In analisi matematica, il metodo di variazione delle costanti o metodo di Lagrange è una procedura generale che consente di determinare l'integrale generale di un'equazione differenziale lineare di qualunque ordine e qualunque sia la funzione continua ${\displaystyle f(t)}$ che costituisce il termine noto. Questo metodo risulta applicabile laddove si riescano a determinare n soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea associata e delle primitive di opportune funzioni che forniscono la soluzione di un sistema.

Il metodo è qui illustrato inizialmente per equazioni del primo e del secondo ordine, e quindi generalizzato a equazioni di ordine n arbitrario. La variabile da cui dipende la funzione incognita ${\displaystyle y}$ è chiamata in tutti gli esempi ${\displaystyle t}$.

Una equazione differenziale lineare del primo ordine in forma normale è del tipo:

${\displaystyle y'(t)+a(t)y(t)=f(t)}$.

Il metodo di variazione delle costanti consiste nella ricerca di soluzioni del tipo:

${\displaystyle \displaystyle {\tilde {y}}(t)=c(t)e^{-A(t)}}$.

Tale forma è suggerita dalla soluzione ${\displaystyle y_{o}(t)}$ dell'equazione omogenea associata:

${\displaystyle y'(t)+a(t)y(t)=0}$

che, per separazione delle variabili, si ottiene essere nella forma:

${\displaystyle y_{o}(t)=Ce^{-A(t)}}$,

dove ${\displaystyle A(t)}$ è una primitiva di ${\displaystyle a(t)}$ e ${\displaystyle C}$ è una costante arbitraria. Il motivo per cui il metodo si chiama così è dovuto al fatto che, per la soluzione dell'equazione completa, la costante ${\displaystyle C}$ viene trasformata in una funzione del tempo ${\displaystyle c(t)}$ da determinare.

Il metodo consiste essenzialmente nella sostituzione di ${\displaystyle {\tilde {y}}(t)}$ nell'equazione differenziale originaria. Per effettuare la sostituzione, è necessario calcolare innanzitutto la derivata prima, usando la regola di Leibniz:

${\displaystyle {\tilde {y}}'(t)=c'(t)y(t)+c(t)y'(t)}$

Sostituendo quanto appena ricavato nell'equazione di partenza si ottiene:

${\displaystyle c'(t)y(t)+c(t)y'(t)+a(t){\tilde {y}}=f(t)}$,

da cui, sostituendo:

${\displaystyle c'(t)e^{-A(t)}-c(t)a(t)e^{-A(t)}+c(t)a(t)e^{-A(t)}=f(t)}$.

Semplificando si ottiene:

${\displaystyle c'(t)e^{-A(t)}=f(t)}$.

Moltiplicando ambo i membri per ${\displaystyle e^{A(t)}}$ e integrando si ha:

${\displaystyle c(t)=\int f(t)e^{A(t)}dt+D}$,

dove ${\displaystyle D}$ è una costante arbitraria. Pertanto si ottiene l'insieme di soluzioni particolari:

${\displaystyle {\tilde {y}}=c(t)e^{-A(t)}=e^{-A(t)}\int f(t)e^{A(t)}dt+De^{-A(t)}}$

in cui si può scegliere la soluzione particolare più semplice, cioè quella in cui ${\displaystyle D=0}$.

L'integrale generale è ottenuto sommando tale soluzione particolare ${\displaystyle {\tilde {y}}(t)}$ alla soluzione ${\displaystyle y_{o}(t)}$ dell'equazione omogenea associata ricavata in precedenza, ottenendo:

${\displaystyle y(t)={\tilde {y}}(t)+y_{o}(t)=e^{-A(t)}\int f(t)e^{A(t)}dt+Ce^{-A(t)}}$.

A questo punto l'unica difficoltà è il calcolo di un integrale che può non essere immediato, o, addirittura, non risolvibile con metodi analitici.

Si riconosce immediatamente la coerenza con due casi particolari. Per l'equazione omogenea, ponendo ${\displaystyle f(t)=0}$ si ottiene ${\displaystyle y(t)=Ce^{-A(t)}}$, che ne è soluzione; nel caso di coefficiente costante ${\displaystyle a(t)=A}$ si riconosce che la soluzione è in termini dell'esponenziale ${\displaystyle e^{-At}}$.

