d}{dt}}c(t)\right)}$

を満たす事である。

常微分方程式${\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}s(t)=\mathrm {Lift} _{s(t)}\left({\tfrac {d}{dt}}c(t)\right)}$の解の局所的な存在一意性から、平行移動は局所的に存在し、かつ一意である。

すなわちsを曲線${\displaystyle c(t)}$の時刻t₀のファイバー${\displaystyle E_{c(t_{0})}}$の元とするとき、（t₀とsに依存した）t₀の近傍${\displaystyle (-\varepsilon ,\varepsilon )}$が存在し、${\displaystyle (-\varepsilon ,\varepsilon )}$上ではsの平行移動が一意に存在する。

前節で平行移動が局所的には必ず存在する事を見たが、平行移動の大域的な存在性は必ずしも保証されない。平行移動が大域的に存在するときに接続は完備であるという：

任意のファイバーバンドルに完備な接続が少なくとも1つ入る事が知られている^[17]。

なお、接バンドルにおいては「完備」という言葉は

• アフィン接続の測地線完備性^{[注 6]}
• リーマン計量が入っている場合の距離空間としての完備性

にも使われるが、上述した接続の完備性はこれらの完備性概念とは別概念である。実際、（アフィン接続に限らず）Koszul接続の場合には、平行移動は常に定義可能である^[20]ので、Koszul接続は上述の意味で常に完備である。

ファイバーがコンパクトの場合も完備性が成り立つ：

本節では完備ではない接続の例をあげる。${\displaystyle M=\mathbb {R} }$とし、M上のファイバーバンドル

${\displaystyle \pi ~:~(x,y)\in M\times \mathbb {R} \mapsto x\in M}$

を考え、このファイバーバンドル上に下記のような接続を考える：

点${\displaystyle (x,y)\in M\times \mathbb {R} }$における水平部分空間は、${\displaystyle T_{(x,y)}(M\times \mathbb {R} )}$内の傾き${\displaystyle y{}^{2}}$の直線である^{[注 7]}

ここで直線の「傾き」は${\displaystyle T_{(x,y)}(M\times \mathbb {R} )}$を自然に${\displaystyle M\times \mathbb {R} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$と同一視したときの傾きである。

このようにすると、${\displaystyle M=\mathbb {R} }$上の直線${\displaystyle c(t)=t}$に沿って点${\displaystyle 0\in M=\mathbb {R} }$のファイバー上の点${\displaystyle (0,y_{0})\in M\times \mathbb {R} =\mathbb {R} \times \mathbb {R} }$を平行移動した結果できる曲線は

${\displaystyle (x,y)=\left(t,{1 \over y_{0}{}^{-1}-t}\right)}$

である事を容易に示す事ができる。この平行移動は

${\displaystyle t<{1 \over y_{0}}}$

の範囲でしか延長できず、完備でない事が言えた。

上記の例でも分かるように、水平移動の局所的存在性において、水平移動が存在する範囲${\displaystyle (-\varepsilon ,\varepsilon )}$がファイバーの元（上記の例ではy₀）に依存しており、上記の例であれば${\displaystyle \varepsilon <{\tfrac {1}{y_{0}}}}$でなくてはならない。この事が水平移動の大域的存在性を保証できない原因となっている。

本節ではまず共変微分を天下り的に定義し、次に平行移動の概念を用いて共変微分の概念の意味付けを行う。

M上のベクトル場Xに対し、Eの各点eに${\displaystyle \mathrm {Lift} _{e}(X_{e})}$を対応させるベクトル場を

${\displaystyle \mathrm {Lift} (X)}$

と書くことにすると、以下が成立する事が知られている^[14]：

よって特に次が成立する：

平行移動の定義より、${\displaystyle s(t)}$が平行であれば、

${\displaystyle {\tfrac {d}{dt}}s(t)=\mathrm {Lift} _{s(t)}\left({\tfrac {d}{dt}}c(t)\right)}$

であった。この事からすなわち、共変微分${\displaystyle {\tfrac {\nabla }{dt}}s(t)}$とは、平行移動からのズレを表す量である事がわかる。

本節では共変微分を成分表示で表し、これにより水平リフトがなぜクリストッフェル写像と呼ばれるのかを見る。このためにファイバーバンドル${\displaystyle \pi ~:~E\to M}$の点${\displaystyle e_{0}\in E}$に対し、${\displaystyle \pi (e_{0})\in M}$の近傍Uにおける局所座標${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})}$を選び、さらに${\displaystyle e_{0}\in E}$の局所座標

${\displaystyle ((x^{1},\ldots ,x^{m}),(y^{1},\ldots ,y^{n}))\in U\times V\subset E}$

として、局所座標が${\displaystyle ((x^{1},\ldots ,x^{m}),(y^{1},\ldots ,y^{n}))}$の元を${\displaystyle \pi ~:~E\to M}$で写像するしたものの局所座標が${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})}$となるものを取る。

水平リフトは${\displaystyle \pi ~:~E\to M}$の右逆写像であった事から、${\displaystyle X=X^{k}{\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}}}$をU上のベクトル場とすると、${\displaystyle e\in E}$における水平リフトは何らかの実数の組${\displaystyle (\Gamma ^{i}{}_{k}(e))_{i,k}}$を用いて

