アルクビエレ・ドライブ （Alcubierre drive）は、メキシコ人の物理学者 ミゲル・アルクビエレ （英語版 ） [ 1] アインシュタイン方程式 の解を基にした空想的アイディアである。これによれば、もし負の質量 といったようなものが存在するなら、ワープ ないし超光速航法 が可能となる。
発表[ 2]
Alcubierreのワープ原理の直観的イメージ。 アルクビエレのアイデアは、直感的に表現すると船の後方で常に小規模なビッグバン を起こしつつ船の前方で常に小規模なビッグクランチ を生じさせ、光より速く船を押し流すような時空 の流れを生み出そうというシンプルかつダイナミックなものであった。川にボトルシップを浮かべ、進行させたい方向とは逆である船体後方水面に投石し、流していくようなイメージである。シャクトリムシ の移動イメージにも似ている。
これに対し1997年、タフツ大学 のMichael J. PfenningとL. H. Fordは「時空歪曲という工程が、宇宙にある全エネルギーの100億倍 のエネルギーを要すため現実ではワープ は理論上、実現不可能」という趣旨の論文[ 3]
しかしアルクビエレのワープドライブは数ある超光速航法に関する論文の中でも比較的現実味があり、原案が否定され他にも様々な問題点が見つかった今に至っても改良案や応用案がたびたび議論されている。
Alcubierreのワープドライブにおける時空の膨張と収縮。3次元空間が1枚の平面に圧縮され、面から上が時空の膨張、面から下が収縮を表す。円の中心に宇宙船が配置され、平面の手前の辺に沿って左から右にx軸方向を、奥へ向かう辺に沿ってρをそれぞれ取る。 1994年、アルクビエレは一般相対性理論 の記述形式の一つである3+1形式から出発し、『スタートレック』のワープ航法をヒントにして次のような形の計量（直感的に言えばこの場合は時空の歪み方 ）を考案した。
d
s
2
=
g
α α -->
β β -->
d
x
α α -->
d
x
β β -->
,
=
− − -->
d
t
2
+
[
d
x
− − -->
v
s
(
t
)
f
(
r
s
(
t
)
)
d
t
]
2
+
d
y
2
+
d
z
2
,
{\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta },\\&=-dt^{2}+\left[dx-v_{s}(t)f(r_{s}(t))dt\right]^{2}+dy^{2}+dz^{2},\\\end{aligned}}}
f
(
r
s
)
=
tanh
-->
(
σ σ -->
(
r
s
+
R
)
)
− − -->
tanh
-->
(
σ σ -->
(
r
s
− − -->
R
)
)
2
tanh
-->
(
σ σ -->
R
)
,
{\displaystyle f(r_{s})={\frac {\tanh \left(\sigma (r_{s}+R)\right)-\tanh \left(\sigma (r_{s}-R)\right)}{2\tanh(\sigma R)}},}
r
s
(
t
)
=
(
x
− − -->
x
s
(
t
)
)
2
+
y
2
+
z
2
.
{\displaystyle r_{s}(t)={\sqrt {(x-x_{s}(t))^{2}+y^{2}+z^{2}}}.}
ここにおいて
x
s
(
t
)
{\displaystyle x_{s}(t)\,}
r
s
(
t
)
{\displaystyle r_{s}(t)\,}
v
s
(
t
)
=
d
x
s
(
t
)
/
d
t
{\displaystyle v_{s}(t)=dx_{s}(t)/dt\,}
R
{\displaystyle R\,}
f
(
r
s
(
t
)
)
{\displaystyle f(r_{s}(t))\,}
σ σ -->
{\displaystyle \sigma \,}
G
=
c
=
1
{\displaystyle G=c=1\,}
幾何学単位系 を用いて記述されている。
なお、
f
(
r
s
(
t
)
)
{\displaystyle f(r_{s}(t))\,}
タイムマシン ができてしまわないように双曲線関数 が選ばれたに過ぎず、基本的には以下の条件
lim
σ σ -->
→ → -->
∞ ∞ -->
f
(
r
s
(
t
)
)
=
{
1
,
for
r
s
∈ ∈ -->
[
− − -->
R
,
R
]
,
0
,
otherwise
,
{\displaystyle \lim _{\sigma \rightarrow \infty }f(r_{s}(t))={\begin{cases}1,&{\mbox{for}}\quad r_{s}\in [-R,R],\\0,&{\mbox{otherwise}},\end{cases}}}
のように、大きな
σ σ -->
{\displaystyle \sigma \,}
d
x
μ μ -->
d
t
=
u
μ μ -->
=
(
1
,
v
s
(
t
)
f
(
r
s
(
t
)
)
,
0
,
0
)
,
u
μ μ -->
=
(
− − -->
1
,
0
,
0
,
0
)
.