Per integrare l'equazione

${\displaystyle y'+2ty=t}$

è sufficiente riconoscere che ${\displaystyle a(t)=2t}$ (la cui primitiva è ${\displaystyle A(t)=t^{2}}$), che ${\displaystyle f(t)=t}$ e sostituire nell'integrale generale ottenendo la soluzione generale:

${\displaystyle y(t)=e^{-t^{2}}\int te^{t^{2}}dt+Ce^{-t^{2}}={\frac {1}{2}}e^{-t^{2}}e^{t^{2}}+Ce^{-t^{2}}={\frac {1}{2}}+Ce^{-t^{2}}}$

che può essere verificata per sostituzione nell'equazione differenziale data. Eventuali condizioni aggiuntive possono poi essere utilizzate per ottenere il valore di ${\displaystyle C}$.

Una equazione differenziale del secondo ordine è del tipo:

${\displaystyle y''(t)+a(t)y'(t)+b(t)y(t)=f(t)}$

Il metodo di variazione delle costanti in questo caso consiste nella ricerca di soluzioni del tipo:

${\displaystyle \displaystyle {\tilde {y}}=c_{1}(t)y_{1}(t)+c_{2}(t)y_{2}(t)}$

costruite a partire da due soluzioni ${\displaystyle y_{1}(t)}$ e ${\displaystyle y_{2}(t)}$ dell'equazione omogenea associata:

${\displaystyle y''(t)+a(t)y'(t)+b(t)y(t)=0}$

Poiché spesso l'equazione omogenea associata è di più semplice risoluzione, questo metodo risulta essere utile in molti casi concreti.

Il metodo consiste essenzialmente nella sostituzione di ${\displaystyle {\tilde {y}}}$ nell'equazione differenziale originaria. Per effettuare la sostituzione, è necessario calcolare innanzitutto la derivata prima, usando la regola di Leibniz:

${\displaystyle {\tilde {y}}'(t)=c_{1}'(t)y_{1}(t)+c_{2}'(t)y_{2}(t)+c_{1}(t)y_{1}'(t)+c_{2}(t)y_{2}'(t)}$

Al fine di semplificare i calcoli, si impone la condizione seguente:

${\displaystyle c_{1}'(t)y_{1}(t)+c_{2}'(t)y_{2}(t)=0}$

Questo fa sì che risulti:

${\displaystyle {\tilde {y}}'=c_{1}(t)y_{1}'(t)+c_{2}(t)y_{2}'(t)}$

e di conseguenza:

${\displaystyle {\tilde {y}}''=c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)+c_{1}(t)y_{1}''(t)+c_{2}(t)y_{2}''(t)}$

Sostituendo quanto appena ricavato nell'equazione di partenza si ottiene:

${\displaystyle (c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)+c_{1}(t)y_{1}''(t)+c_{2}(t)y_{2}''(t))+a(c_{1}(t)y_{1}'(t)+c_{2}(t)y_{2}'(t))+b(c_{1}(t)y_{1}(t)+c_{2}(t)y_{2}(t))=f(t)}$

e quindi:

${\displaystyle c_{1}(t)(y_{1}''(t)+ay_{1}'(t)+by_{1}(t))+c_{2}(t)(y_{2}''(t)+ay_{2}'(t)+by_{2}(t))+(c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t))=f(t)}$

I primi due addendi sono identicamente nulli, poiché ${\displaystyle y_{1}(t)}$ e ${\displaystyle y_{2}(t)}$ sono soluzioni dell'equazione omogenea, quindi il tutto si riduce a:

${\displaystyle c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)=f(t)}$

Tutto ciò porta allo studio del sistema lineare di due equazioni nelle incognite ${\displaystyle c_{1}'}$ e ${\displaystyle c_{2}'}$:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}c_{1}'(t)y_{1}(t)+c_{2}'(t)y_{2}(t)=0\\c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)=f(t)\end{matrix}}\right.}$

Il determinante della matrice:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}y_{1}(t)&y_{2}(t)\\y_{1}'(t)&y_{2}'(t)\end{matrix}}\right)}$

è il wronskiano di ${\displaystyle y_{1}(t)}$ e ${\displaystyle y_{2}(t)}$: questo è nullo se e solo se le due soluzioni sono dipendenti. Ne segue che in questo caso non è mai nullo, ed il sistema ha sempre una soluzione, data da:

${\displaystyle c_{1}'(t)={\frac {-y_{2}(t)f(t)}{y_{2}'(t)y_{1}(t)-y_{1}'(t)y_{2}(t)}}\qquad \qquad c_{2}'(t)={\frac {y_{1}(t)f(t)}{y_{2}'(t)y_{1}(t)-y_{1}'(t)y_{2}(t)}}}$

Integrando ${\displaystyle c_{1}'(t)}$ e ${\displaystyle c_{2}'(t)}$ si può ottenere a scelta o una soluzione particolare dell'equazione di partenza (integrando definitamente) o l'integrale generale dell'equazione di partenza (integrando indefinitamente).

