L'insieme di Mandelbrot o frattale di Mandelbrot è uno dei frattali più popolari, conosciuto anche al di fuori dell'ambito matematico per le suggestive immagini multicolori che ne sono state divulgate.^[1]

È l'insieme dei numeri complessi ${\displaystyle c}$ per i quali la successione definita da:

${\displaystyle {\begin{cases}z_{0}=0\\z_{n+1}=z_{n}^{2}+c\end{cases}}}$

è limitata.^[2] Nonostante la semplicità della definizione, l'insieme ha una forma complessa il cui contorno è un frattale. Solo con l'avvento del computer è stato possibile visualizzarlo.

L'insieme prende il nome da Benoît Mandelbrot, colui che nel suo libro Les Objets Fractals: Forme, Hasard et Dimension (1975) rese popolari i frattali.

L'insieme di Mandelbrot si colloca nel campo della dinamica complessa, il cui studio inizia con i matematici francesi Pierre Fatou e Gaston Julia all'inizio del XX secolo. I primi disegni dell'insieme di Mandelbrot risalgono al 1978 e fanno parte di uno studio di Robert Brooks e Peter Matelski riguardante i gruppi kleiniani;^[3] è Benoît Mandelbrot nel 1980 a visualizzare per primo la forma che oggi porta il suo nome e a riconoscere che si tratta di un frattale.^[4][5]

Lo studio approfondito di questo insieme comincia nel 1984 con il lavoro dei matematici Adrien Douady e John H. Hubbard, che ne scoprono molte fondamentali proprietà e gli danno il nome di Mandelbrot.^[6]

L'articolo di copertina del numero di Scientific American dell'agosto 1985, tradotto in italiano su Le Scienze nell'ottobre dello stesso anno, rappresenta un'immagine creata da Benoît Mandelbrot, Heinz-Otto Peitgen e John H. Hubbard; in quell'articolo l'insieme è definito "l'oggetto più complesso esistente in matematica" e, grazie anche alle colorate immagini che accompagnano l'articolo, inizia la popolarità dell'insieme anche presso il grande pubblico.^[7][8][9] I matematici Heinz-Otto Peitgen e Peter Richter diventano famosi promuovendo l'insieme con fotografie, libri e raccolte d'immagini.^[10]

Il lavoro di Douady e Hubbard coincide con una grande crescita d'interesse nella dinamica complessa e lo studio dell'insieme di Mandelbrot è subito un elemento centrale di questo campo. Una lista completa di tutti i matematici che da allora contribuiscono alla comprensione di questo insieme è al di là degli scopi di questa voce, ma una tale lista includerebbe senz'altro ai primi posti Mikhail Lyubich,^[11][12] Curt McMullen, John Milnor, Mitsuhiro Shishikura e Jean-Christophe Yoccoz.

L'insieme di Mandelbrot ${\displaystyle M}$ è definito a partire da una famiglia di polinomi quadratici complessi:

${\displaystyle f_{c}:\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

nella forma:

${\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c.}$

dove ${\displaystyle c}$ è un parametro complesso.

Per ogni ${\displaystyle c}$ si considera il comportamento della successione

${\displaystyle (0,f_{c}(0),f_{c}(f_{c}(0)),f_{c}(f_{c}(f_{c}(0))),\ldots )}$

ottenuta iterando ${\displaystyle f_{c}(z)}$ a partire dal punto ${\displaystyle z=0}$; questa può o divergere all'infinito oppure essere limitata. L'insieme di Mandelbrot è definito come l'insieme dei punti ${\displaystyle c}$ tali che la corrispondente successione è limitata.

Più formalmente, se ${\displaystyle f_{c}^{n}(z)}$ indica l'n-esima iterata di ${\displaystyle f_{c}(z)}$ (cioè ${\displaystyle f_{c}(z)}$ composta con sé stessa n volte), l'insieme di Mandelbrot è il sottoinsieme del piano complesso dato da:

${\displaystyle M=\left\{c\in \mathbb {C} :\sup _{n\in \mathbb {N} }|f_{c}^{n}(0)|<\infty \right\}}$

Si può dimostrare che se il modulo di ${\displaystyle z_{n}}$ è maggiore di ${\displaystyle 2}$ allora la successione divergerà e quindi il punto ${\displaystyle c}$ sarà esterno all'insieme di Mandelbrot.

Dal punto di vista matematico, l'insieme di Mandelbrot è semplicemente un insieme di numeri complessi. Ogni numero complesso ${\displaystyle c}$ può appartenere a ${\displaystyle M}$ oppure no. Una rappresentazione grafica rigorosa dell'insieme di Mandelbrot si ottiene colorando tutti i punti ${\displaystyle c}$ che appartengono a ${\displaystyle M}$ di nero e gli altri di bianco.

Le immagini multicolori che si vedono sono generate colorando i punti esterni all'insieme in dipendenza di "quanto velocemente" la sequenza ${\displaystyle |f_{c}^{n}(0)|}$ diverge all'infinito. Il minimo valore di ${\displaystyle n}$ per cui ${\displaystyle |z_{n}|>2}$ è un indice di quanto "lontano dal contorno" si trova un punto e viene utilizzato per la rappresentazione "a colori". Paradossalmente, i punti colorati che conferiscono il fascino al frattale di Mandelbrot sono proprio quelli che non appartengono all'insieme.^[13]

L'insieme di Mandelbrot permette di indicizzare gli insiemi di Julia. Ad ogni punto del piano complesso corrisponde un diverso insieme di Julia; tale insieme è connesso se il punto in questione appartiene all'insieme di Mandelbrot, ed è invece non connesso se il punto non vi appartiene.

Intuitivamente, gli insiemi di Julia più interessanti (ovvero quelli dalle forme meno banali) corrispondono a punti che si trovano vicino al bordo dell'insieme di Mandelbrot; punti molto all'interno generano insiemi di Julia dalle forme geometriche semplici, mentre i punti esterni, lontani dal bordo, generano insiemi di Julia formati da molti piccoli insiemi non connessi.

L’insieme di Mandelbrot può essere generalizzato dagli esponenti ${\displaystyle d}$ superiori a 2 per ${\displaystyle z}$ ↦ ${\displaystyle z^{d}+c}$. Queste generalizzazioni si chiamano « Multibrot ».

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• (EN) Benoît Mandelbrot, Fractals and chaos: the Mandelbrot set and beyond, Springer, 2004, ISBN 0-387-20158-0.

• Buddhabrot
• Burning ship
• Costanti di Feigenbaum

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file sugli insiemi di Mandelbrot

• (EN) Mandelbrot set, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Opere riguardanti Mandelbrot sets, su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, Mandelbrot Set, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Denis Howe, Mandelbrot set, in Free On-line Dictionary of Computing. Disponibile con licenza GFDL
• Benoit Mandelbrot: Frattali e l'arte della rugosità Archiviato il 15 ottobre 2013 in Internet Archive., TED

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