{\displaystyle {\frac {dx^{\mu }}{dt}}=u^{\mu }=(1,v_{s}(t)f(r_{s}(t)),0,0),\quad u_{\mu }=(-1,0,0,0).}
そしてこの計量は以下のような非常に面白い性質を持つ。
一見すると、ワームホールのような特殊な時空構造を導入することなく通常の自然な時空に局所的かつシンプルな変更を加えるだけで作成できる。
宇宙船の固有時間
τ τ -->
{\displaystyle \tau \,}
ミンコフスキー計量 にいる観測者の時間
t
{\displaystyle t\,}
d
τ τ -->
=
d
t
{\displaystyle d\tau =dt\,}
加速していない 状態が保たれる。
宇宙船から一定以上離れた後方の空間が極端に膨張し、前方の空間が極端に収縮するような時空が形成される。これがこのワープによる移動の原理であり、宇宙論において宇宙の膨張は光速を超えることが許される 特殊な時空の波 に乗せてサーフィン をさせるような原理である。
PfenningとFordの更なる考察によると、バブル中の
f
(
r
s
(
t
)
)
≠ ≠ -->
1
{\displaystyle f(r_{s}(t))\neq 1\,}
ρ ρ -->
=
y
2
+
z
2
{\displaystyle \rho ={\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\,}
バブルの後方へ押し流しバブルの外へはじき出してしまおうとする圧力が生じる 。また、バブルの外に静止している観測者から見るとバブルに隕石などが衝突した場合、バブルの前面でバブルの移動スピードと同じ速度まで加速されバブルの後面で衝突前と同じ速度まで減速されるため、衝突物体はワープバブルに捕獲された間だけの距離を移動するが衝突の前後で運動量は変化しない （ただしバブル表面の時空変化は非常に過激であるので、衝突物体はブラックホール に吸い込まれた時のように潮汐力で粉砕される。すなわち、宇宙船はワープエンジンも含めなるべくバブルの中心に収まるよう設計されねば破壊されてしまう ）。 静止観測者から見たこの計量を発生させるために必要なエネルギーは、上記の4元速度とアインシュタイン方程式 を用いて以下のように計算される。
⟨ ⟨ -->
T
μ μ -->
ν ν -->
u
μ μ -->
u
ν ν -->
⟩ ⟩ -->
=
⟨ ⟨ -->
T
00
⟩ ⟩ -->
=
1
8
π π -->
G
00
=
− − -->
1
8
π π -->
v
s
2
(
t
)
ρ ρ -->
2
4
r
s
2
(
t
)
(
d
f
(
r
s
)
d
r
s
)
2
.