Nel caso di equazioni di ordine n:

${\displaystyle y^{(n)}(t)+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots +a_{0}(t)y(t)=f(t)}$

si considerano le n soluzioni indipendenti dell'equazione omogenea e si cerca una soluzione particolare dell'equazione nella forma:

${\displaystyle {\tilde {y}}=c_{1}(t)y_{1}(t)+c_{2}(t)y_{2}(t)+\cdots +c_{n}(t)y_{n}(t)}$

Si risolve quindi il sistema lineare nelle n incognite ${\displaystyle c_{i}'(t)}$:

${\displaystyle {\begin{cases}c_{1}'(t)y_{1}(t)+c_{2}'(t)y_{2}(t)+\cdots +c_{n}'(t)y_{n}(t)=0\\c_{1}'(t)y_{1}'(t)+c_{2}'(t)y_{2}'(t)+\cdots +c_{n}'(t)y_{n}'(t)=0\\\cdots \cdots \cdots \cdots \\c_{1}'(t)y_{1}^{(n-2)}(t)+c_{2}'(t)y_{2}^{(n-2)}(t)+\cdots +c_{n}'(t)y_{n}^{(n-2)}(t)=0\\c_{1}'(t)y_{1}^{(n-1)}(t)+c_{2}'(t)y_{2}^{(n-1)}(t)+\cdots +c_{n}'(t)y_{n}^{(n-1)}(t)=f(t)\end{cases}}}$

Il determinante di questo sistema viene detto determinante wronskiano e, come sopra, si può dimostrare che è sempre non nullo a partire dall'indipendenza delle soluzioni dell'equazione omogenea. Si determinano le funzioni incognite integrando gli n termini soluzioni del sistema di cui sopra, per ricavare l'integrale generale dell'equazione.

Nello specifico, data un'equazione ordinaria lineare non omogenea:

${\displaystyle y^{(n)}(t)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(t)y^{(i)}(t)=b(t)}$

sia ${\displaystyle y_{1}(t),\ldots ,y_{n}(t)}$ un sistema fondamentale di soluzioni della corrispondente equazione omogenea:

${\displaystyle y^{(n)}(t)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(t)y^{(i)}(t)=0}$

Allora una soluzione particolare dell'equazione non omogenea è data da:

${\displaystyle y_{p}(t)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(t)y_{i}(t)}$

dove ${\displaystyle c_{i}(t)}$ sono funzioni differenziabili che si assume soddisfino le condizioni:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}'(t)y_{i}^{(j)}(t)=0\qquad j=0,\ldots ,n-2}$

Considerando la soluzione particolare dell'equazione omogenea, differenziando ripetutamente e utilizzando le condizioni precedenti:

${\displaystyle y_{p}^{(j)}(t)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(t)y_{i}^{(j)}(t)\qquad j=0,\ldots ,n-1}$

Con un'ultima differenziazione si ha:

${\displaystyle y_{p}^{(n)}(t)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}'(t)y_{i}^{(n-1)}(t)+\sum _{i=1}^{n}c_{i}(t)y_{i}^{(n)}(t)}$

Sostituendo quindi la soluzione particolare nell'equazione di partenza e applicando le ultime due relazioni si ottiene:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}'(t)y_{i}^{(n-1)}(t)=b(t)}$

Questa equazione e la precedente sono sistemi lineari che possono essere risolti con la regola di Cramer:

${\displaystyle c_{i}'(t)={\frac {W_{i}(t)}{W(t)}}\qquad i=1,\ldots ,n}$

dove ${\displaystyle W(t)}$ è il wronskiano del sistema fondamentale di soluzioni e ${\displaystyle W_{i}(t)}$ è il wronskiano del sistema fondamentale con l'i-esima colonna rimpiazzata da ${\displaystyle (0,0,\ldots ,b(t))}$.

La soluzione particolare dell'equazione non omogenea può essere scritta come:

${\displaystyle y_{p}(t)=\sum _{i=1}^{n}y_{i}(t)\,\int {\frac {W_{i}(t)}{W(t)}}dt}$

• (EN) Earl A. Coddington e Norman Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, New York, McGraw-Hill, 1955.
• (EN) W. E. Boyce e R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 8th Edition, Wiley Interscience, 1965., pages 186-192, 237-241
• (EN) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, Providence, American Mathematical Society.

• Equazione differenziale
• Equazione differenziale lineare
• Equazione differenziale lineare del secondo ordine
• Equazione differenziale lineare di ordine superiore al primo
• Metodi di soluzione analitica per equazioni differenziali ordinarie

• (EN) variation of parameters, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Metodo delle variazioni delle costanti, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) N.Kh. Rozov, Variation of constants, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.

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