${\displaystyle \mathrm {Lift} _{e}(X)=X^{k}{\partial \over \partial x^{k}}-X^{k}\Gamma ^{i}{}_{k}(e){\partial \over \partial y^{i}}}$

という形に成分表示できる^{[22][注 8]}。共変微分とリフトの関係性から、簡単な計算により、以下の定理を示すことができる：

上記の定理をKoszul接続に関する共変微分の成分表示と比較する事で、${\displaystyle \Gamma _{k}{}^{i}(s(x))}$がクリストッフェル記号に対応している事が分かる。事実Koszul接続では${\displaystyle \Gamma _{k}{}^{i}(s(x))}$がsに関して線形であり、成分表示がクリストッフェル記号と一致する（後述）。

水平リフトの事をクリストッフェル写像と呼んだのは以上の理由による。

接続概念の定義において垂直方向への射影

${\displaystyle V_{e}~:~T_{e}E\to {\mathcal {V}}_{e}}$

を導入したが、同様にして水平方向への射影

${\displaystyle H_{e}~:~T_{e}E\to {\mathcal {H}}_{e}}$

も定義できる。

曲率概念はこのV_e、H_eを使って定義できる：

なお、Frölicher–Nijenhuis bracket${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{FN}}$を用いると、曲率形式は

${\displaystyle \Omega =-{1 \over 2}[V,V]_{FN}=-{1 \over 2}[H,H]_{FN}}$

とも書き表せる^{[27][注 10]}。 さらに曲率形式に対する下記の（第二）ビアンキ恒等式が成立する事も示せる^[27]

${\displaystyle [V,\Omega ]_{FN}=0}$.

曲率概念の意味付けをみるため、いくつかの概念を定義する。 ${\displaystyle \pi ~:~E\to M}$を接続${\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}}$が定義されたファイバーバンドルとし、∇をこの接続が定める共変微分とする。

sをMの開集合U上で定義されたEの切断がUの任意の点uとuにおけるUの任意の接ベクトルvに対し、

${\displaystyle \nabla _{v}s=0}$

を満たすとき、sは平坦(英: flat)であるという^[28]。

定義から明らかなようにsが平坦であるとは、sをUからEへの写像とみなしたとき、sが誘導する写像${\displaystyle s_{*}~:~TU\to TE}$によるTUの像が常に水平部分空間に属する事と同値である。

Eの任意の点eに対し、eを通るEの平坦な切断が存在するとき、接続${\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}}$は平坦であるという^[29]。

定義から明らかなように、接続${\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}}$が平坦であるという事は、超平面の族${\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}}$が可積分である事と同値である^[30]。

フロベニウスの定理を用いると、次が成立する事を証明できる：

したがって曲率形式は水平部分空間　${\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}}$が可積分ではない度合いを表す量である。

これまで通り${\displaystyle \pi ~:~E\to M}$を接続${\displaystyle \{V_{e}\}_{e\in E}}$が定義されたファイバーバンドルとする。さらに${\displaystyle U\in \mathbb {R} ^{2}}$を${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$の原点Oの開近傍とし、Uの元を成分で${\displaystyle (x^{1},x^{2})}$と表し、${\displaystyle \varphi ~:~U\to M}$を埋め込みとし、${\displaystyle i=1,2}$に対し、

${\displaystyle {\hat {\partial }}_{i}:=\varphi _{*}(\partial _{i})}$、${\displaystyle \partial _{i}^{*}:=\mathrm {Lift} ({\hat {\partial }}_{i})}$

とする。${\displaystyle c(t)}$を${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$上の以下のような閉曲線とする：${\displaystyle O\in \mathbb {R} ^{2}}$から${\displaystyle t}$だけ右に動き、${\displaystyle t}$だけ上に動き、${\displaystyle t}$だけ左に動き、${\displaystyle t}$だけ下に動く。

このとき${\displaystyle \varphi \circ c(t)}$に沿って、${\displaystyle \varphi (O)}$のファイバー${\displaystyle E_{\varphi (O)}}$の点eを平行移動したものは、

${\displaystyle e_{t}=\Phi _{2}^{-t}\circ \Phi _{1}^{-t}\circ \Phi _{2}^{t}\circ \Phi _{1}^{t}(e)}$ where ${\displaystyle \Phi _{i}^{t}:=\exp(t\partial _{i}^{*})}$

に等しい。この${\displaystyle e_{t}}$を使って曲率形式を特徴づける事ができる：

クリストッフェル写像の節と同様に、Eの元がMの局所座標${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})}$およびEの垂直方向の局所座標${\displaystyle (y^{1},\ldots ,y^{n})}$の組${\displaystyle ((x^{1},\ldots ,x^{m}),(y^{1},\ldots ,y^{n}))}$で書き表されているとし、${\displaystyle e\in E}$に対し、 曲率を

${\displaystyle \Omega _{e}\left({\partial \over \partial x^{k}},{\partial \over \partial x^{\ell }}\right)=\Omega ^{i}{}_{k\ell }(e){\partial \over \partial y^{i}}}$

と成分表示する。さらにクリストッフェル写像の節と同様、${\displaystyle e\in E}$における水平リフトを

${\displaystyle \mathrm {Lift} _{e}\left({\partial \over \partial x^{k}}\right)={\partial \over \partial x^{k}}-\Gamma ^{i}{}_{k}(e){\partial \over \partial y^{i}}}$