{\displaystyle \langle T^{\mu \nu }u_{\mu }u_{\nu }\rangle =\langle T^{00}\rangle ={\frac {1}{8\pi }}G^{00}=-{\frac {1}{8\pi }}{\frac {v_{s}^{2}(t)\rho ^{2}}{4r_{s}^{2}(t)}}\left({\frac {df(r_{s})}{dr_{s}}}\right)^{2}.}
これはすなわち、通常のエネルギーではありえない負のエネルギー密度である。イメージしやすく換言すれば反発力的な重力を帯びたマイナスの質量である。また、表式中に
ρ ρ -->
{\displaystyle \rho \,}
PfenningとFordの考察に基づくバブル上におけるエネルギー密度分布の3次元的な概観。バブルの両極を貫くようにx軸が通っている。バブルは非常に薄いことから密度分布を色で表し、色が濃いほど負のエネルギーの密度は大きい。 PfenningとFordが近似したワープバブルの概形。これはバブル内に静止した観測者から見た場合であり、バブルの外部に制止している観測者はobserver's pathに沿ってバブルを通過する。 PfenningとFordは量子力学的な制限を考慮に入れつつ上記のエネルギーの数値計算を行った。Pfenning達はまず「弱いエネルギー条件の破れが大きい（大きな負のエネルギーが発生する）ほど、観測者がそれを観測する時間 (sampling time) が短くなる」というQuantum Inequality (QI) と呼ばれる条件（つまり一種の不確定性原理 ）からワープバブルの厚み
Δ Δ -->
{\displaystyle \Delta \,}
f
(
r
s
(
t
)
)
{\displaystyle f(r_{s}(t))\,}
f
p
.
c
.
(
r
s
)
=
{
1
,
r
s
<
R
− − -->
Δ Δ -->
2
,
− − -->
1
Δ Δ -->
(
r
s
− − -->
R
− − -->
Δ Δ -->
2
)
R
− − -->
Δ Δ -->
2
<
r
s
<
R
+
Δ Δ -->
2
,
0
,
r
s
>
R
+
Δ Δ -->
2
,
{\displaystyle f_{p.c.}(r_{s})={\begin{cases}1,&r_{s}<R-{\Delta \over 2},\\{-1 \over \Delta }(r_{s}-R-{\Delta \over 2})&R-{\Delta \over 2}<r_{s}<R+{\Delta \over 2},\\0,&r_{s}>R+{\Delta \over 2},\end{cases}}}
この近似、およびsampling time中はワープバブルの移動速度を等速度
v
s
(
t
)
≈ ≈ -->
v
b
{\displaystyle v_{s}(t)\approx v_{b}\,}
t
0
{\displaystyle t_{0}\,}
t
0
=
α α -->
2
Δ Δ -->
3
v
b
,
0
<
α α -->
≪ ≪ -->
1.
{\displaystyle t_{0}=\alpha {\frac {2\Delta }{{\sqrt {3}}v_{b}}},\quad 0<\alpha \ll 1.}
ここで
α α -->
{\displaystyle \alpha \,}
t
0
{\displaystyle t_{0}\,}
Δ Δ -->
{\displaystyle \Delta \,}
Δ Δ -->
≤ ≤ -->
3
4
3
π π -->
v
b
α α -->
2
.
{\displaystyle \Delta \leq {3 \over 4}{\sqrt {3 \over \pi }}{v_{b} \over \alpha ^{2}}.}
ここで、たとえば
α α -->
=
1
/
10
{\displaystyle \alpha =1/10\,}
プランク長 を
L
P
l
a
n
c
k
{\displaystyle L_{Planck}\,}
Δ Δ -->
≤ ≤ -->
10
2
v
b
L
P
l
a
n
c
k
.
{\displaystyle \Delta \leq 10^{2}v_{b}L_{Planck}.}
すなわち、ワープバブルの壁はきわめて薄くなければならないと予想される。厚みに関する条件がわかったので、この条件を用いて
f
p
.
c
.
