Due grandezze ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ si dicono fra loro commensurabili se esiste fra loro un sottomultiplo comune, ossia se esistono due opportuni numeri naturali ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle n}$ per i quali:

${\displaystyle {\frac {x}{m}}={\frac {y}{n}}}$

Il valore di queste frazioni è il sottomultiplo comune alle grandezze ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$. Di conseguenza quando due grandezze sono commensurabili è possibile esprimere la misura della prima grandezza rispetto alla seconda utilizzando un numero razionale, cioè è possibile scrivere

${\displaystyle x={m \over n}\cdot y}$

Al contrario, due coppie di grandezze si dicono incommensurabili quando non hanno alcun sottomultiplo comune, ovvero non esiste alcuna frazione in grado di esprimere il rapporto ${\displaystyle {x \over y}}$. Da ciò consegue che la misura della prima grandezza rispetto alla seconda non è un numero razionale, perché non è esprimibile sotto forma di frazione.

La coppia di grandezze incommensurabili più semplice e da più tempo conosciuta è certamente quella formata dal lato di un quadrato e dalla sua diagonale. Per dimostrare che queste due grandezze sono incommensurabili, basta dimostrare che la misura di una rispetto all'altra non è un numero razionale. Prima di tutto stabiliamo qual è il valore dalla diagonale (che chiameremo ${\displaystyle d}$) rispetto al lato (che chiameremo ${\displaystyle l}$). Per farlo utilizziamo il teorema di Pitagora.

Infatti dato un quadrato, sappiamo che:

${\displaystyle d^{2}=l^{2}+l^{2}}$

da cui

${\displaystyle d^{2}=2l^{2}}$

allora

${\displaystyle d={\sqrt {2l^{2}}}}$

semplificando abbiamo che

${\displaystyle d={\sqrt {2}}\cdot l}$

abbiamo quindi trovato la misura di ${\displaystyle d}$ rispetto a ${\displaystyle l}$. Ora è necessario dimostrare che il numero ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ non è razionale. Per farlo utilizziamo una delle varie dimostrazioni dell'irrazionalità di radice di due.

L'incommensurabilità tra lato e diagonale di un quadrato fu il primo caso nel quale l'incommensurabilità fu dimostrata. La dimostrazione, attribuita in genere a Ippaso di Metaponto, fu certamente effettuata all'interno della scuola pitagorica e causò una grave crisi delle concezioni matematiche dell'epoca.

• Euclide, Elementi, libro X
• Morris Kline, Storia del pensiero matematico, vol I, capp. 3 e 4, Einaudi, 1999. ISBN 978-88-06-15417-2
• (EN) Miklós Laczkovich, Conjecture and Proof, Cambridge University Press, 2001, pp. 3–5. ISBN 978-0-88385-722-9

• Numeri irrazionali
• Quadrato (geometria)
• Grandezza fisica

• Wikizionario contiene il lemma di dizionario «incommensurabilità»

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