Dopo aver brillato nelle categorie giovanili nella Polisportiva Fiuggi, giunge tra gli Juniores nel 2005 con il G.S. Borgonuovo Milior Fiuggi, affiliazione laziale di una squadra giovanile toscana, il G.S. Borgonuovo Milior di Prato. Nei due anni da Junior vince dodici corse, tre al primo anno e nove al secondo.
2006-2011: i successi da Under-23 e i primi due anni di professionismo
Nel 2010 passa professionista con la Colnago-CSF Inox di Bruno Reverberi[3]; già nel maggio di quell'anno fa il suo esordio al Giro d'Italia, piazzandosi 120º nella classifica generale finale. Nel 2011 inizia bene la stagione vincendo la classifica scalatori al Giro della Provincia di Reggio Calabria; partecipa poi al Giro di Sardegna, alla Settimana Internazionale di Coppi e Bartali – ottenendo il terzo posto nella classifica finale (è infatti secondo nella terzultima tappa) – e al Giro del Trentino, nel quale si aggiudica la maglia bianca di miglior giovane. In maggio è al Giro d'Italia: durante la "Corsa Rosa" si mette più volte in mostra, soprattutto nella tappa con arrivo a Montevergine, quando viene ripreso dal gruppo a 600 metri dalla conclusione.
Nel 2015 è secondo al Giro dell'Appennino, battuto dal solo Omar Fraile; l'anno dopo si aggiudica la quarta e ultima tappa della Settimana Internazionale di Coppi e Bartali, e nella sua città viene organizzato il Primo Trofeo Città di Fiuggi "Stefano Pirazzi" riservato alla categoria Giovanissimi.
Dal 2017: la positività, la squalifica e il rientro
Il 4 maggio 2017 viene comunicato che, durante un controllo antidoping effettuato il 25 e 26 aprile precedente, Pirazzi è stato trovato positivo al GHRPs (un ormone peptide) insieme al compagno di squadra Nicola Ruffoni; per questo motivo il ciclista viene subito allontanato dalla sua squadra e dal Giro d'Italia 2017, cui avrebbe dovuto partecipare dal 5 al 28 maggio 2017.[6] Il 19 maggio, in seguito alla conferma delle controanalisi, viene licenziato dal team.[7] Il 3 ottobre 2017 il Tribunale Nazionale Antidoping gli infligge una squalifica di 4 anni, fino al 3 maggio 2021.[1]
Nell'aprile 2021 viene ingaggiato dalla Amore & Vita, formazione Continental italiana (con licenza ucraina) di Ivano Fanini, con cui riprende a gareggiare dopo il termine della squalifica il 3 maggio successivo.[8]