(
r
s
)
{\displaystyle f_{p.c.}(r_{s})\,}
E
{\displaystyle E\,}
x
s
(
t
)
=
v
b
t
{\displaystyle x_{s}(t)=v_{b}t\,}
t
=
0
{\displaystyle t=0\,}
E
=
∫ ∫ -->
d
x
3
|
g
|
⟨ ⟨ -->
T
00
⟩ ⟩ -->
,
=
− − -->
1
12
v
b
2
∫ ∫ -->
R
− − -->
Δ Δ -->
2
R
+
Δ Δ -->
2
r
2
(
− − -->
1
Δ Δ -->
)
2
d
r
,
=
− − -->
1
12
v
b
2
(
R
2
Δ Δ -->
+
Δ Δ -->
12
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}E&=\int dx^{3}{\sqrt {|g|}}\langle T^{00}\rangle ,\\&=-{1 \over 12}v_{b}^{2}\int _{R-{\Delta \over 2}}^{R+{\Delta \over 2}}r^{2}\left({-1 \over \Delta }\right)^{2}dr,\\&=-{1 \over 12}v_{b}^{2}\left({R^{2} \over \Delta }+{\Delta \over 12}\right).\end{aligned}}}
なお、
r
s
=
r
{\displaystyle r_{s}=r\,}
g
=
Det
|
g
i
j
|
{\displaystyle g={\mbox{Det}}|g_{ij}|\,}
R
=
100
m
{\displaystyle R=100\ m\,}
E
≤ ≤ -->
− − -->
6.2
× × -->
10
70
v
b
L
P
l
a
n
c
k
∼ ∼ -->
− − -->
6.2
× × -->
10
62
v
b
kg
.
{\displaystyle E\leq -6.2\times 10^{70}v_{b}L_{Planck}\sim -6.2\times 10^{62}v_{b}\ {\mbox{kg}}.}
我々の住む天の川銀河の質量
M
g
a
l
a
x
y
=
2
× × -->
10
42
kg
{\displaystyle M_{galaxy}=2\times 10^{42}\ {\mbox{kg}}\,}
E
≤ ≤ -->
− − -->
3
× × -->
10
20
M
g
a
l
a
x
y
v
b
{\displaystyle E\leq -3\times 10^{20}M_{galaxy}v_{b}}
と記述され、
v
b
∼ ∼ -->
1
{\displaystyle v_{b}\sim 1\,}
光速度で飛行するために必要なエネルギー（の絶対値）は現在観測されうる全宇宙に存在するエネルギー の
10
10
{\displaystyle 10^{10}\,}
と結論付けられる。一般相対性理論的に考えて現在の宇宙でビッグバンのような過激な時空変化を生じさせたければビッグバンを遥かに超えるエネルギーが必要 と言う結果である。
Pfenning達はこの計算を行った締めくくりに、もし何らかの方法でQI条件を回避しバブルの厚みを1メートルにまでできるなら太陽質量 の4分の1のエネルギーで、またワープバブルの半径を原子より小さいスケール、たとえば電子1個のコンプトン波長 にまで縮小すれば太陽質量の400倍程度にまで削減することが可能であろうと述べている。物理の基本法則を打ち破るかあまりに非実用的な大きさにするかしなければ実現できない（つまり不可能）というわけだ。
Van Den Broeckが考案したワープバブルの概形。図中のパラメータはバブルの外から見たスケールで計測されている。外側の円はこれまでと同じアルクビエレのワープバブルであり、内側の円が新たなバブルである。内側の円は一種のポケットになっており、外から見た大きさに対してその内部は極度に膨張している。 そこで、バブルのスケールを小さくすることに着目して必要エネルギーの削減を考案したのがChris Van Den Broeckである。彼はアルクビエレの考案した計量に以下のようなわずかな修正を加えた[ 4]
d
s
2
=
− − -->
d
t
2
+
B
2
(
r
s
)
[
(
d
x
− − -->
v
s
(
t
)
f
(
r
s
(
t
)
)
d
t
)
2
+
d
y
2
+
d
z
2
]
.
