La capacità del sonar nella scoperta di bersagli in presenza di elevato rumore ambiente è dovuta all'impiego di processi di correlazione[1] caratterizzati dai loro algoritmi.
Gli algoritmi di correlazione [N 1][2] nel rilevamento sonar sono gli strumenti matematici usati per descrivere il comportamento dei sistemi di correlazione[N 2].
Gli algoritmi di correlazione, implementati in hardware o in software negli apparati di localizzazione subacquea, consentono di scoprire in mare segnali acustici altrimenti difficilmente rivelabili.
Il correlatore ha lo scopo di rivelare segnali coerenti tra loro[N 3]; riceve una coppia di questi, l’uno ritardato di τ τ --> ∗ ∗ --> {\displaystyle \tau *} rispetto all'altro e potenzialmente inquinati dal disturbo, li moltiplica tra loro o in modo analogico o in modo digitale, ne integra il prodotto per fornire in uscita una tensione od un valore numerico C ( τ τ --> ) {\displaystyle C(\tau )} , funzione del ritardo τ τ --> {\displaystyle \tau } generato nel correlatore, che indica il grado di coerenza dei segnali ed il loro stato rispetto al rumore.
I correlatori sono definiti da due tipi di algoritmi:
L'algoritmo calcola la funzione di correlazione analogica C ( τ τ --> ) {\displaystyle C(\tau )} tra due segnali di rumore di ampiezza S {\displaystyle S} , definiti in banda di frequenza F 1 , F 2 {\displaystyle F_{1}\ ,\ F_{2}} ritardati l'uno dall'altro di un tempo τ τ --> ∗ ∗ --> {\displaystyle \tau *} . Il valore massimo di C ( τ τ --> ) {\displaystyle C(\tau )} si avrà per τ τ --> = τ τ --> ∗ ∗ --> {\displaystyle \tau \ =\ \tau *}
C ( τ τ --> ) = S [ sin --> ( 2 ⋅ ⋅ --> π π --> ⋅ ⋅ --> D F ⋅ ⋅ --> { τ τ --> − − --> τ τ --> ∗ ∗ --> } ) ⋅ ⋅ --> cos --> ( 2 ⋅ ⋅ --> π π --> ⋅ ⋅ --> F o ⋅ ⋅ --> { τ τ --> − − --> τ τ --> ∗ ∗ --> } ) ( 2 ⋅ ⋅ --> π π --> ⋅ ⋅ --> D F ⋅ ⋅ --> { τ τ --> − − --> τ τ --> ∗ ∗ --> } ) ] {\displaystyle C(\tau )=S\left[{\frac {\sin \ (2\cdot \pi \cdot DF\cdot \{\tau -\tau *\})\cdot \cos \ (2\cdot \pi \cdot Fo\cdot \{\tau -\tau *\})}{(2\cdot \pi \cdot DF\cdot \{\tau -\tau *\})}}\right]\ \ \ } [N 6][4]
Lo sviluppo di C ( τ τ --> ) {\displaystyle C(\tau )} per:
S = 1 {\displaystyle S=1}
F 1 = 7000 H z {\displaystyle F_{1}=7000\ Hz}
F 2 = 10000 H z {\displaystyle F_{2}=10000\ Hz}
τ τ --> ∗ ∗ --> = 500 μ μ --> s {\displaystyle \tau *=500\ \mu s}
dove D F = ( F 2 − − --> F 1 ) / 2 e F o = ( F 2 + F 1 ) / 2 {\displaystyle DF=(F_{2}-F_{1})/2\ \ e\ \ Fo=(F_{2}+F_{1})/2}
trova il massimo di C ( τ τ --> ) {\displaystyle C(\tau )} per τ τ --> = 500 μ μ --> s {\displaystyle \tau =500\ \mu s}
Il trattamento dei segnali con il correlatore analogico consente il massimo guadagno nel rapporto S / N {\displaystyle S/N} . [N 7] rispetto ad altri modelli di correlazione; ciò al prezzo di una complessa implementazione nei sistemi di calcolo.
L'ampiezza della C ( τ τ --> ) {\displaystyle C(\tau )} dipende dall'ampiezza del segnale applicato al correlatore, il disturbo N {\displaystyle N} ne provoca un'ondulazione anomala, ondulazione tanto più ampia quanto il rapporto S / N {\displaystyle S/N} è piccolo.
