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Nella logica e nella matematica, la inversione di un'affermazione categoriale o implicazionale è il risultato dell'inversione delle sue due affermazioni costituenti. Per l'implicazione P → Q, il contrario è Q → P. Per la proposizione categorica "Ogni S è P", il contrario è "Ogni P è S". In ogni caso, la verità del contrario è generalmente indipendente da quella dell'affermazione originale.^[1]

Inversione implicita

Diagramma di Venn di $A\leftarrow B$
(l’area di colore bianco mostra dove la proposizione è falsa)

Sia S una proposizione della forma P implica Q (P → Q). Allora l'inverso di S è l'affermazione Q implica P (Q → P). In generale, la verità di S non dice nulla sulla verità del suo inverso^[2], a meno che l'antecedente P e la conseguente Q non siano logicamente equivalenti.

Ad esempio, si consideri la vera affermazione "Se sono un umano, allora sono mortale". Il contrario di tale affermazione è "Se sono mortale, allora sono un umano", il che non è necessariamente vero.

Resta invece vero il contrario di un enunciato quando i termini si includono a vicenda, data la verità della proposizione originaria. Ciò equivale a dire che è vero il contrario di una definizione. Pertanto, l'affermazione "Se sono un triangolo, allora sono un poligono a tre lati" è logicamente equivalente a "Se sono un poligono a tre lati, allora sono un triangolo", perché la definizione di "triangolo" è "poligono a tre lati". I due termini intermedi "triangolo" e "poligono a tre lati" si appartengono reciprocamente e sono quindi tra loto equivalenti.

Una tavola di verità chiarisce che S e il contrario di S non sono logicamente equivalenti, a meno che entrambi i termini non si implichino a vicenda:

$P$	$Q$	$P\rightarrow Q$	$P\leftarrow Q$ (inversione)
Vero	Vero	Vero	Vero
Vero	Falso	Falso	Vero
Falso	Vero	Vero	Falso
Falso	Falso	Vero	Vero

L'errore di affermare il conseguente consiste nel passare da un enunciato al suo contrario. Tuttavia, se l'affermazione S e il suo inverso sono equivalenti (cioè, P è vero se e solo se anche Q è vero), allora sarà valido affermare anche il conseguente.

L'implicazione inversa è logicamente equivalente alla disgiunzione di $P$ e $\neg Q$ :

$P\leftarrow Q$	$\Leftrightarrow$	$P$	$\lor$	$\neg Q$
	$\Leftrightarrow$		$\lor$

Nel linguaggio naturale, questo potrebbe essere reso "non Q senza P ".

Inversione di un teorema

In matematica, l'inverso di un teorema della forma P → Q sarà Q → P. Il contrario può o non può essere vero, e anche qualora sia vero, la dimostrazione può risultare difficile. Ad esempio, il teorema dei quattro vertici è stato dimostrato nel 1912, ma il suo contrario è stato dimostrato solo nel 1997.^[3]

In pratica, quando si determina il contrario di un teorema matematico, gli aspetti dell'antecedente possono essere assunti per stabilire il contesto: il contrario di "Dato P, se Q allora R "sarà "Dato P, se R allora Q". Ad esempio, il teorema di Pitagora può essere affermato come:

Dato un triangolo con i lati a e b, e lunghezza c, se l'angolo opposto al lato della lunghezza c è un angolo retto, allora

a^{2}+b^{2}=c^{2}

.

Il contrario, che appare anche negli Elementi di Euclide (Libro I, proposizione 48), può essere affermato come:

Dato un triangolo con i lati di lunghezza a e b e base di lunghezza c, se

a^{2}+b^{2}=c^{2}

, allora l'angolo opposto al lato della lunghezza c è un angolo retto.

Inversione di una relazione

Se $R$ è una relazione binaria con $R\subseteq A\times B$ , allora la relazione inversa $R^{T}=\{(b,a):(a,b)\in R$ è detta trasposta.^[4]

Notazione

La inversione di un’implicazione P → Q può essere scritta $P\leftarrow Q$ , ma può anche esser denotata come $P\subset Q$ , oppure "Bpq" (nella notazione di Józef Maria Bocheński).