{\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+B^{2}(r_{s})\left[\left(dx-v_{s}(t)f(r_{s}(t))dt\right)^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right].}
ここで
B
(
r
s
)
{\displaystyle B(r_{s})\,}
B
(
r
s
)
=
1
+
α α -->
for
r
s
<
R
~ ~ -->
,
1
<
B
(
r
s
)
≤ ≤ -->
1
+
α α -->
for
R
~ ~ -->
≤ ≤ -->
r
s
<
R
~ ~ -->
+
Δ Δ -->
~ ~ -->
,
B
(
r
s
)
=
1
for
R
~ ~ -->
+
Δ Δ -->
~ ~ -->
≤ ≤ -->
r
s
.
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}\qquad B(r_{s})=1+\alpha &{\mbox{for}}&r_{s}<{\tilde {R}},\\1<B(r_{s})\leq 1+\alpha &{\mbox{for}}&{\tilde {R}}\leq r_{s}<{\tilde {R}}+{\tilde {\Delta }},\\\qquad B(r_{s})=1&{\mbox{for}}&{\tilde {R}}+{\tilde {\Delta }}\leq r_{s}.\end{array}}}
ここでの
α α -->
{\displaystyle \alpha \,}
R
~ ~ -->
{\displaystyle {\tilde {R}}\,}
B
(
r
s
)
{\displaystyle B(r_{s})\,}
Δ Δ -->
~ ~ -->
{\displaystyle {\tilde {\Delta }}\,}
R
>
R
~ ~ -->
+
Δ Δ -->
~ ~ -->
{\displaystyle R>{\tilde {R}}+{\tilde {\Delta }}\,}
f
(
r
s
)
=
1
for
r
s
<
R
,
0
<
f
(
r
s
)
≤ ≤ -->
1
for
R
≤ ≤ -->
r
s
<
R
+
Δ Δ -->
,
f
(
r
s
)
=
0
for
R
+
Δ Δ -->
≤ ≤ -->
r
s
,
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}f(r_{s})=1&{\mbox{for}}&r_{s}<R,\\0<f(r_{s})\leq 1&{\mbox{for}}&R\leq r_{s}<R+\Delta ,\\f(r_{s})=0&{\mbox{for}}&R+\Delta \leq r_{s},\end{array}}}
が形成されている。ただし今回のワープバブルでは
R
{\displaystyle R\,}
B
(
r
s
)
{\displaystyle B(r_{s})\,}
四次元ポケット を思い浮かべると非常に分かりやすいであろう。アルクビエレのワープバブルはその内側にいかなるものがあろうとも、バブルを形成する時空の歪みに大きく干渉しない限り時空ごと切り取ってスライドさせてしまうので、このようなことも可能なのである。ここで、Phenning達が計算した厚み
Δ Δ -->
{\displaystyle \Delta \,}
B
{\displaystyle B\,}
B
=
α α -->
(
− − -->
(
n
− − -->
1
)
w
n
+
n
w
n
− − -->
1
)
+
1
,
w
=
R
~ ~ -->
+
Δ Δ -->
~ ~ -->
− − -->
r
Δ Δ -->
~ ~ -->
.
{\displaystyle B=\alpha (-(n-1)w^{n}+nw^{n-1})+1,\quad w={\frac {{\tilde {R}}+{\tilde {\Delta }}-r}{\tilde {\Delta }}}.}
今回の仮定では
n
=
80
{\displaystyle n=80\,}
α α -->
=
10
17
,
Δ Δ -->
~ ~ -->
=
10
− − -->
15
m
,
R
~ ~ -->
=
10
− − -->
15
m
,
R
=
3
× × -->
10
− − -->
15
m
.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}\alpha &=&10^{17},\\{\tilde {\Delta }}&=&10^{-15}\ m,\\{\tilde {R}}&=&10^{-15}\ m,\\R&=&3\times 10^{-15}\ m.\end{array}}}
この
R
{\displaystyle R\,}
電子の古典半径 ほどの大きさである。また、このような値を設定すると内側のバブル内の体積は半径
100
m
{\displaystyle 100\ m\,}
E
o
u
t
≃ ≃ -->
− − -->
6.3
× × -->
10
29
v
b
kg
{\displaystyle E_{out}\simeq -6.3\times 10^{29}v_{b}\ {\mbox{kg}}}
また、内側のバブルのエネルギーは
w
{\displaystyle w\,}
w
>
0.981
{\displaystyle w>0.981\,}
0
≤ ≤ -->
w
≤ ≤ -->
0.981
{\displaystyle 0\leq w\leq 0.981\,}
E
i
n
,
+
=
4.9
× × -->
10
30
kg
,
E
i
n
,
− − -->
=
− − -->
1.4
× × -->
10
30
kg
.
