数学 における時間尺度微分積分学 （じかんしゃくどびぶんせきぶんがく、英 : time-scale calculus 微分積分学 と和分差分学 とを統一するもので、微分方程式 の理論と差分方程式 の理論とを統合した（連続と離散の入り混じった）力学系 の研究の方法論を提供する。時間尺度微分積分学は、離散および連続データを同時にモデリングすることが要求される任意の分野において応用を持つ。この分野における新たな微分の定義は、実数全体を引数とする函数に作用したとき通常の意味での微分 と同値になり、整数全体を引数とする函数に作用したとき前進差分 と同値となるようなものとして与えられる。
時間尺度微分積分学は、1988年にドイツの数学者シュテファン・ヒルゲル （英語版 ） [ 1] リーマン–スティルチェス積分 の導入にまで遡れる。
（連続的な）微分方程式に関する多くの結果は極めて容易に（離散的な）差分方程式の対応する結果に読み替えることができるが、それに当てはまらない差分方程式に関する結果はその連続版の対応物とは大きくかけ離れているように見える[ 2] 実数直線 の任意の閉部分集合である場合の、デルタ微分方程式に対する結果を証明することである。こうすることにより、得られた結果は（通常の連続的な結果を示す）実数全体 ℝ ℤ カントール集合 のような複雑な時間尺度に対しても適用できる。
そのような時間尺度上のデルタ微分法の中で最も知られた三種の例として、微分法 ・差分法 ・量子解析 を挙げることができる。Dynamic equations on a time scale have a potential for applications, such as in population dynamics . For example, they can model insect populations that evolve continuously while in season, die out in winter while their eggs are incubating or dormant, and then hatch in a new season, giving rise to a non–overlapping population.
時間尺度 あるいは測度鎖 (measure chain ) とは実数直線 ℝ 閉部分集合 のこととする。一般の時間尺度を表すのに 𝕋
時間尺度として最もよく遭遇するふたつが、実数全体 ℝ h ℤ
A single point in a time scale is defined as:
t
:
t
∈ ∈ -->
T
{\displaystyle t:t\in \mathbb {T} }
The forward jump, backward jump, and graininess operators on a discrete time scale 与えられた点 t に対して右または左にある最も近い時間尺度上の点を表す演算として「前方（前進）シフト」および「後方（後退）シフト」が定義される。式で書けば
前進シフト・前方跳躍:
σ σ -->
(
t
)
:=
inf
{
s
∈ ∈ -->
T
:
s
>
t
}
{\textstyle \sigma (t):=\inf\{s\in \mathbb {T} :s>t\}}
後退シフト・後方跳躍:
ρ ρ -->
(
t
)
:=
sup
{
s
∈ ∈ -->
T
:
s
<
t
}
{\textstyle \rho (t):=\sup\{s\in \mathbb {T} :s<t\}}
さらに、粒度 (graininess ) μ が、右方の最近接点への距離
μ μ -->
(
t
)
:=
σ σ -->
(
t
)
− − -->
t
{\displaystyle \mu (t):=\sigma (t)-t}
Several points on a time scale with different classifications: * Point
t
1
{\displaystyle t_{1}}
dense * Point
t
2
{\displaystyle t_{2}}
left dense and right scattered * Point
t
3
{\displaystyle t_{3}}
isolated * Point
t
4
{\displaystyle t_{4}}
left scattered and right dense 任意の点 t ∈ 𝕋
左稠密 (left dense ) であるとは ρ (t ) = t 右稠密 (right dense ) であるとは σ (t ) = t 左散在 (left scattered ) であるとは ρ (t ) < t 右散在 (right scattered ) であるとは σ (t ) > t 稠密 (dense ) であるとは左稠密かつ右稠密であるときに言う;孤立 (isolated ) しているとは左散在かつ右散在であるときに言う。
時間尺度の連続性は稠密性の同意語として再定義される。すなわち、時間尺度が点 t において右連続 であるとは、それが t において右稠密であることを言い、同様に左連続 であるとは左稠密 であることを言う。
時間尺度上の函数
f
: : -->
T
→ → -->
R
{\textstyle f\colon \mathbb {T} \to \mathbb {R} }
ℝ バナッハ空間 でよい）。
定義 (デルタ微分/ヒルゲル微分)
f のデルタ微分 が存在するとは、任意の ε > 0t の適当な近傍 U を選べば
|
f
(
σ σ -->
(
t
)
)
− − -->
f
(
s
)
− − -->
f
Δ Δ -->
(
t
)
(
σ σ -->
(
t
)
− − -->
s
)
|
≤ ≤ -->
ε ε -->
|
σ σ -->
(
t
)
− − -->
s
|
(
∀ ∀ -->
s
∈ ∈ -->
U
)
{\displaystyle |f(\sigma (t))-f(s)-f^{\Delta }(t)(\sigma (t)-s)|\leq \varepsilon |\sigma (t)-s|\qquad (\forall s\in U)}
𝕋 = ℝ σ (t ) = t μ (t ) = 0f Δ = f′ 微分積分学 で用いられる微分となる。𝕋 = ℤ 整数 全体）と取れば、σ (t ) = t + 1μ (t ) = 1f Δ = Δf 和分差分学 で用いられる前進差分 となる。
デルタ微分に関する反微分（不定積分）としてデルタ積分 が定義される。函数 F (t )f (t ) := F Δ (t )
∫ ∫ -->
r
s
f
(
t
)
Δ Δ -->
(
t
)
=
F
(
s
)
− − -->
F
(
r
)
{\displaystyle \int _{r}^{s}f(t)\Delta (t)=F(s)-F(r)}
ラプラス変換・z-変換
時間尺度上で定義された函数に対して、任意の時間尺度に対して同じ変換表を用いて、ラプラス変換 を定義することができる。時間尺度上のラプラス変換は時間尺度上のデルタ微分方程式を解くことに利用できる。時間尺度が非負整数全体であるとき、この変換は修正z変換
Z
′
{
x
[
z
]
}
=
Z
{
x
[
z
+
1
]
}
z
+
1
{\displaystyle {\mathcal {Z}}'\{x[z]\}={\frac {{\mathcal {Z}}\{x[z+1]\}}{z+1}}}
[ 2]
偏微分法
