Voce principale: Limite di una funzione.

Nella pagina seguente vengono riportate tutte le dimostrazioni dei teoremi contenuti nell'articolo limite di una funzione, perciò per fare riferimento a eventuali applicazioni si prega di fare riferimento alla relativa pagina.

Sia:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1}}$ e ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{2}}$

allora:

${\displaystyle l_{1}=l_{2}}$

La dimostrazione del teorema procede per assurdo. Presi:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1}}$ e ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{2}}$

con ${\displaystyle l_{1}\neq l_{2}}$, allora esistono due intorni ${\displaystyle V_{1}}$ di ${\displaystyle l_{1}}$ e ${\displaystyle V_{2}}$ di ${\displaystyle l_{2}}$ tali che siano disgiunti (${\displaystyle V_{1}\cap V_{2}=\emptyset }$). Per definizione devono esistere due intorni ${\displaystyle U_{1}}$ e ${\displaystyle U_{2}}$ di ${\displaystyle x_{0}}$ per cui vale:

• ${\displaystyle f(x)\in V_{1}}$ se ${\displaystyle x\in U_{1}}$
• ${\displaystyle f(x)\in V_{2}}$ se ${\displaystyle x\in U_{2}}$

Dunque prendendo l'intorno di ${\displaystyle x_{0}}$ costruito come ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}}$, dovrebbe succedere, contemporaneamente, che ${\displaystyle f(x)\in V_{1}}$ e ${\displaystyle f(x)\in V_{2}}$, il che è assurdo. Da tali procedimenti si è arrivati a dire che, nonostante siano stati presi due intorni disgiunti dei limiti, l'intersezione tra gli intorni non è vuota, cioè praticamente non esistono intorni disgiunti dei limiti. Questo però, per la proprietà di separazione (o di Hausdorff), deve sempre accadere se i limiti sono distinti, in conclusione allora i limiti devono per forza essere uguali.

Se il limite della funzione risulta positivo allora anche la funzione è positiva.

Sia ${\displaystyle f}$ una funzione continua nel suo dominio, ${\displaystyle f:X\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ e ${\displaystyle x_{0},l\in \mathbb {R} ^{*}}$ con ${\displaystyle x_{0}}$ di accumulazione per ${\displaystyle X}$, allora:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l>0\,(<0)\to f(x)>0\,(<0){\mbox{ per }}x\to x_{0}}$

Infatti, si ponga ${\displaystyle l\in \mathbb {R} ,\,l>0}$. Preso l'intorno ${\displaystyle V=(l-\varepsilon ;l+\varepsilon )}$ con ${\displaystyle 0<\varepsilon <l}$. Allora, per definizione di limite, esiste un intorno ${\displaystyle U}$ di ${\displaystyle x_{0}}$, per il quale:

${\displaystyle f(x)\in V\qquad \forall x\in U\cap X\backslash \left\{x_{0}\right\}}$

cioè:

${\displaystyle l+\varepsilon >f(x)>l-\varepsilon >0}$

È possibile eseguire la stessa dimostrazione per ${\displaystyle +\infty }$ e ${\displaystyle -\infty }$.

Siano ${\displaystyle f,g,h:X\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, ${\displaystyle f,g,h\in C^{0}(X;\mathbb {R} )}$, e ${\displaystyle x_{0}}$ un punto di accumulazione per ${\displaystyle X}$. Se:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=\lim _{x\to x_{0}}h(x)=l}$

e se esiste un intorno ${\displaystyle U}$ di ${\displaystyle x_{0}}$ tale che risulti:

${\displaystyle f(x)\leq g(x)\leq h(x)\qquad \forall x\in U\cap X\backslash \left\{x_{0}\right\}}$

allora:

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}g(x)=l}$

Sia ${\displaystyle l\in \mathbb {R} }$. Preso un intorno ${\displaystyle V}$ di ${\displaystyle l}$, ${\displaystyle (l-\varepsilon ,l+\varepsilon )}$ esistono intorni ${\displaystyle U_{1}}$ e ${\displaystyle U_{2}}$ di ${\displaystyle x_{0}}$.

Per definizione si ha:

${\displaystyle x\neq x_{0}\in U_{1}\to f(x)\in V\qquad x\neq x_{0}\in U_{2}\to h(x)\in V}$

Allora, preso l'intorno ${\displaystyle U=U_{1}\cap U_{2}}$ di ${\displaystyle x_{0}}$, succede, per ipotesi, che:

${\displaystyle l-\varepsilon \leq f(x)\leq g(x)\leq h(x)\leq l+\varepsilon }$

cioè:

${\displaystyle x\in U\backslash \left\{x_{0}\right\}\to g(x)\in V}$

Del tutto analoga la dimostrazione per i casi ${\displaystyle l=\pm \infty }$, ma in questi due casi, basterà sono una funzione che maggiori (o minori) la funzione che si sta studiando.

Lo stesso argomento in dettaglio: Operazioni con i limiti.

Sia ${\displaystyle f:X_{f}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,g:X_{g}\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\,X_{f}\cap X_{g}\neq \varnothing }$ e ${\displaystyle x_{0}}$ un punto di accumulazione per ${\displaystyle X_{f},\,X_{g}}$.

Se esistono

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)=l_{1}\qquad \lim _{x\to x_{0}}g(x)=l_{2}}$

allora:

• ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(c\cdot f(x))=c\cdot l_{1}\qquad c\in \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)\pm g(x))=l_{1}\pm l_{2}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}(f(x)\cdot g(x))=l_{1}\cdot l_{2}}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{1 \over f(x)}={1 \over l_{1}}\qquad l_{1}\neq 0}$
• ${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{f(x) \over g(x)}={l_{1} \over l_{2}}\qquad l_{2}\neq 0}$

• (EN) Miller, N. Limits Waltham, MA: Blaisdell, 1964
• (EN) R. Courant, Differential and integral calculus , 1–2 , Blackie (1948)

• Limite di una funzione
• Operazioni con i limiti

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