Salvadori cominciò la carriera nel 1947. Dopo aver ottenuto diversi successi con vetture sport, nel 1952 fece il suo debutto in Formula 1. Dal 1954 al 1956 guidò una Maserati 250F per il team Gilby Engineering Ltd. di Sydney Greene, ottenendo svariati successi nelle gare extra campionato. Con il passaggio alla Cooper ottenne i primi punti mondiali con un quinto posto al Gran Premio di Gran Bretagna 1957. I migliori risultati li ottenne nel 1958, quando giunse due volte sul podio e quarto in campionato. Si ritirò dalla Formula 1 nel 1962 e pochi anni più tardi pure dagli sport prototipi.
Divenne poi team manager della Cooper nel biennio 1966-1967, ritirandosi dall'attività dopo il Gran Premio di Monaco.
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