と書く。

本節では特に断りのない限り、${\displaystyle \pi ~:~E\to M}$を完備な接続${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{{\mathcal {H}}_{e}\}_{e\in E}}$が定義されたファイバーバンドルでMが連結なものとする。

${\displaystyle x_{0}\in M}$をMの点とし、${\displaystyle c(t)\in M}$をx₀からx₀自身への区分的になめらかな閉曲線とすると、接続が完備なのでx₀のファイバー${\displaystyle E_{x_{0}}}$の任意の元eに対し、eを${\displaystyle c(t)\in M}$に沿って一周平行移動してできた元を${\displaystyle \varphi _{c}(e)\in E_{x_{0}}}$とする事で、${\displaystyle E_{x_{0}}}$上の可微分同相写像

${\displaystyle \varphi _{c}~:~E_{x_{0}}\to E_{x_{0}}}$

を定義できる。

さらに以下を定義する：

Mが連結である事から（制約）ホロノミー群の群構造はx₀によらないので、紛れがなければ${\displaystyle \mathrm {Hol} (E,{\mathcal {H}},x_{0})}$、${\displaystyle \mathrm {Hol} _{0}(E,{\mathcal {H}},x_{0})}$を単に${\displaystyle \mathrm {Hol} (E,{\mathcal {H}})}$、${\displaystyle \mathrm {Hol} _{0}(E,{\mathcal {H}})}$と書く。

${\displaystyle u\in M}$における接ベクトル${\displaystyle v\in T_{u}M}$に対し、${\displaystyle e\in E_{u}}$に${\displaystyle v}$のeでの水平リフトを対応させる

${\displaystyle e\in E_{u}\mapsto \mathrm {Lift} _{e}(v)\in {\mathcal {H}}_{e}\subset T_{e}E}$

をファイバー${\displaystyle E_{u}}$上の切断とみなしたものを${\displaystyle \mathrm {Lift} (v_{u})}$と書く。

2つのベクトル${\displaystyle v_{u},w_{u}\in T_{u}M}$に対し、${\displaystyle \mathrm {Lift} (v_{u})}$、${\displaystyle \mathrm {Lift} (w_{u})}$はいずれも${\displaystyle E_{u}}$上のベクトル場なので、曲率形式Ωに対して、

${\displaystyle \Omega (\mathrm {Lift} (v_{u}),\mathrm {Lift} (w_{u}))\in VE=TE_{u}}$

を定義でき、これは${\displaystyle E_{u}}$上のベクトル場とみなせる。さらに${\displaystyle u_{0}\in M}$をfixし、uから${\displaystyle u_{0}}$までつなぐ曲線${\displaystyle c(t)}$に沿って${\displaystyle \Omega (\mathrm {Lift} (v_{u}),\mathrm {Lift} (w_{u}))}$を平行移動したものを${\displaystyle \Omega _{c}(\mathrm {Lift} (v_{u}),\mathrm {Lift} (w_{u}))}$と書く。

実は以下の定理が成立する。なお、以下の定理は主バンドルに対するAmbrose–Singerの定理を任意のファイバーバンドルに一般化したものである：

${\displaystyle \pi ~:~E\to M}$をファイバー空間Fを持つファイバーバンドル、${\displaystyle \{V_{e}\}_{e\in E}}$をその上の接続とし、Mの点x₀とx₀の近傍Vに対し、${\displaystyle \pi ^{-1}(V)}$の局所座標を ${\displaystyle \pi ^{-1}(V){\overset {\sim }{\to }}U\times F}$とする。ここでUは${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$の開集合である。以下、紛れがなければ${\displaystyle \pi ^{-1}(V)}$とその局所座標${\displaystyle U\times F}$を同一視する。

クリストッフェル形式を使うと曲率が以下のように書ける：

上述の定理はあくまで局所座標で成立するものに過ぎないが、後述する主バンドルの接続の場合は局所座標ではなく手バンドル自身の上で同種の定理が成り立つことを後で示す。

${\displaystyle \pi ~:~E\to M}$を接続${\displaystyle \{V_{e}\}_{e\in E}}$が定義されたファイバーバンドルとし、${\displaystyle f~:~N\to M}$を多様体NからMへのなめらかな写像とすると、ファイバーバンドルの引き戻し

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}f^{*}E&{\overset {\tilde {f}}{\to }}&E\\\downarrow \pi '&\circlearrowright &\downarrow \pi \\N&{\overset {f}{\to }}&M\end{array}}}$

が定義できる。

曲率は引き戻しに対して自然に振る舞う：

一方、接続に関する他の諸概念、例えば水平リフトは引き戻しに関して自然に振る舞うとは限らない。実際${\displaystyle f~:~N\to M}$がNを一点に潰す写像であれば、TNの像は全て0ベクトルであるので、${\displaystyle f_{*}}$で写像してから水平リフトするのと水平リフトしてから${\displaystyle {\tilde {f}}_{*}}$で写像したのでは結果が異なる。

水平リフトは引き戻しに関して自然に振る舞う条件は微分がfull rankになる事で、${\displaystyle f_{*}}$が点${\displaystyle x\in N}$においてfull rankであれば、T_xNの元を${\displaystyle f_{*}}$で写像してから水平リフトするのと水平リフトしてから${\displaystyle {\tilde {f}}_{*}}$で写像したのは結果が等しくなる。