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}E_{in,+}&=&4.9\times 10^{30}\ {\mbox{kg}},\\E_{in,-}&=&-1.4\times 10^{30}\ {\mbox{kg}}.\end{array}}}
したがって、これらの総エネルギーはバブルが光速度で移動しているとしても高々太陽質量の数倍程度 に抑えられる。また、これらの設定はQI条件も満たしており、計算上はまだワープバブルが実現できる可能性が残ったと言えたわけである。ただし、大きな空間の外側を絞って見かけの大きさを縮めたわけではなく極微な空間の内側を大きく広げたため、その中に入る方法は考慮されていないし、Van Den Broeckも論文内で言及しているが、これらの莫大なエネルギーをエネルギー密度として 空間上に配置せねばならず、負のエネルギーの実用化が可能になったとしても果たしてそのような莫大なエネルギーの生成、集中が可能なのかと言うことには疑問が多く残っている。そしてそもそも、負のエネルギー自体がカシミール効果 やダークエネルギー という形でしか物理学の領域に登場してこず、現在の見通しとして具体的に取り出すことが不可能であろうと予想されるエネルギーなのである。
Van Den Broeckが示したようにエネルギー問題は計量の表式を改良することでクリアされる可能性が残されているが、ワープはその他にも様々な問題を抱えている。
まず、ワープバブルの作成方法が明確ではない。ここまでの議論はあくまでワープに必要な計量を先に仮定してそれが現実に存在し維持されるために必要なエネルギー量とエネルギー分布を一般相対性理論を用いて算出したに過ぎず、具体的にどうすればこのような特殊な形状の時空を作成できるのかには言及されていない。
次に、このようなワープバブルは内側から操作することはできない。超光速で移動するワープバブルの外部に制御装置を配置するならばその制御装置はミンコフスキー計量中を超光速で移動することになるし、そもそもD. H. Couleが指摘[ 5]
f
(
r
s
(
t
)
)
≠ ≠ -->
1
{\displaystyle f(r_{s}(t))\neq 1\,}
[ 6] 事象の地平面 のような因果的に隔絶された超曲面が形成され、いずれにせよタキオン のようなミンコフスキー計量中で超光速を実現する相互作用でなければ影響を及ぼせないという問題が待ち構えている。そこから導かれる結論として、ワープバブルの移動に先行してバブル前方の時空を書き換える一般相対性理論的な時空の変化は膨張にせよ収縮にせよ歪みの無いミンコフスキー計量を光速度で伝播する重力波 によって行われるため、バブルの移動が光速を超えるとバブルの前面に時空の変化を及ぼすことができなくなり、ワープバブルを用いても加速は光速で頭打ちになってしまう 。ワープする計量もまた時空を伝わる波なのだから、音波 が超音速 で伝わらないように波が伝播する背景の時空 の伝播速度は超えられないというわけだ。速い バブルの内部と光速が遅い その外部との接続が滑らかでない不連続面（衝撃波 面）を生み出す可能性が残るため、バブル前面に関する考察を簡単に切って捨てるべきではないと言う指摘もあり[ 7] ホーキング放射 のようにバブル外へのトンネル効果 的なしみ出しを生じさせ、超光速的なバブル作成を実現する可能性もまだ残されてはいる。また、もしかしたらこれもバブル前面の時空の接続方法を上手く取ることで解決されるかもしれない。最も致命的な問題 である。これらの問題が指摘されて以後、Van Den Broeckはアルクビエレ・ドライブについていくぶん否定的な立場に回っている[ 8] [ 9]
