Si chiama equazione integrale ogni equazione che ha l'incognita sotto il segno di integrale. Per esempio, l'equazione di risoluzione di un'equazione differenziale è un'equazione integrale: in generale c'è una forte relazione tra equazioni differenziali ed integrali, e alcuni problemi possono essere formulati in entrambi i modi, come ad esempio le equazioni di Maxwell.

Lo studio delle equazioni integrali si divide in due settori, relativi alle equazioni lineari e a quelle non lineari. Un'equazione integrale lineare generica nell'incognita ${\displaystyle \varphi (x)}$ ha la forma:

${\displaystyle A(x)\varphi (x)+\int _{\Omega }K(x,s)\varphi (s)\ ds=f(x)\qquad x\in D}$

dove ${\displaystyle K(x,z)}$ si chiama nucleo dell'equazione integrale, la funzione ${\displaystyle A}$ è detta coefficiente e ${\displaystyle f}$ il termine noto. L'insieme ${\displaystyle \Omega }$ è un sottoinsieme di uno spazio euclideo. Nel caso in cui ${\displaystyle K}$ e ${\displaystyle A}$ siano matrici e ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle \varphi }$ funzioni vettoriali, allora si ha un sistema di equazioni lineari integrali. Se ${\displaystyle f=0}$ l'equazione (o sistema) si dice omogenea.

Un'equazione integrale lineare in cui un estremo dell'intervallo di integrazione è variabile viene detta equazione di Volterra:

${\displaystyle y(x)=\int _{a}^{x}K(x,z)y(z)\ dz+f(x)}$

dove ${\displaystyle y(x)}$ è la funzione incognita.

Se, invece, entrambi gli estremi dell'intervallo di integrazione sono fissi

${\displaystyle y(x)=\int _{a}^{b}K(x,z)y(z)\ dz+f(x)}$

viene chiamata equazione integrale di Fredholm.

Quando la funzione incognita si trova solo sotto il segno di integrale allora si hanno equazioni di Volterra e di Fredholm di prima specie, quelle sopra sono dette di seconda specie.

Un'equazione di Volterra non lineare ha la forma generale:

${\displaystyle \varphi (x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,F(x,t,\varphi (t))\,dt}$

dove ${\displaystyle F}$ è una funzione nota.

Un altro esempio è l'equazione di Urysohn:

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int _{\Omega }K(x,s,\varphi (s))\,ds\qquad x\in \Omega }$

dove ${\displaystyle \Omega }$ è un sottoinsieme chiuso e limitato di uno spazio euclideo finito-dimensionale e il nucleo ${\displaystyle K(x,s,t)}$ è una funzione data definita per ${\displaystyle x,s\in \Omega }$ e ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$.

Un caso speciale dell'equazione di Urysohn è l'equazione di Hammerstein:

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda \int _{\Omega }K(x,s)f(s,\varphi (s))\,ds\qquad x\in \Omega }$

dove ${\displaystyle f(s,t)}$ e ${\displaystyle K(x,s)}$ sono funzioni date.

Spesso le equazioni integrali non hanno una soluzione analitica, e devono essere risolte numericamente. Uno dei metodi utilizzati in tale approccio richiede di discretizzare le variabili e rimpiazzare gli integrali con sommatorie:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}w_{j}K\left(s_{i},t_{j}\right)u(t_{j})=f(s_{i})\qquad i=0,1,\cdots ,n}$

Si ottiene in questo modo un sistema di n variabili ed altrettante equazioni. Risolvendolo si giunge al valore delle n variabili:

${\displaystyle u(t_{0}),u(t_{1}),\cdots ,u(t_{n})}$

Equazioni integrali della forma:

${\displaystyle y(t)=\lambda x(t)+\int _{0}^{\infty }k(t-s)x(s)ds\qquad 0\leq t<\infty }$

sono utilizzate nell'ambito del trasporto radiativo, della teoria della diffrazione e per la ricerca di soluzioni nel caso di problemi planari in cui la frontiera del dominio di integrazione è liscia a tratti.

In molti casi se il nucleo dell'equazione è della forma ${\displaystyle K(xt)}$ e la trasformata di Mellin di ${\displaystyle K(t)}$ esiste allora si può trovare la soluzione per l'equazione:

${\displaystyle g(s)=s\int _{0}^{\infty }dtK(st)f(t)}$

nella forma di serie di potenze:

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{M(n+1)}}x^{n}}$

dove:

${\displaystyle g(s)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}s^{-n}\qquad M(n+1)=\int _{0}^{\infty }dtK(t)t^{n}}$

sono rispettivamente la trasformata zeta della funzione ${\displaystyle g(s)}$ e la trasformata di Mellin del nucleo integrale.

Alcune equazioni integrali si possono ottenere come generalizzazione di equazioni agli autovalori:

${\displaystyle \sum _{j}M_{i,j}v_{j}=\lambda v_{i}}$

di cui si fornisce una versione continua:

${\displaystyle \int K(x,y)\varphi (y)\mathrm {d} y=\lambda \varphi (x)}$

in cui il nucleo rimpiazza la matrice ${\displaystyle M}$ e l'autofunzione ${\displaystyle \varphi (y)}$ prende il posto degli autovettori ${\displaystyle v_{j}}$.

In molti casi il nucleo può essere una distribuzione.

• (EN) Maxime Bôcher An introduction to the study of integral equations (Cambridge University Press, 1909)
• (EN) E. T. Whittaker e G. N. Watson A course of Modern Analysis Capitolo 11, p. 205 (Cambridge University Press, 1915)
• (EN) Danuta Przeworska-Rolewicz, Stefan Rolewicz Equations in linear spaces (Varsovia: 1968)
• (FR) Robert d'Adhémar Exercices et problèmes d'analyse^{[collegamento interrotto]} (Parigi: Gauthier-Villars, 1908)
• (DE) Adolf Kneser Die Integralgleichungen (Braunschweig: Vieweg & Sohn, 1922)
• (DE) David Hilbert Grundzüge einer allgemeinen theorie der linearen integralgleichungen (Leipzig: B. G. Teubner 1912)
• (DE) Richard Courant e David Hilbert Methoden der mathematischen Physik (Band 1) (Berlin: Springer, 1924) capitolo 3

• Equazione di comprimibilità
• Equazione integrale di Fredholm
• Equazione integrale di Volterra
• Vito Volterra
• Attilio Vergerio

• (EN) integral equation, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) B.V. Khvedelidze, Integral equation, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) B.V. Khvedelidze, Non-linear integral equation, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• (EN) V.I. Dmitriev, Wiener-Hopf equation, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
• Cornelis van der Mee Equazioni Integrali (Università degli studi di Cagliari)
• (EN) MathWorld Integral Equations
• (EN) EqWorld Integral Equations: solutions
• (EN) EqWorld Integral Equations: methods
• V. Daniele - Tecniche Wiener-Hopf per lo studio di onde in regioni con discontinuita geometriche (PDF), su personal.delen.polito.it.

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