本節では主バンドルの接続を定義する。

主バンドルの接続は、ファイバーバンドルの接続で群作用に対して不変になるものである：

ここで${\displaystyle {\mathcal {V}}_{p}}$は垂直部分空間${\displaystyle {\mathcal {V}}_{p}:=\pi _{*}{}^{-1}(T_{\pi (p)}M)\subset T_{p}P}$であり、${\displaystyle (R_{g})_{*}}$は${\displaystyle g\in G}$のPへの右からの作用${\displaystyle R_{g}~:~p\in P\to pg\in P}$がTPに誘導する写像である。${\displaystyle {\mathcal {H}}_{p}}$をpにおける水平部分空間という。

一般のファイバーバンドルの接続の場合と同様、垂直射影${\displaystyle \{V_{p}\}_{p\in P}}$を用いて接続概念を定義することも可能で、

• 任意の${\displaystyle p\in P}$に対し、${\displaystyle V_{p}|_{{\mathcal {V}}_{p}}=\mathrm {id} }$
• 任意の${\displaystyle p\in P}$、${\displaystyle g\in G}$に対し、${\displaystyle (R_{g})_{*}\circ V_{p}=V_{pg}\circ (R_{g})_{*}}$

により接続概念を定義づけられる。

しかし次節に見るようにリー群・リー代数対応に着目する事で、リー代数の言葉を使った定式化も可能である。

本節では、前節で定義した主バンドルの接続概念をリー代数を使って特徴づける。

そのためにまず、定義のために必要な概念を導入する。

Gをリー群とし、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$をそのリー代数とし、さらにNをGが右から作用する多様体（例えばG-主バンドル${\displaystyle \pi ~:~P\to M}$の全空間P）とする。

なお、NがG-主バンドル${\displaystyle \pi ~:~P\to M}$の全空間Pの場合には${\displaystyle {\underline {A}}_{p}}$は垂直部分空間${\displaystyle {\mathcal {V}}_{p}}$の元である事が容易に示せる。

ここで${\displaystyle \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})}$は${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$上の線形同型全体のなすリー群である。随伴表現の定義は${\displaystyle h(t)}$の取り方によらずwell-defninedである。

基本ベクトル場の定義より明らかに各${\displaystyle p\in P}$に対し、写像

${\displaystyle \zeta _{p}~:~A\in {\mathfrak {g}}\mapsto {\underline {A}}_{p}\in {\mathcal {V}}_{p}}$

は全単射であるので、ζ_pの写像の逆写像を垂直射影と合成する事で、

${\displaystyle T_{p}P{\underset {V_{p}}{\to }}{\mathcal {V}}_{p}{\underset {\zeta _{p}{}^{-1}}{\overset {\sim }{\to }}}{\mathfrak {g}}}$

作る事ができる。この写像を${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$に値を取る1-形式とみなしたものを

${\displaystyle \omega _{p}\in {\mathcal {A}}_{p}^{1}(P;{\mathfrak {g}})}$

とし、各点pにω_pを対応させるP上の${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$値1-形式の場ωを接続形式（英: connection form）という^[41]。ここで${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}^{1}(P;{\mathfrak {g}})}$はP上の${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$値1-形式全体の集合である。

以上の議論から明らかに垂直射影からωが定まり、逆にωから垂直射影が定まるのでωによって接続概念を定式化できる：

主バンドルとしての接続から前述の方法でPの接続形式が定まり、逆に接続形式ωが0になる方向を水平方向とすることでPに主バンドルとしての接続が再現できるので、両者の定義は同値である。

本節では主バンドルの接続に関する諸概念を接続形式を使って表現する。

接続が定義された主バンドル${\displaystyle \pi ~:~P\to M}$において、切断sの共変微分は

${\displaystyle \nabla _{X}s|_{u}:=V_{s(u)}(s_{*}(X_{u}))}$

により定義されていた。一方主接続の接続形式ωは垂直射影${\displaystyle V_{s(x)}}$を基本ベクトル場を考えてリー代数と対応付ける事で定義されていた。よって次が成立する：

ここで

${\displaystyle \zeta _{p}~:~A\in {\mathfrak {g}}\mapsto {\underline {A}}_{p}\in {\mathcal {V}}_{p}}$ for ${\displaystyle p\in P}$

である。

本節では、上記で定義したリー代数による接続の記述を使って曲率形式をリー代数の言葉で書き換える。

そのために${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-値1-形式α、βに対し、

${\displaystyle [\alpha ,\beta ]_{\mathfrak {g}}(X,Y):=[\alpha (X),\beta (Y)]_{\mathfrak {g}}-[\alpha (Y),\beta (X)]_{\mathfrak {g}}}$

と定義する。ここで${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$は${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$上のリー括弧である。さらに前節同様

${\displaystyle \zeta _{p}~:~{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}{\mathcal {V}}_{p}}$

を考える。紛れがなければ添字pを省略し単にζと書く。

曲率形式は次を満たす：

ここでH_pは水平部分空間への射影である。

接続形式の意味を見るため、リー群のモーレー・カルタン形式を定義する。

モーレー・カルタン形式は以下を満たす^[49]：

上記の2式のうち下のものをモーレー・カルタンの方程式^[50]（英: Maurer-Cartan equation）、もしくはリー群Gの構造方程式^[51]（英: structure equation）という。