また、因果律 的な問題も残っている。前述のようにアルクビエレが選択した計量の形は因果律が閉じないように配慮されているが、計量の作り方においては因果律が閉じるような計量の設定も計算上は制限されない。仮にもっと効率的なバブル型の計量やワームホール型などの他の超光速的移動を可能とする実用的計量が考案されたとしても、それを用いた出発点との往復経路に慣性加速などの多少の変更を加えることで因果律が閉じ、ワープ宇宙船がタイムマシン と化してしまう場合は「親殺しの問題 」などの因果律を根底から覆しかねない物理学的に非常に好ましくない問題が生じてくる。もしも物理学的にタイムトラベル が実現するのであればその時はその時で現実に観測される結果に従うことになるのだが、しかし現状ではこのような因果律が混乱する事態はまず有り得ないと見られており、しかもタイムトラベルという結果を導くような計量は不安定ですぐに破壊されてしまうものが多く、ワープ計量を設計する上ではこのような結果を内包する要素は排除することが望ましい。
以上のような問題は、「エネルギーを配置してからその周りの時空変化を算出する」というアインシュタイン方程式の適正な解き方を、「このような時空を仮定すればエネルギーはこうなり因果はこうなる」と筋道だててある意味誤った方向に 解いたために生じたものである。すなわちこれら種々の問題が解決されるべき保証は無く、全く筋違いのことを議論している可能性すらある。地に足が着いていない所から理論が展開されている以上、全てが誤りである可能性も常に心に留め置かねばならない。
先述のように一般相対性理論的なワープは宇宙船を取り囲む局所的な計量が進行方向へシフト すれば達成されるため、そのような結論を得られるのであればアルクビエレが考案したような計量に拘る必要はない。そのようなバブル計量として、たとえばJose Natarioが発表したものがある[ 10]
また、ワープバブルの考案において場の量子論 を用いた新しい試みも為されている。それが2007年にRichard ObousyとGerald Cleaverによって発表された論文[ 11] M理論 などの一般相対性理論を高次元に拡張したカルツァ＝クライン理論 の表記形式から計算されたカシミール効果から定まる真空のエネルギー
⟨ ⟨ -->
E
v
a
c
⟩ ⟩ -->
{\displaystyle \langle E_{vac}\rangle \,}
宇宙定数
Λ Λ -->
{\displaystyle \Lambda \,}
超弦理論 に登場するミクロにコンパクト化された余剰次元の半径
R
e
x
t
r
a
{\displaystyle R_{extra}\,}
Λ Λ -->
{\displaystyle \Lambda \,}
⟨ ⟨ -->
E
v
a
c
⟩ ⟩ -->
=
− − -->
π π -->
2
R
e
x
t
r
a
4
[
(
2
+
n
)
(
3
+
n
)
2
− − -->
1
]
[
ζ ζ -->
(
0
)
]
n
− − -->
1
ζ ζ -->
′ ′ -->
(
4
)
,
{\displaystyle \langle E_{vac}\rangle =-{\frac {\pi ^{2}}{R_{extra}^{4}}}\left[{\frac {(2+n)(3+n)}{2}}-1\right][\zeta (0)]^{n-1}\zeta ^{\prime }(4),}
⟨ ⟨ -->
E
v
a
c
⟩ ⟩ -->
=
Λ Λ -->
∝ ∝ -->
1
R
e
x
t
r
a
4
.
