数学 の一分野である函数解析学 において、ベクトル空間 の部分集合の代数的内部 （だいすうてきないぶ、英 : algebraic interior ）あるいは動径核 （radial kernel）は、集合の内部 を細緻化する概念である。与えられた集合の代数的内部とは、その集合に属する点であって、その点を原点としてもとの集合が併呑 となるような点、すなわちその集合の動径点 （英語版 ） [ 1] 内点 （internal points）と呼ばれる[ 2] [ 3]
具体的に、
X
{\displaystyle X}
線型空間 であるとき、
A
⊆ ⊆ -->
X
{\displaystyle A\subseteq X}
core
-->
(
A
)
:=
{
x
0
∈ ∈ -->
A
:
∀ ∀ -->
x
∈ ∈ -->
X
,
∃ ∃ -->
t
x
>
0
,
∀ ∀ -->
t
∈ ∈ -->
[
0
,
t
x
]
,
x
0
+
t
x
∈ ∈ -->
A
}
.
{\displaystyle \operatorname {core} (A):=\left\{x_{0}\in A:\forall x\in X,\,\exists t_{x}>0,\,\forall t\in [0,t_{x}],\,x_{0}+tx\in A\right\}.}
[ 4] 一般に
core
-->
(
A
)
≠ ≠ -->
core
-->
(
core
-->
(
A
)
)
{\displaystyle \operatorname {core} (A)\neq \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))}
A
{\displaystyle A}
凸集合 であるなら、
core
-->
(
A
)
=
core
-->
(
core
-->
(
A
)
)
{\displaystyle \operatorname {core} (A)=\operatorname {core} (\operatorname {core} (A))}
A
{\displaystyle A}
x
0
∈ ∈ -->
core
-->
(
A
)
,
y
∈ ∈ -->
A
,
0
<
λ λ -->
≤ ≤ -->
1
{\displaystyle x_{0}\in \operatorname {core} (A),y\in A,0<\lambda \leq 1}
λ λ -->
x
0
+
(
1
− − -->
λ λ -->
)
y
∈ ∈ -->
core
-->
(
A
)
{\displaystyle \lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {core} (A)}
A
⊂ ⊂ -->
R
2
{\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{2}}
A
=
{
x
∈ ∈ -->
R
2
:
x
2
≥ ≥ -->
x
1
2
or
x
2
≤ ≤ -->
0
}
{\displaystyle A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{ or }}x_{2}\leq 0\}}
0
∈ ∈ -->
core
-->
(
A
)
{\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A)}
0
∉
int
-->
(
A
)
{\displaystyle 0\not \in \operatorname {int} (A)}
0
∉
core
-->
(
core
-->
(
A
)
)
{\displaystyle 0\not \in \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))}
A
,
B
⊂ ⊂ -->
X
{\displaystyle A,B\subset X}
A
{\displaystyle A}
併呑集合 であるための必要十分条件は、
0
∈ ∈ -->
core
-->
(
A
)
{\displaystyle 0\in \operatorname {core} (A)}
[ 1]
A
+
core
-->
B
⊂ ⊂ -->
core
-->
(
A
+
B
)
{\displaystyle A+\operatorname {core} B\subset \operatorname {core} (A+B)}
[ 5]
B
=
core
-->
B
{\displaystyle B=\operatorname {core} B}
[ 5]
A
+
core
-->
B
=
core
-->
(
A
+
B
)
{\displaystyle A+\operatorname {core} B=\operatorname {core} (A+B)}
[ 5]
X
{\displaystyle X}
線型位相空間 とし、
int
{\displaystyle \operatorname {int} }
A
⊂ ⊂ -->
X
{\displaystyle A\subset X}
int
-->
A
⊆ ⊆ -->
core
-->
A
{\displaystyle \operatorname {int} A\subseteq \operatorname {core} A}
A
{\displaystyle A}
X
{\displaystyle X}
int
-->
A
=
core
-->
A
{\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A}
[ 2]
A
{\displaystyle A}
int
-->
A
=
core
-->
A
{\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A}
[ 6]
A
{\displaystyle A}
X
{\displaystyle X}
完備距離空間 であるなら、
int
-->
A
=
core
-->
A
{\displaystyle \operatorname {int} A=\operatorname {core} A}
[ 7]
^ a b Jaschke, Stefan; Kuchler, Uwe (2000). Coherent Risk Measures, Valuation Bounds, and (
μ μ -->
,
ρ ρ -->
{\displaystyle \mu ,\rho }
.
^ a b Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3 ed.). Springer. pp. 199–200. doi :10.1007/3-540-29587-9 . ISBN 978-3-540-32696-0
^ John Cook (May 21, 1988). “Separation of Convex Sets in Linear Topological Spaces ” (pdf). May 26, 2015 閲覧。 ^ Nikolaĭ Kapitonovich Nikolʹskiĭ (1992). Functional analysis I: linear functional analysis . Springer. ISBN 978-3-540-50584-6 ^ a b c Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces . River Edge, NJ,: World Scientific Publishing Co., Inc. pp. 2–3. ISBN 981-238-067-1 . MR 1921556
^ Shmuel Kantorovitz (2003). Introduction to Modern Analysis . Oxford University Press. p. 134. ISBN 9780198526568 ^ Bonnans, J. Frederic; Shapiro, Alexander (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems ISBN 9780387987057 , https://books.google.co.jp/books?id=ET70F9HgIpIC&pg=PA56&redir_esc=y&hl=ja
![{\displaystyle \operatorname {core} (A):=\left\{x_{0}\in A:\forall x\in X,\,\exists t_{x}>0,\,\forall t\in [0,t_{x}],\,x_{0}+tx\in A\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a4b959a5b717f4863814277e9a6e5afcd7a812)