一点集合${\displaystyle \{x_{0}\}}$を0次元多様体とみなし、Gを${\displaystyle \{x_{0}\}}$上のG-主バンドル${\displaystyle G\to \{x_{0}\}}$とみなすと、上記の定理から明らかにモーレー・カルタン形式はこのバンドル上の接続となる。

構造方程式から以下が明らかに従う：

曲率が0である事は水平部分空間が可積分である事と同値であったので、水平部分空間が自明になる一点上のバンドルでは曲率が0になるのは自明である。

実は以下が成立する：

実際、底空間が一点である事から ${\displaystyle T_{g}G}$と${\displaystyle {\mathcal {V}}_{g}}$は同次元なので垂直射影は恒等写像しか存在せず、しかも基本ベクトル場の定義から${\displaystyle g\in G}$と${\displaystyle A\in {\mathfrak {g}}}$に対し、

${\displaystyle {\underline {A}}_{g}:=\left.{\frac {d}{dt}}(g\cdot \mathrm {exp} (tA))\right|_{t=0}=(L_{g})_{*}(A)=\mu _{g}{}^{-1}(A)}$

であるので、${\displaystyle G\to \{x_{0}\}}$上の接続は

${\displaystyle T_{g}G={\mathcal {V}}_{g}{\overset {\mu _{g}}{\to }}{\mathfrak {g}}}$

のみになる。

以上のことから接続形式ωが定義されたG-主バンドル${\displaystyle \pi ~:~P\to M}$に対し、ωをM上の一点x₀のファイバー${\displaystyle P_{x_{0}}=\pi ^{-1}(x_{0})}$（すなわちこの接続の垂直方向）に制限したものは必ずモーレー・カルタン形式μに一致する。

実は次が成立する：

以上のことから、接続形式とは、各ファイバー上ではモーレー・カルタン形式に一致し、しかもGの作用との両立性${\displaystyle (R_{g})^{*}\omega _{p}=(\mathrm {Ad} g^{-1})\omega _{p}}$をみたすものとして特徴づけられる。

主バンドルの接続の場合、平行移動は以下を満たす：

よって特に以下が成立する：

実際、${\displaystyle h_{\varphi }=\varphi (e)}$とすれば上の系が成立する。ここでeはGの単位元である。

本節では主バンドルPの微分形式のうち性質の良いものがPに対応するベクトルバンドルの微分形式と1対1に対応する事を見る。次節でこの同型を曲率形式がリー代数のバンドルの元とみなせる事を示すのに利用し、更に後の章でベクトルバンドルの共変外微分を定義するのに利用する。

Vをベクトル空間とし、

${\displaystyle \rho ~:~G\to \mathrm {GL} (V)}$

をリー群GからV上の一般線形群${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$へのなめらかな準同型（すなわちなめらかな線形表現）とし^{[注 15]}、${\displaystyle P\to M}$を接続形式ωが定義されたG-主バンドルとする。

ベクトルバンドル${\displaystyle E=P\times _{\rho }V\to M}$を考え、${\displaystyle p\in P}$に対し、

${\displaystyle \varphi _{p}~:~v\in V\mapsto [(p,v)]\in E_{\pi (p)}\subset P\times _{\rho }V=E}$

を商写像とすると、${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\rho }^{k}(P,V)}$の元は${\displaystyle \varphi _{p}}$により${\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(M;E)}$の元と自然に対応する。ここで${\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(M;E)}$はEに値を取るk次微分形式全体の集合である：

上記の写像の逆写像は以下のように書ける：

本節ではリー群の随伴バンドルを定義し、曲率形式は随伴バンドル上の微分形式とみなせる事を見る。まず随伴バンドルを定義する：

前述した主接続の曲率の性質から、Pに接続形式ωが定義されているとき、

${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {A}}_{\mathrm {Ad} }^{2}(P;{\mathfrak {g}})\approx {\mathcal {A}}^{2}(M;P\times _{\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}})}$

が成立する。すなわち曲率形式は随伴バンドルの元と見なすことができる^[59]。 一方、接続形式は（恒等的に0でない限り）テンソル形式の定義における水平性を満たさないので、${\displaystyle \omega \notin {\mathcal {A}}_{\mathrm {Ad} }^{1}(P;{\mathfrak {g}})}$である^[60]。

${\displaystyle \pi ~:~P\to M}$を接続形式ωが定義されたG-主バンドルとし、

${\displaystyle H_{p}~:~T_{p}P\to {\mathcal {H}}_{p}}$

を接続ωに関するPの点pにおける水平射影とし、さらにVをベクトル空間とする。${\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(P;V)}$を${\displaystyle V}$値k-形式全体の集合とすると、${\displaystyle \eta \in {\mathcal {A}}^{k+1}(P;V)}$に対し、

${\displaystyle H^{*}(\eta )(X_{1},\ldots ,X_{k+1}):=\eta (H(X_{1}),\ldots ,H(X_{k+1}))}$

を定義できる。

共変外微分は通常の外微分と違い、${\displaystyle d_{\omega }d_{\omega }}$は0になるとはかぎらないが、${\displaystyle V}$が構造群Gのリー代数${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$である場合には、以下の関係式を示すことができる。以下でΩは接続形式ωに関する曲率である：

本節では主バンドルの接続からそれに同伴するバンドルに接続を誘導する方法を述べる。

まず同伴バンドルの定義を復習する。${\displaystyle \pi ~:~P\to M}$をG-主バンドルとし、Fを左からのGの作用${\displaystyle G{\overset {\curvearrowright }{}}F}$を持つ多様体とするとき、P×Fを

