Equazione di Pauli

L'equazione di Pauli, dal nome del fisico austriaco Wolfgang Pauli che l'ha formulata nel 1927,^[1] è una estensione dell'equazione di Schrödinger relativa a una particella di spin 1/2, come ad esempio un elettrone, che interagisce con il campo elettromagnetico. Rappresenta il limite non-relativistico dell'equazione di Dirac, vale a dire il limite per particelle la cui velocità è sufficientemente bassa da poter trascurare gli effetti relativistici.

L'equazione e la derivata covariante

L'equazione di Pauli si scrive:

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi (\mathbf {r} ,t)=\left[{\frac {1}{2m}}({\vec {\mathbf {\sigma } }}\cdot ({\vec {\mathbf {p} }}-q{\vec {\mathbf {A} }}))^{2}+q\phi \right]\psi (\mathbf {r} ,t)

Dove:

$m\ \$ è la massa della particella;
$q\ \$ la carica elettrica;
${\vec {\mathbf {\sigma } }}\ \$ sono le tre matrici di Pauli;
${\vec {\mathbf {p} }}\ \$ è l'operatore momento dato da $-i\hbar {\vec {\mathbf {\nabla } }}$ ;
${\vec {\mathbf {A} }}\ \$ è il potenziale vettore, legato al campo magnetico;
$\phi \ \$ è il potenziale scalare, legato al campo elettrico;
$\psi (\mathbf {r} ,t)$ è lo spinore funzione d'onda a due componenti.

L'equazione può essere collegata all'equazione di Schrödinger se si sostituiscono le normali derivate parziali con le derivate covarianti:

{\frac {\partial }{\partial t}}\rightarrow {\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {q}{i\hbar }}\phi

{\vec {\mathbf {p} }}\rightarrow {\vec {\mathbf {p} }}-q{\vec {\mathbf {A} }}

Questa sostituzione è alla base delle teorie di gauge.

Note

^ (DE) Wolfgang Pauli, Zur Quantenmechanik des magnetischen Elektrons, in Zeitschrift für Physik, vol. 43, 9–10, 1927, pp. 601–623, Bibcode:1927ZPhy...43..601P, DOI:10.1007/BF01397326, ISSN 0044-3328 (WC · ACNP).

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