{\displaystyle \langle E_{vac}\rangle =\Lambda \propto {\frac {1}{R_{extra}^{4}}}.}
n
{\displaystyle n\,}
ζ ζ -->
{\displaystyle \zeta \,}
ゼータ関数 である。ここで更に宇宙膨張の尺度を与えるハッブル定数
H
{\displaystyle H\,}
H
∝ ∝ -->
Λ Λ -->
,
{\displaystyle H\propto {\sqrt {\Lambda }},}
H
∝ ∝ -->
1
R
e
x
t
r
a
2
.
{\displaystyle H\propto {\frac {1}{R_{extra}^{2}}}.}
つまり、余剰次元の半径を何らかのメカニズムを用いて変化させることができれば局所的にハッブル定数を変化させることが数式上は可能である。この関係から
R
e
x
t
r
a
{\displaystyle R_{extra}\,}
H
{\displaystyle H\,}
Λ Λ -->
{\displaystyle \Lambda \,}
Λ Λ -->
c
=
10
42
J
/
m
3
{\displaystyle \Lambda _{c}=10^{42}\ J/m^{3}\,}
10
m
{\displaystyle 10\ m\,}
V
c
r
a
f
t
=
1000
m
3
{\displaystyle V_{craft}=1000\ m^{3}\,}
E
c
=
10
45
J
{\displaystyle E_{c}=10^{45}\ J\,}
100
m
{\displaystyle 100\ m\,}
R
e
x
t
r
a
{\displaystyle R_{extra}\,}
R
e
x
t
r
a
{\displaystyle R_{extra}\,}
10
32
{\displaystyle 10^{32}\,}
10
− − -->
15
{\displaystyle 10^{-15}\,}
10
99
kg
{\displaystyle 10^{99}\ {\mbox{kg}}\,}
^ カタカナ音記はWIRED.JPの記事「光速での宇宙旅行が可能に？」 による
^ Miguel Alcubierre, "The warp drive: hyper-fast travel within general relativity" Class.Quant.Grav. 11 (1994) L73-L77
^ Michael J. Pfenning, L.H. Ford, 'The unphysical nature of "Warp Drive"' Class.Quant.Grav. 14 (1997) 1743-1751
^ Chris Van Den Broeck, "A `warp drive' with more reasonable total energy requirements" Class.Quant.Grav. 16 (1999) 3973-3979
^ D. H. Coule, "No warp drive," Class. Quantum Grav. 15 2523-2527 (1998)
^ Robert J Low, "Speed Limits in General Relativity" Class.Quant.Grav. 16 (1999) 543-549
^ Eric Baird, "Warp drives, wavefronts and superluminality"
^ Chris Van Den Broeck, "On the (im)possibility of warp bubbles"(1999)
^ Star Trek warp drive is a possibility, say scientists - Telegraph ^ Jose Natario, "Warp Drive With Zero Expansion"Class.Quant.Grav. 19 (2002) 1157-1166
^ Richard Obousy, Gerald Cleaver, "Warp Drive: A New Approach"(2007)
![{\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&=g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta },\\&=-dt^{2}+\left[dx-v_{s}(t)f(r_{s}(t))dt\right]^{2}+dy^{2}+dz^{2},\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e59c976b7ac8fe35c768c07419a037671feb9d4f)
![{\displaystyle \lim _{\sigma \rightarrow \infty }f(r_{s}(t))={\begin{cases}1,&{\mbox{for}}\quad r_{s}\in [-R,R],\\0,&{\mbox{otherwise}},\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf3474ec367b48c53aa9c02553b363d802bd66cd)
![{\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+B^{2}(r_{s})\left[\left(dx-v_{s}(t)f(r_{s}(t))dt\right)^{2}+dy^{2}+dz^{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/632d34b4d0281c17c1b906abc956c1da1cfcb2a2)
![{\displaystyle \langle E_{vac}\rangle =-{\frac {\pi ^{2}}{R_{extra}^{4}}}\left[{\frac {(2+n)(3+n)}{2}}-1\right][\zeta (0)]^{n-1}\zeta ^{\prime }(4),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbe97034b50fd933be7b13cb91fd0fdaf88fb203)