${\displaystyle (p,ga)\sim (pg,a)}$ for ${\displaystyle g\in G}$

という同値関係で割った空間を${\displaystyle P\times _{G}F}$とすると、

${\displaystyle [(p,a)]\in P\times _{G}F\to \pi (p)\in M}$

は構造群Gを持つファイバーFのファイバーバンドルになる。${\displaystyle P\times _{G}F}$をPの${\displaystyle G{\overset {\curvearrowright }{}}F}$に関する同伴バンドル（英語版）という。

本節では主バンドル${\displaystyle \pi ~:~P\to M}$上定義された接続${\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{p}\}_{p\in P}}$を用いて同伴バンドル${\displaystyle P\times _{G}F\to M}$に接続を定義する方法を説明する。

${\displaystyle a\in F}$に対し、写像

${\displaystyle \varphi _{a}~:~p\in P\to [(p,a)]\in P\times _{G}F}$

を考える。

上記の定義において${\displaystyle {\mathcal {H}}'_{[(p,a)]}}$は代表元${\displaystyle (p,a)}$の取り方によらずwell-definedである。

本節では、前節で定義した同伴バンドルに誘導された接続を別の方法で特徴づける。

そのためにG上の積を取る写像と逆元を取る写像

${\displaystyle \mu ~:~(g,h)\in G\times G\mapsto gh\in G}$

${\displaystyle \nu ~:~g\in G\mapsto g^{-1}\in G}$

を考え、これらが接バンドルTGに誘導する写像

${\displaystyle \mu _{*}~:~TG\times TG\to TG}$

${\displaystyle \nu _{*}~:~TG\to TG}$

をそれぞれTG上で積を取る演算、逆元を取る演算とみなすと、TGがこの積に対して群になる事を示す事ができる^{[65][注 18]}。この群をリー群Gの接群^{[訳語疑問点]}（英: tangent group）という^[65]。

TGを上記の方法で群とみなすと、G-主バンドル${\displaystyle \pi ~:~P\to M}$が誘導する${\displaystyle \pi _{*}~:~TP\to TM}$はTG主バンドルとみなせ、${\displaystyle G{\overset {\curvearrowright }{}}F}$が誘導する${\displaystyle TG{\overset {\curvearrowright }{}}TF}$は群TGのTFへの群作用とみなせる。

このため同伴バンドル

${\displaystyle TP\times _{TG}TF\to M}$

を考える事ができる。しかも

${\displaystyle T(P\times F)\approx TP\times TF\to TP\times _{TG}TF}$

が同型

${\displaystyle T(P\times _{G}F)\approx TP\times _{TG}TF}$

を誘導することも示す事ができる。

本節で定義された「誘導された接続」が前節で定義されたものと同一であることを用意に示す事ができる。

本節では同伴接続の共変微分が主接続の接続形式を用いて表現できる事を見る。まず記号を定義する。

${\displaystyle \pi ~:~P\times _{G}F\to M}$を主バンドル${\displaystyle P\to M}$と作用${\displaystyle G{\overset {\curvearrowright }{}}F}$から定義されたFバンドルとする。

さらに${\displaystyle P\to M}$に接続形式がωの接続形式が定義されているとし、この接続が${\displaystyle \pi ~:~P\times _{G}F\to M}$に誘導する接続の共変微分を∇とする。

そして${\displaystyle p\in P}$に対し、

${\displaystyle \psi _{p}~:~a\in F\to [(p,a)]\in P\times _{G}F}$

とする。

主接続の曲率とそこから誘導された接続の曲率は以下の関係を満たす。

本節ではファイバーバンドル上の（一般の）接続が主バンドルの接続から誘導された接続である条件をクリストッフェル形式を用いて記述する。

なお上では「あるバンドルアトラスが存在して」としたがあるバンドルアトラスに対して上記の性質が成立すれば任意のバンドルアトラスに対して上記の性質が成立する事が知られている^[69]。

本節ではベクトルバンドルとしての接続（すなわちKoszul接続）と、一般の接続概念や主接続の概念との関係をみる。

まずKoszul接続の定義を復習する：

ここでX、YはM上の任意のベクトル場であり、s、s'はEの任意の接続とし、f、gはM上定義された任意の実数値可微分関数であり、a、bは任意の実数であり、${\displaystyle fY}$は点Pにおいて${\displaystyle f(P)Y_{P}}$となるベクトル場であり、${\displaystyle X(f)}$はfのX方向微分であり、${\displaystyle [X,Y]}$はリー括弧（英語版）である。

ベクトルバンドル${\displaystyle \pi ~:~E\to M}$においては垂直部分空間と接空間が自然に同一視できるので、その同一視の写像を

${\displaystyle \phi ~:~{\mathcal {V}}_{e}{\tilde {\to }}T_{\pi (e)}E}$

と書く。

本節では一般の接続概念から定義される共変微分を∇とするとき、${\displaystyle \phi \circ \nabla }$がKoszul接続になる条件を述べる。なお、逆にKoszul接続から一般の接続概念を誘導する方法はすでに述べた。

Koszul接続から一般の接続概念を誘導する方法と（上記の定理の条件を満たす）一般の接続概念からKoszul接続を誘導する方法は「逆写像」の関係にあり、上記の定理の条件を満たす一般の接続概念とKoszul接続は1:1に対応する^[76]。