L'algoritmo che consente il calcolo dell'ampiezza dell'ondulazione N v {\displaystyle Nv} all'uscita del correlatore, definita come varianza, è dato dall'espressione:
N v = ( S 2 + N 2 ) 2 + S 4 4 ⋅ ⋅ --> R C ⋅ ⋅ --> D F {\displaystyle Nv={\sqrt[{}]{\frac {(S^{2}+N^{2})^{2}+S^{4}}{4\cdot RC\cdot DF}}}}
dove:
D F {\displaystyle DF} = metà della larghezza di banda del ricevitore che definisce i segnali.
S {\displaystyle S} = è l'ampiezza dei segnali applicati
N {\displaystyle N} = è l'ampiezza del rumore che inquina il segnale
R C {\displaystyle RC} = è la costante di tempo d'integrazione, espressa in secondi, facente parte del sistema di correlazione.
Le grandezze di S ; N ; N v {\displaystyle S;N;Nv} , per un correlatore di tipo analogico, sono in volt eff.
L'ampiezza della varianza N v {\displaystyle Nv} dipende, oltre che dal rapporto S / N {\displaystyle S/N} , anche dal valore della costante di tempo R C {\displaystyle RC} , maggiore il valore di R C {\displaystyle RC} minore ne è l'ampiezza. [N 8]
Il valore di R C {\displaystyle RC} determina anche la velocità di risposta del correlatore, più è elevato più la velocità si riduce. Un giusto compromesso deve essere scelto in base alle necessità operative del sonar.
L'algoritmo calcola la funzione di correlazione digitale C ( τ τ --> ) x {\displaystyle C(\tau )_{x}} tra due segnali S {\displaystyle S} di rumore limitati in ampiezza tra 0 e + 1 {\displaystyle 0\ e\ +1} definiti in banda di frequenza F 1 , F 2 {\displaystyle F_{1}\ ,\ F_{2}} ritardati l'uno dall'altro di un tempo τ τ --> ∗ ∗ --> {\displaystyle \tau *} . Il valore massimo di C ( τ τ --> ) x {\displaystyle C(\tau )_{x}} si avrà per τ τ --> = τ τ --> ∗ ∗ --> {\displaystyle \tau \ =\ \tau *}
C ( τ τ --> ) x = ( 2 / π π --> ) arcsin --> [ K sin --> ( 2 ⋅ ⋅ --> π π --> ⋅ ⋅ --> D F ⋅ ⋅ --> { τ τ --> − − --> τ τ --> ∗ ∗ --> } ) ⋅ ⋅ --> cos --> ( 2 ⋅ ⋅ --> π π --> ⋅ ⋅ --> F o ⋅ ⋅ --> { τ τ --> − − --> τ τ --> ∗ ∗ --> } ) ( 2 ⋅ ⋅ --> π π --> ⋅ ⋅ --> D F ⋅ ⋅ --> { τ τ --> − − --> τ τ --> ∗ ∗ --> } ) ] {\displaystyle C(\tau )_{x}=(2/\pi )\arcsin \left[K\ {\frac {\sin \ (2\cdot \pi \cdot DF\cdot \{\tau -\tau *\})\cdot \cos \ (2\cdot \pi \cdot Fo\cdot \{\tau -\tau *\})}{(2\cdot \pi \cdot DF\cdot \{\tau -\tau *\})}}\right]\ \ \ }
L'algoritmo di correlazione o funzione di correlazione digitale [N 9] C ( τ τ --> ) x {\displaystyle C(\tau )_{x}} mostra la legge di variazione dell'ampiezza del segnale d'uscita di un correlatore.
F o {\displaystyle F_{o}} = frequenza media della banda.
K {\displaystyle K} = funzione che dipende dal rapporto tra le ampiezze dei segnali S {\displaystyle S} e l’ampiezza del disturbo N {\displaystyle N} secondo l’espressione: K = 1 1 + ( N / S ) 2 {\displaystyle K={\frac {1}{1+(N/S)^{2}}}} [N 10]
Il massimo della curva indica che i segnali applicati al correlatore sono tra loro coerenti; l'ascissa del massimo, indica il valore del ritardo esistente tra i due segnali.
Il trattamento dei segnali con la funzione indicata porta ad una perdita di circa 3 d B {\displaystyle 3\ dB} sul rapporto S / N {\displaystyle S/N} rispetto al precedente trattamento analogico; con il vantaggio, molto importante, di una notevole semplificazione dell'hardware e dei processi di calcolo.
