È un centravanti[1] completo, dalla falcata potente,[1] tecnico, imprevedibile, dinamico e allo stesso tempo dotato di un innato senso del gol, può essere impiegato anche da seconda punta o come attaccante esterno in un 4-3-3.[1]
Il 5 luglio 2013 il Norimberga lo acquista a titolo definitivo dallo Zurigo. Nella stagione 2013-2014 Drmić mette a segno 17 goal con il club, e il 12 maggio 2014 il Bayer Leverkusen ne annuncia l'acquisto insieme al dettaglio del contratto della durata di 5 anni.[2]
Il 17 giugno 2015, dopo un solo anno trascorso con le aspirine, viene acquistato dal Borussia Mönchengladbach, con cui firma un contratto quadriennale.[3]
Il 25 giugno 2019 firma un contratto triennale, per il Norwich City, club neo-promosso in Premier League.[4] Il 5 febbraio 2021 è stato ceduto in prestito fino a fine stagione tra le file del Rijeka.[5][6][7] Il 6 luglio seguente il prestito viene rinnovato.[8][9]
Gioca la sua prima partita con la Svizzera Under-21 a Varese il 10 agosto 2011 in occasione dell'amichevole contro l'Italia Under-21. Segna nella stessa occasione la sua prima rete con la maglia rossocrociata battendo il portiere azzurro Carlo Pinsoglio.[11]
L'11 settembre 2012 fa il suo esordio con la nazionale maggiore allo Swissporarena di Lucerna sostituendo Granit Xhaka nei minuti di recupero della partita contro Albania, valida per le qualifiche della Coppa del Mondo 2014 e vinta per 2-0.[12] Il 5 marzo 2014, nell'AFG Arena di San Gallo gioca la sua prima gara da titolare in occasione della partita contro la Croazia, di cui è originario, e segna le sue prime reti con la maglia rossocrociata con una doppietta.[13]
Josip è stato convocato per i Mondiali 2014[14] e anche per i Mondiali 2018[15] dalla Nazionale elvetica, andando a segno in occasione della sua seconda partecipazione alla rassegna, nella partita della fase a gironi pareggiata 2-2 contro la Costa Rica. Dopo i Mondiali 2018 viene convocato per la fase finale della UEFA Nations League[16] giocando la semifinale contro il Portogallo persa 3-1 e la finale per il terzo e quarto posto contro l'Inghilterra, finita con la sconfitta della nazionale svizzera ai rigori a causa del suo errore dal dischetto.[17][18]
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