${\displaystyle \pi ~:~E\to M}$をベクトルバンドルとし、${\displaystyle (x^{1},\ldots ,x^{m})}$をMの局所座標とし、${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$をEの局所的な基底とし、Eの元vを${\displaystyle v=v^{j}e_{j}}$と表すと、クリストッフェル写像の節で述べたように、${\displaystyle e\in E}$における水平リフトを

${\displaystyle \mathrm {Lift} _{e}\left({\partial \over \partial x^{i}}\right)={\partial \over \partial x^{k}}-\Gamma ^{i}{}_{k}(v){\partial \over \partial v^{i}}}$

と書ける。一方、Koszul接続のクリストッフェル記号を

${\displaystyle \nabla _{\tfrac {\partial }{\partial x^{k}}}e_{k}=\Gamma _{kj}^{i}e_{i}}$

と定義すると、上述の定理から以下が従う：

次に我々は主バンドルの接続とベクトルバンドルの接続の関係を見る。そのための準備として本節では「G-フレーム」、および「G-フレームバンドル（英語版）」の概念を導入する。

「G-フレーム」とは正規直交基底の概念を一般化したもので、Gが${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$の場合、G-フレームが正規直交基底に相当する。

ここで${\displaystyle e'_{1},\ldots ,e'_{n}}$は${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$の標準的な基底であり、${\displaystyle ge_{i}}$は線形変換${\displaystyle g\in G\subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$をe_iに作用させたものである。

構造群Gを持つベクトルバンドルの定義から、G-フレームの定義はバンドルチャートの取り方によらずwell-definedである。

${\displaystyle F^{G}(E)_{u}}$を${\displaystyle u\in M}$上のG-フレーム全体の集合とすると、

${\displaystyle F^{G}(E):=\bigcup _{u\in M}F^{G}(E)_{u}}$

は自然にM上のG-主バンドルをなし、${\displaystyle F^{G}(E)}$を構造群Gに関するフレームバンドルという^{[78][注 22]}。

${\displaystyle P\to M}$を${\displaystyle \pi ~:~E\to M}$に対応するG-主バンドルとすると、PはG-フレームバンドルと自然に同一視できる：

よって以後、${\displaystyle \pi ~:~E\to M}$に対応するG-主バンドルと${\displaystyle F^{G}(E)}$を自然に同一視する。

フレームバンドルの利点は、主バンドルからベクトルバンドルへの商写像に直観的な意味を与えられることにある。以下で${\displaystyle P\to M}$は前節同様${\displaystyle \pi ~:~E\to M}$に対応するG-主バンドルである。

本節ではG-主バンドルの接続形式の関係とこの接続がベクトルバンドルEに誘導する接続の関係を述べる。これまで同様Gを${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$の閉部分リー群とする。また前節で主バンドルがフレームバンドルと自然に同一視できる事を見たので、以下主バンドルとフレームバンドルを区別せずに用いる。

本節では以下特に断りがない限り、Gを${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {R} )}$の部分リー群とし、${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$をGのリー代数とし、${\displaystyle \pi ~:~E\to M}$をGを構造群を持つベクトルバンドルとし、${\displaystyle F_{G}(E)}$をそのフレームバンドルとする。

主接続とKoszul接続の関係を見るための準備として、以下の概念を導入する：

上で定義したKoszul接続の接続形式${\displaystyle {\hat {\omega }}_{e}}$を使って${\displaystyle F_{G}(E)}$の接続形式ωを定義するのだが、${\displaystyle {\hat {\omega }}_{e}}$は一般には行列値の1-形式、すなわち ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )}$に値を取る1-形式であるが、${\displaystyle F_{G}(E)}$の接続形式は必ずGのリー代数${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$に値を取る必要がある。そこで${\displaystyle {\hat {\omega }}_{e}}$が${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$に値を取る場合に話を限定する。

このとき、以下が従う：

上の定理で、${\displaystyle F_{G}(M)}$上の主接続に対応するのは、この接続がEに誘導するが定義する共変微分∇である。接続の誘導の定義から共変微分がKoszul接続に一致する条件を満たすのを容易に確認できる。

逆にGと両立する接続が与えられたとき、${\displaystyle e\in F_{G}(E)}$に対し、

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{e}:=\{{\tfrac {de}{dt}}(0)|e(t)=(e_{1}(t),\ldots ,e_{n}(t))}$は時刻0にeを通り、しかも${\displaystyle {\tfrac {\nabla e}{dt}}(0)=0}$となる切断${\displaystyle \}}$

を水平部分空間とする${\displaystyle F_{G}(E)}$の主接続が与えられる^[82]。なお、この主接続の接続形式ωは${\displaystyle F_{G}(E)}$の局所自明化${\displaystyle \pi ^{-1}(U)\approx U\times G}$、∇の接続形式${\displaystyle {\hat {\omega }}_{e}}$、Gのモーレー・カルタン形式μを用いて

${\displaystyle \omega _{(u,g)}=\mathrm {Ad} (g^{-1}){\hat {\omega }}_{(u,\mathrm {id} )}+\mu _{g}}$

