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ユークリッド幾何学において、フールマン円（ふーるまんえん、英語: Fuhrmann circle）は、ドイツの数学者、ヴィルヘルム・フールマンにちなんで名づけられた、ナーゲル点 $N$ と垂心 $H$ を直径の両端とする円である。またフールマン三角形の外接円でもある^[1]。フールマン円の中心は「Encyclopedia of Triangle Centers」においてX(355)として登録されている^[2]。

任意の三角形について、その辺長をそれぞれ a,b,c、内角をそれぞれ A,B,C、半周長をs、外接円の半径をR、内接円の半径をrとすると、フールマン円の半径 $R_{F}$ は

${\begin{aligned}R_{F}&={\sqrt {R(R-2r)}}\\&=R{\sqrt {3-2(\cos A+\cos B+\cos C)}}\\&=R{\sqrt {1-{\frac {8(s-a)(s-b)(s-c)}{abc}}}}\\&={\sqrt {{\frac {abc\,}{2s}}\left\{{\frac {abc\,}{8(s-a)(s-b)(s-c)}}-1\right\}}}\\\end{aligned}}$

である。これはオイラーの定理により、外心と内心の距離と等しい。

また、垂心でないほうの、各頂垂線とフールマン円との交点について、同一頂垂線上に在る各頂点との距離が内接円の直径と等しくなる。

フールマン円の中心と内心の中点は九点円の中心である^[3]。

一般化

$△ ABC$ について、その辺上にない点 $P$ の擬調和三角形を $△ A'B'C'$ とする。また、 $A',B',C'$ をそれぞれ $BC,CA,AB$ で鏡映した点を $P a,P b,P c$ とする。 $△P a P b P c$ （ $P$ フールマン三角形）の外接円を $P$ のヘギー円（ $P$ -Hagge circle）または $P$ のフールマン円（ $P$ -Fuhrmann circle）と言う^[4]^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]。名称はカール・ヘギーに由来する^[10]。 $P$ が内心のとき、ヘギー円はフールマン円となる。フールマン円と同様、ヘギー円は以下の性質を満たす^[11]。

ヘギー円は垂心を通る（First Hagge theorem^[12]）。
$P$ の等角共役点 $P*$ と $P$ のヘギー円の中心の中点は、九点円の中心である。
ヘギー円の半径は $P*$ と外心の距離に等しい。
垂心のヘギー円に対する対蹠点、重心、 $P*$ は共線である。

Christopher J Bradleyは対垂三角形を用いたヘギー円の一般化を発表している^[12]。

2020年、Vu Thanh Tungはさらなる一般化を示した^[13]。

点 $P,U$ に対して、 $AU,BC$ の交点を $A 0$ 、円 $PBC$ と直線 $AP$ の $P$ でない方の交点を $A 1$ 、直線 $A 0 A 1$ と円 $PBC$ の $A 1$ でない方の交点を $A 2$ とする。同様に $B 2, C 2$ も定義したとき、 $P, A 2, B 2, C 2$ は共円である。この円をVu Circleという。 $P$ を垂心とすれば、ヘギー円となる。