L'ampiezza della C ( τ τ --> ) x {\displaystyle C(\tau )_{x}} , nel correlatore digitale, non dipende dall'ampiezza del segnale applicato al correlatore ma dal disturbo N {\displaystyle N} che ne provoca una riduzione, riduzione tanto più penalizzante quanto il rapporto S / N {\displaystyle S/N} è piccolo.
Per rapporti S / N {\displaystyle S/N} elevati la funzione C ( τ τ --> ) x {\displaystyle C(\tau )_{x}} ha ampiezza elevata e segue il profilo della funzione arcsin --> x {\displaystyle \arcsin x} .
Per rapporti S / N {\displaystyle S/N} bassi la funzione C ( τ τ --> ) x {\displaystyle C(\tau )_{x}} ha ampiezza bassa e segue il profilo della funzione sin --> x / x {\displaystyle \sin x/x} .
L'algoritmo che consente il calcolo della variazione d'ampiezza della C ( τ τ --> ) x {\displaystyle C(\tau )_{x}} per τ τ --> = 0 {\displaystyle \tau =0} , è dato dall'espressione:
C ( 0 ) x = 2 π π --> arcsin --> 1 1 + ( N / S ) 2 {\displaystyle C(0)_{x}={\frac {2}{\pi }}\arcsin {\frac {1}{1+(N/S)^{2}}}}
Se il disturbo N {\displaystyle N} è assente K = 1 {\displaystyle K=1} e la C ( τ τ --> ) x {\displaystyle C(\tau )_{x}} ha il massimo valore.
Se il disturbo N {\displaystyle N} è presente l'ampiezza della C ( τ τ --> ) x {\displaystyle C(\tau )_{x}} si riduce sensibilmente.
Il processo di correlazione digitale genera un rumore d'uscita N i {\displaystyle Ni} , indicato come varianza, indipendente dall'ampiezza dei rumori d'ingresso, sempre presente all'uscita di un correlatore di questo tipo.
N i {\displaystyle Ni} è governato dall'algoritmo:
N i = ( 2 / π π --> ) 1 6 / 7 ⋅ ⋅ --> 4 ⋅ ⋅ --> R C ⋅ ⋅ --> D F {\displaystyle Ni=(2/\pi ){\sqrt[{}]{\frac {1}{6/7\cdot 4\cdot RC\cdot DF}}}}
L'ampiezza della varianza N i {\displaystyle Ni} dipende dal valore della costante di tempo R C {\displaystyle RC} , maggiore il valore di R C {\displaystyle RC} minore ne è l'ampiezza.
Il valore di R C {\displaystyle RC} determina anche la velocità di risposta del correlatore, più è elevato più la velocità si riduce, Un giusto compromesso deve essere scelto in base alle necessità operative del sonar.
Per S / N {\displaystyle S/N} decrescente la C ( τ τ --> ) x {\displaystyle C(\tau )_{x}} decresce fino al suo azzeramento.
Nell'impiego degli algoritmi di correlazione, per rapporti S / N {\displaystyle S/N} molto piccoli, intervengono altre serie di variabili non deterministiche:
P r i v = x % % --> {\displaystyle Priv=x\ \%} , percentuale di probabilità di rivelare il segnale
P f a = y % % --> {\displaystyle Pfa=y\ \%} , percentuale di probabilità che il rumore provochi una falsa presenza di un segnale
Il legame tra queste e il rapporto S / N {\displaystyle S/N} dipende da un caratteristico parametro probabilistico d {\displaystyle d} .
L’impiego delle variabili probabilistiche presenta alcune difficoltà per chi non è addetto agli studi di statistica; un ragionevole approccio semplificativo è sviluppato nel testo di Urick[5]
Il parametro d {\displaystyle d} è legato alle espressioni:
d = f ( P r i v , P f a ) {\displaystyle d=f(Priv,Pfa)}
e
( S N ) 4 = d 2 R C ( f 2 − − --> f 1 ) {\displaystyle ({\frac {S}{N}})^{4}={\frac {d}{2RC(f_{2}-f_{1})}}}
Il valore del parametro d {\displaystyle d} è fondamentale nel calcolo delle portate di scoperta del sonar.
N° FASCI Selenia
Sonar FALCON
Schemi sonar FALCON
Testo discorsivo sul sonar
testo tecnico sulla Correlazione
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