と書ける^[83]。ここでidはGの単位元である。

ベクトルバンドル${\displaystyle E\to M}$の切断sが与えられたとき、${\displaystyle F_{G}(M)}$上の関数

${\displaystyle \psi _{s}~:~(e_{1},\ldots ,e_{n})\in F_{G}(M)\mapsto (s^{1},\ldots ,s^{n})\in \mathbb {R} ^{n}}$, where ${\displaystyle s=s^{i}e_{i}}$

を定義できる。このとき次が成立する：

ここで${\displaystyle \mathrm {Lift} (X)\psi _{s}}$は${\displaystyle F_{G}(M)}$上のベクトル場${\displaystyle Y:=\mathrm {Lift} (X)}$により${\displaystyle F_{G}(M)}$上の${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$値関数${\displaystyle \psi _{s}}$の各成分を微分した${\displaystyle Y(\psi _{s})}$の事である。

前節ではフレームバンドルF_G(E)に接続が定義されている状況下でその接続がEに誘導するKoszul接続を考察してきたが、本節ではこの逆、すなわちEのKoszul接続∇がどのような条件を満たせば∇がフレームバンドルF_G(E)に接続から誘導されたものと一致するかを調べる。このために以下の定義をする：

前述のAmbrose-Singerの定理の一般化から以下の定理が従う：

Koszul接続∇が「Gと両立する」事の定義は上で挙げたものの他に前の節で挙げたものがあるが、この２つは同値である。実際、これら２つのいずれか言えれば∇は主接続から誘導される事を前節の定理と上記の定理から言え、主接続から誘導される接続はこれら２つの「Gと両立する」事の定義を両方満たすので、この２つは同値である。

Koszul接続が定義されたベクトルバンドルの曲率を以下のように定義する：

Koszul接続の曲率形式を以下のように定義する：

すでに述べたようにベクトルバンドル${\displaystyle \pi ~:~E\to M}$上のKoszul接続∇には、それと対応するファイバーバンドルとしての接続${\displaystyle \{V_{e}\}_{e\in E}}$が定義可能であるが、上述したKoszul接続の曲率は前述した一般のファイバーバンドルの曲率形式${\displaystyle \Omega (\xi ,\eta )=-V([H(\xi ),H(\eta )])}$と以下の関係を満たす。ここでHは水平部分空間への射影である。

よって特にKoszul接続の曲率形式${\displaystyle {\hat {\Omega }}_{e}}$とは以下の関係を満たす：

${\displaystyle {\hat {\Omega }}^{i}{}_{j}(X,Y)=-\langle e^{i},V(\mathrm {Lift} _{e_{j}}(X),\mathrm {Lift} _{e_{j}}(Y))\rangle }$

ここで${\displaystyle e=(e_{1},\ldots ,e_{n})}$であり、${\displaystyle (e^{1},\ldots ,e^{n})}$はその双対基底である。

${\displaystyle E\to M}$のフレームバンドル${\displaystyle F_{G}(M)}$の曲率形式とKoszul接続の曲率形式は以下の関係を満たす：

本節ではベクトルバンドルの共変外微分を定義する。 そのために主バンドル上の共変外微分がタイプρのテンソル形式をタイプρのテンソル形式に写す事を見る：

${\displaystyle E:=P\times _{\rho }V}$とすると前に述べたように

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\rho }^{k}(P;V)\approx {\mathcal {A}}^{k}(M;E)}$

が成立するので、上記の定理から、主バンドルの共変外微分d_ωを使ってベクトルバンドルの共変外微分を以下のように定義できる：

本節ではベクトルバンドルの共変外微分を具体的に表記する。Vをベクトル空間とし、${\displaystyle \rho ~:~G\to \mathrm {GL} (V)}$を構造群Gの（なめらかな）線形表現とするとき、ρはGのリー代数${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$から${\displaystyle \mathrm {GL} (V)}$のリー代数${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$への写像

${\displaystyle \rho _{*}~:~{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)}$

を誘導する。${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$はV上の線形写像全体と自然に同一視できるので、${\displaystyle u\in {\mathfrak {g}}}$と${\displaystyle v\in V}$に対し、${\displaystyle \rho _{*}(u)}$をvに作用させた

${\displaystyle \rho _{*}(u)v}$

を定義できる。

ここで${\displaystyle p\in P}$、${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{k+\ell }\in T_{p}P}$であり、${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{k+\ell }}$は${\displaystyle k+\ell }$次の対称群である。

特に${\displaystyle V={\mathfrak {g}}}$である場合は、${\displaystyle u,v\in {\mathfrak {g}}}$に対し、

${\displaystyle \rho _{*}(u)v=[u,v]_{\mathfrak {g}}}$

と${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$上のリー括弧${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{\mathfrak {g}}}$で書けるので^[93]、上記の定義の${\displaystyle \rho _{*}(\tau (\cdots ))\eta (\cdots )}$の部分を${\displaystyle [\tau (\cdots ),\eta (\cdots )]_{\mathfrak {g}}}$に置き換えられる^[93]。

上記の定義を使うと共変外微分を以下のように具体的に表記できる：

${\displaystyle E:=P\times _{\rho }V}$とすると前述の同型

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{\rho }^{k}(P;V)\approx {\mathcal {A}}^{k}(M;E)}$

を使って上記の定理を${\displaystyle {\mathcal {A}}^{k}(M;E)}$上の定理に書き換える事ができる：

ここで「${\displaystyle \sharp }$」はテンソル形式と底空間上の切断の同型写像である。

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