Iniziò a giocare a calcio nella squadra giovanile del Valencia, in cui militò dal 1995 al 1997 disputando 68 partite. Nei due anni successivi giocò per il Villarreal, dove riuscì ad imporsi. Tornato al Valencia per fare il secondo a Santiago Cañizares, in sei stagioni giocò soltanto 60 partite.
Nel 2005 arrivò la svolta della sua carriera: venne ingaggiato dal Siviglia come portiere titolare. Qui ottenne successi sia in Spagna sia in ambito continentale.
Il 25 agosto 2007, durante la partita Siviglia-Getafe, Antonio Puerta, giocatore spagnolo del Siviglia, ebbe un arresto cardiaco; il giocatore venne soccorso da Palop e Ivica Dragutinović, che gli impedirono di soffocare con la sua stessa lingua. Tre giorni dopo Puerta morì.
Durante la partita contro lo Šakhtar, valida per gli ottavi di finale della Coppa UEFA 2006-2007, Palop segnò una rete, durante il forcing effettuato dal Siviglia nei minuti di recupero. Palop fu protagonista del successo degli andalusi nella competizione, parando anche tre dei quattro rigori in finale contro l'Espanyol.
Il 21 aprile 2014 comunicò il proprio ritiro dal calcio professionistico.
Nazionale
Entrò a far parte della nazionale spagnola prendendo il posto di Santiago Cañizares (che si era ritirato dalla nazionale) dopo il campionato del mondo del 2006. In qualità di terzo portiere, ha fatto parte della selezione spagnola che ha vinto il campionato d'Europa 2008. Nella premiazione della finale vestì la maglia di Luis Miguel Arconada in omaggio all'ex portiere e capitano della nazionale spagnola degli anni '80; intervistato, Palop disse:
«Arconada si merita un omaggio importante. Ho avuto l'opportunità di ricevere la sua maglia, l'ho portata e mi ero ripromesso che se avessimo alzato la coppa l'avrei indossata, perché storicamente è ricordato per una sua papera, però è giusto che sia ricordato perché fu anche un grande portiere e fece grandi parate, sia per la sua squadra che per la maglia che porto.[2]»