Inversione di una proposizione categorica

Nella logica tradizionale, si dice inversione il processo che porta a sostituire il termine soggetto con il termine predicato. Ad esempio, "Nessun S è P" si inverte in "Nessun P è S". Nelle parole di Asa Mahan:

«La proposizione originaria si chiama "exposita"; una volta invertita, si chiama "inversa". L'inversione è valida quando, e solo quando, nulla è affermato nell'inversa che non sia affermato o implicito nell'exposita.^[5]»

L'"exposita" è più comunemente chiamata invertenda (lett. proposizione che deve essere invertita). Nella sua forma semplice, la inversione vale solo per le proposizioni di tipo E ed I^[6]:

Tipo	Invertenda	Inversione semplice	Inversione per accidens (valida se P esiste)
A	Ogni S è P	non valida	Qualche P è S
E	Nessun S è P	Nessun P è S	Qualche P è non-S
I	Qualche S è P	Qualche P è S	–
O	Qualche S è non- P	non valida	–

La validità della semplice inversione solo per le proposizioni E e I può essere espressa dalla restrizione che "Nessun termine deve essere distribuito nell'inversa che non sia già distribuito nella invertenda".^[7] Per le proposizioni di tipo E sia il soggetto che l predicato sono distribuiti^[8], mentre nelle proposizioni di tipo I non lo sono né il soggetto né il predicato.

Per le proposizioni di tipo A, il soggetto è distribuito mentre il predicato non lo è, e quindi l'inferenza da un'affermazione A al suo contrario non è valida. Ad esempio, per la proposizione A "Tutti i gatti sono mammiferi", il contrario "Tutti i mammiferi sono gatti" è ovviamente falso. Tuttavia, l'affermazione più debole "Alcuni mammiferi sono gatti" è vera. I logici definiscono inversione per accidens il processo di produzione di questa affermazione più debole. L'inferenza da un'affermazione al suo inverso per accidens è generalmente valida. Tuttavia, come per i sillogismi, questo passaggio dall'universale al particolare causa problemi con le categorie vuote: "Tutti gli unicorni sono mammiferi" è spesso considerato vero, mentre l'inversione per accidens "Alcuni mammiferi sono unicorni" è chiaramente falsa.

Nel calcolo dei predicati del primo ordine, la proposizione "Ogni S è P" può essere rappresentata come $\forall x.S(x)\to P(x)$ .^[9] È quindi chiaro che l'inverso categoriale è strettamente correlato all'inverso implicazionale e che S e P non sono intercambiabili nella proposizione "Ogni S è P".

Note

^ Robert Audi, ed. (1999), The Cambridge Dictionary of Philosophy, 2nd ed., Cambridge University Press: "converse".
^ (EN) Courtney Taylor, What Are the Converse, Contrapositive, and Inverse?, su ThoughtCo.
^ Clay Shonkwiler, The Four Vertex Theorem and its Converse (PDF), su math.colostate.edu, 6 ottobre, 2006.
^ Gunther Schmidt & Thomas Ströhlein (1993) Relations and Graphs, p. 9, Springer books
^ Asa Mahan (1857) The Science of Logic: or, An Analysis of the Laws of Thought, p. 82.
^ William Thomas Parry and Edward A. Hacker (1991), Aristotelian Logic, SUNY Press, p. 207.
^ James H. Hyslop (1892), The Elements of Logic, C. Scribner's sons, p. 156.
^ Il soggetto si dice distribuito al predicato e, viceversa, il predicato si dice distribuito al soggetto, se tutti i membri della classe del termine sono inclusi in quella dell’altro. Ad esempio, nella frase “tutti gli uomini sono mortali” il soggetto è distribuito al predicato, mentre non è vero il contrario poiché i mortali non sono necessariamente umani”.
^ Gordon Hunnings (1988), The World and Language in Wittgenstein's Philosophy, SUNY Press, p. 42.