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有理根定理（ゆうりこんていり、英: rational root theorem）は整数係数の代数方程式

a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{0}=0

の有理数の解に対する制約を述べた定理である。有理根定理は次のような言明である：

定数項 $a 0$ および最高次の係数 $a n$ がゼロでないなら、有理数解 $x = p / q$ を互いに素（最大公約数が $1$ ）な整数 $p, q$ で表したとき、 $p, q$ は以下の条件を満たす。

$p$ は $a 0$ の約数
$q$ は $a n$ の約数

有理根定理は、多項式の因数分解に関するガウスの補題（英語版）の特別な場合に当たる。また、最高次の係数 $a n$ が $1$ であるとき成り立つ整数根定理 (integral root theorem) は、有理根定理の特別な場合である。

証明

直接的な証明

$P (x) = a n x n + a n -1 x n -1 + ... + a 1 x + a 0 (a 0, ..., a n \in Z)$ なる多項式を考える。互いに素な $p, q \in Z$ に対して $P (p / q) = 0$ を満たすことを仮定する：

P\left({\tfrac {p}{q}}\right)=a_{n}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n}+a_{n-1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)^{n-1}+\cdots +a_{1}\left({\tfrac {p}{q}}\right)+a_{0}=0.

(1)

(1) から定数項 $a 0$ を右辺へ移項し、両辺に $q n$ を掛けることで以下の方程式を得る。

\qquad p(a_{n}p^{n-1}+a_{n-1}qp^{n-2}+\cdots +a_{1}q^{n-1})=-a_{0}q^{n}.

(2)

$p$ と括弧内の整数の積は $- a 0 q n$ に等しく、従って $p$ は $a 0 q n$ を割り切れることが分かる。しかしながら、 $p$ と $q$ は互いに素であり、ユークリッドの補題から同様に $p$ と $q n$ も互いに素であるため、 $p$ は残る因数 $a 0$ を割り切ることが示される。

(1) から最高次の項 $a n (p / q) n$ を右辺へ移項し両辺に $q n$ を掛けることで次の式を得る。

\qquad q(a_{n-1}p^{n-1}+a_{n-2}qp^{n-2}+\cdots +a_{0}q^{n-1})=-a_{n}p^{n}.

(3)

$p$ と $a 0$ の場合と同様の理由で、 $q$ は最高次の係数 $a n$ を割り切ることが示される^[1]。

ガウスの補題による証明

多項式のすべての係数を割り切る非自明な約数がある場合、その多項式を係数の最大公約数で割った、ガウスの補題（英語版）の意味での原始多項式が得られる。この原始多項式の有理根は元の多項式と同じであり、可約条件だけが強められる。ガウスの補題によれば、ある多項式が有理係数の多項式 $ℚ[X]$ で因数分解できるなら、整係数の多項式 $ℤ[X]$ で因数分解することができ、原始多項式の積として表すことができる。

$ℚ[X]$ の 1 次の多項式が有理根 $p / q$ を持つとき、 $p, q$ は互いに素であるとして、その多項式の原始多項式は $qx - p$ となる。 $qx - p$ を因数とする整係数多項式 $ℤ[X]$ について、最高次の係数は $q$ で割り切れ、定数項は $p$ で割り切れるので、有理根定理が得られた。

この事はより一般に、多項式 $P$ の可約でない因数は整係数を持つことができ、その最高次の係数と定数項が、対応する $P$ の係数を割り切れることを示す。

例

例として、方程式

3x^{3}-5x^{2}+5x-2=0\,\!

のいずれの有理根も

\pm {\tfrac {1,2}{1,3}}\,,

に含まれなければならない。つまり、この方程式の根として可能なものは以下の 8 つである：

1,-1,2,-2,{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},-{\frac {2}{3}}\,.

これらの候補は例えばホーナー法によってテストすることができる。今回の場合、正しい有理根は 1 つだけある。根の候補が方程式を満たさないなら、それを使って残る候補のリストを短縮できる^[2]。例えば $x = 1$ は方程式を満たさず、方程式の左辺は $1$ になる。 $x = 1 + t$ という置き換えをすると定数項を $1$ とし、 $t 3$ の係数は $x 3$ の係数に等しい $t$ の多項式が得られる。有理根定理を適用すれば、 $t$ として可能な根は

t=\pm {\tfrac {1}{1,3}}

となる。従って、元の方程式の根の候補は次の通りである。

x=1+t=2,0,{\frac {4}{3}},{\frac {2}{3}}

こうして得られた候補のリストと以前のリストを比較して、両者に存在しない候補は除外することができる。結局、候補のリストは $x = 2, 2/3$ に短縮される。

もし方程式の根の 1 つ $r 1$ が発見されたなら、ホーナー法によって $n - 1$ 次の多項式の根が得られる。これらの根は、 $r 1$ とともに、元の多項式の正確な根になっている。また、いずれの候補も根でなかった場合、方程式は有理根を持たない。定数項 $a 0$ がゼロの方程式は有理根として $0$ を持つ。

脚注

^ D. Arnold, G. Arnold 1993, pp. 120–121.
^ King, Jeremy D. 2006, pp. 455–456.

参考文献

D. Arnold, G. Arnold (1993). Four unit mathematics. Edward Arnold. ISBN 0-340-54335-3
King, Jeremy D. (2006-11). “Integer roots of polynomials”. Mathematical Gazette 90.
Charles D. Miller, Margaret L. Lial, David I. Schneider: Fundamentals of College Algebra. Scott & Foresman/Little & Brown Higher Education, 3rd edition 1990, ISBN 0-673-38638-4, pp. 216–221
Phillip S. Jones, Jack D. Bedient: The historical roots of elementary mathematics. Dover Courier Publications 1998, ISBN 0-486-25563-8, pp. 116–117 (online copy, p. 116, - Google ブックス)
Ron Larson: Calculus: An Applied Approach. Cengage Learning 2007, ISBN 978-0-618-95825-2, pp. 23–24 (online copy, p. 23, - Google ブックス)