偏微分方程式 と偏差分方程式 （英語版 ） [ 3] [ 4] [ 5] 重積分
時間尺度上の重積分 は Bohner (2005) で扱われている[ 6]
確率デルタ微分方程式
確率微分方程式 と確率差分方程式は確率デルタ微分方程式に一般化される[ 7] 測度論
各時間尺度に対して自然な測度
μ μ -->
Δ Δ -->
(
A
)
:=
λ λ -->
(
ρ ρ -->
− − -->
1
(
A
)
)
{\displaystyle \mu ^{\Delta }(A):=\lambda (\rho ^{-1}(A))}
[ 8] [ 9] λ はルベーグ測度 で、ρ は ℝ ルベーグ–スティルチェス積分
∫ ∫ -->
r
s
f
(
t
)
Δ Δ -->
t
=
∫ ∫ -->
[
r
,
s
)
f
(
t
)
d
μ μ -->
Δ Δ -->
(
t
)
{\displaystyle \int _{r}^{s}f(t)\Delta t=\int _{[r,s)}f(t)d\mu ^{\Delta }(t)}
ラドン–ニコディム微分
f
Δ Δ -->
(
t
)
=
d
f
d
μ μ -->
Δ Δ -->
(
t
)
{\displaystyle f^{\Delta }(t)={\frac {df}{d\mu ^{\Delta }}}(t)}
[ 10]
超函数
ディラックのデルタ とクロネッカーのデルタ は、時間尺度上のヒルゲルのデルタ
δ δ -->
a
H
(
t
)
:=
{
1
μ μ -->
(
a
)
,
t
=
a
0
,
t
≠ ≠ -->
a
{\displaystyle \delta _{a}^{\mathbb {H} }(t):={\begin{cases}{\frac {1}{\mu (a)}},&t=a\\0,&t\neq a\end{cases}}}
[ 11] [ 12] 積分方程式
積分方程式 と和分方程式 （英語版 ） [ 13] 分数階微積分
時間尺度上の分数階微分積分学 は Bastos, Mozyrska & Torres (2010) が扱っている[ 14]
^ Hilger, Stefan (1998). Ein Maßkettenkalkül mit Anwendung auf Zentrumsmannigfaltigkeiten . Universität Würzburg. ^ a b Martin Bohner & Allan Peterson (2001). Dynamic Equations on Time Scales ISBN 978-0-8176-4225-9 . https://www.springer.com/west/home/birkhauser?SGWID=4-40290-22-2117582-0
^ Ahlbrandt, Calvin D.; Morian, Christina (2002). “Partial differential equations on time scales”. Journal of Computational and Applied Mathematics 141 : 35–55. Bibcode : 2002JCoAM.141...35A . doi :10.1016/S0377-0427(01)00434-4 . ^ Partial dynamic equations on time scales , B Jackson – Journal of Computational and Applied Mathematics, 2006^ Partial differentiation on time scales , M Bohner, GS Guseinov, Dynamic Systems and Applications 13 (2004) 351–379^ Bohner, M; Guseinov, GS (2005). “Multiple integration on time scales”. Dynamic Systems and Applications . ^ STOCHASTIC DYNAMIC EQUATIONS , SUMAN SANYAL, 2008^ Guseinov, GS (2003). “Integration on time scales”. J. Math. Anal. Appl. 285 : 107–127. doi :10.1016/S0022-247X(03)00361-5 . ^ Deniz, A (2007年). “Measure theory on time scales ” (PDF). 2011年8月20日時点のオリジナル よりアーカイブ。2018年11月15日 閲覧。 ^ Eckhardt, J; Teschl, G (2012). “On the connection between the Hilger and Radon–Nikodym derivatives”. J. Math. Anal. Appl. 385 : 1184–1189. arXiv :1102.2511 . doi :10.1016/j.jmaa.2011.07.041 . ^ The Laplace transform on time scales revisited , John M. Davis, Ian A. Gravagne , Billy J. Jackson ,
Robert J. Marks II , Alice A. Ramos, J. Math. Anal. Appl. 332 (2007) 1291–1307^ Bilateral Laplace Transforms on Time Scales: Convergence, Convolution, and the Characterization of Stationary Stochastic Time Series Archived 2011-07-14 at the Wayback Machine ., John M. Davis, Ian A. Gravagne and Robert J. Marks II^ Volterra integral equations on time scales: Basic qualitative and quantitative results with applications to initial value problems on unbounded domains Archived 2009-09-13 at the Wayback Machine ., Tomasia Kulik and Christopher C. Tisdell, 2007^ Bastos, Nuno R. O.; Mozyrska, Dorota; Torres, Delfim F. M.. Fractional Derivatives and Integrals on Time Scales via the Inverse Generalized Laplace Transform . arXiv :1012.1555 . Bibcode : 2010arXiv1012.1555B .
![{\displaystyle {\mathcal {Z}}'\{x[z]\}={\frac {{\mathcal {Z}}\{x[z+1]\}}{z+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0eff16581e442c4142fd193357778ff342911e5)
