La capacità del sonar nella scoperta di bersagli in presenza di elevato rumore ambiente è dovuta all'impiego di processi di correlazione^[1] caratterizzati dai loro algoritmi.

Gli algoritmi di correlazione ^{[N 1][2]} nel rilevamento sonar sono gli strumenti matematici usati per descrivere il comportamento dei sistemi di correlazione^{[N 2]}.

Gli algoritmi di correlazione, implementati in hardware o in software negli apparati di localizzazione subacquea, consentono di scoprire in mare segnali acustici altrimenti difficilmente rivelabili.

Il correlatore ha lo scopo di rivelare segnali coerenti tra loro^{[N 3]}; riceve una coppia di questi, l’uno ritardato di ${\displaystyle \tau *}$ rispetto all'altro e potenzialmente inquinati dal disturbo, li moltiplica tra loro o in modo analogico o in modo digitale, ne integra il prodotto per fornire in uscita una tensione od un valore numerico ${\displaystyle C(\tau )}$, funzione del ritardo ${\displaystyle \tau }$ generato nel correlatore, che indica il grado di coerenza dei segnali ed il loro stato rispetto al rumore.

I correlatori sono definiti da due tipi di algoritmi:

• Algoritmo di correlazione per segnali analogici ^{[N 4]}
• Algoritmo di correlazione per segnali digitali ^{[N 5]}

L'algoritmo calcola la funzione di correlazione analogica ${\displaystyle C(\tau )}$ tra due segnali di rumore di ampiezza ${\displaystyle S}$ , definiti in banda di frequenza ${\displaystyle F_{1}\ ,\ F_{2}}$ ritardati l'uno dall'altro di un tempo ${\displaystyle \tau *}$. Il valore massimo di ${\displaystyle C(\tau )}$ si avrà per ${\displaystyle \tau \ =\ \tau *}$

${\displaystyle C(\tau )=S\left[{\frac {\sin \ (2\cdot \pi \cdot DF\cdot \{\tau -\tau *\})\cdot \cos \ (2\cdot \pi \cdot Fo\cdot \{\tau -\tau *\})}{(2\cdot \pi \cdot DF\cdot \{\tau -\tau *\})}}\right]\ \ \ }$ ^{[N 6][4]}

Lo sviluppo di ${\displaystyle C(\tau )}$ per:

${\displaystyle S=1}$

${\displaystyle F_{1}=7000\ Hz}$

${\displaystyle F_{2}=10000\ Hz}$

${\displaystyle \tau *=500\ \mu s}$

dove ${\displaystyle DF=(F_{2}-F_{1})/2\ \ e\ \ Fo=(F_{2}+F_{1})/2}$

trova il massimo di ${\displaystyle C(\tau )}$ per ${\displaystyle \tau =500\ \mu s}$

Il trattamento dei segnali con il correlatore analogico consente il massimo guadagno nel rapporto ${\displaystyle S/N}$. ^{[N 7]} rispetto ad altri modelli di correlazione; ciò al prezzo di una complessa implementazione nei sistemi di calcolo.

L'ampiezza della ${\displaystyle C(\tau )}$ dipende dall'ampiezza del segnale applicato al correlatore, il disturbo ${\displaystyle N}$ ne provoca un'ondulazione anomala, ondulazione tanto più ampia quanto il rapporto ${\displaystyle S/N}$ è piccolo.

L'algoritmo che consente il calcolo dell'ampiezza dell'ondulazione ${\displaystyle Nv}$ all'uscita del correlatore, definita come varianza, è dato dall'espressione:

${\displaystyle Nv={\sqrt[{}]{\frac {(S^{2}+N^{2})^{2}+S^{4}}{4\cdot RC\cdot DF}}}}$

dove:

${\displaystyle DF}$ = metà della larghezza di banda del ricevitore che definisce i segnali.

${\displaystyle S}$ = è l'ampiezza dei segnali applicati

${\displaystyle N}$ = è l'ampiezza del rumore che inquina il segnale

${\displaystyle RC}$ = è la costante di tempo d'integrazione, espressa in secondi, facente parte del sistema di correlazione.

Le grandezze di ${\displaystyle S;N;Nv}$, per un correlatore di tipo analogico, sono in volt eff.

L'ampiezza della varianza ${\displaystyle Nv}$ dipende, oltre che dal rapporto ${\displaystyle S/N}$, anche dal valore della costante di tempo ${\displaystyle RC}$, maggiore il valore di ${\displaystyle RC}$ minore ne è l'ampiezza. ^{[N 8]}

Il valore di ${\displaystyle RC}$ determina anche la velocità di risposta del correlatore, più è elevato più la velocità si riduce. Un giusto compromesso deve essere scelto in base alle necessità operative del sonar.

L'algoritmo calcola la funzione di correlazione digitale ${\displaystyle C(\tau )_{x}}$ tra due segnali ${\displaystyle S}$ di rumore limitati in ampiezza tra ${\displaystyle 0\ e\ +1}$ definiti in banda di frequenza ${\displaystyle F_{1}\ ,\ F_{2}}$ ritardati l'uno dall'altro di un tempo ${\displaystyle \tau *}$. Il valore massimo di ${\displaystyle C(\tau )_{x}}$ si avrà per ${\displaystyle \tau \ =\ \tau *}$

${\displaystyle C(\tau )_{x}=(2/\pi )\arcsin \left[K\ {\frac {\sin \ (2\cdot \pi \cdot DF\cdot \{\tau -\tau *\})\cdot \cos \ (2\cdot \pi \cdot Fo\cdot \{\tau -\tau *\})}{(2\cdot \pi \cdot DF\cdot \{\tau -\tau *\})}}\right]\ \ \ }$

L'algoritmo di correlazione o funzione di correlazione digitale ^{[N 9]} ${\displaystyle C(\tau )_{x}}$ mostra la legge di variazione dell'ampiezza del segnale d'uscita di un correlatore.

dove:

${\displaystyle DF}$ = metà della larghezza di banda del ricevitore che definisce i segnali.

${\displaystyle F_{o}}$ = frequenza media della banda.

${\displaystyle K}$ = funzione che dipende dal rapporto tra le ampiezze dei segnali ${\displaystyle S}$ e l’ampiezza del disturbo ${\displaystyle N}$ secondo l’espressione: ${\displaystyle K={\frac {1}{1+(N/S)^{2}}}}$ ^{[N 10]}

Il massimo della curva indica che i segnali applicati al correlatore sono tra loro coerenti; l'ascissa del massimo, indica il valore del ritardo esistente tra i due segnali.

Il trattamento dei segnali con la funzione indicata porta ad una perdita di circa ${\displaystyle 3\ dB}$ sul rapporto ${\displaystyle S/N}$ rispetto al precedente trattamento analogico; con il vantaggio, molto importante, di una notevole semplificazione dell'hardware e dei processi di calcolo.

Curva tipica di ${\displaystyle C(\tau )_{x}}$ per ${\displaystyle S/N=1/2.5}$

Variazione ${\displaystyle C(\tau )_{x}}$ per ${\displaystyle S/N}$ variabile da ${\displaystyle S/N=1/1000}$ ${\displaystyle (-\ 60\ dB)}$ a ${\displaystyle S/N=1000}$ ${\displaystyle (+\ 60\ dB)}$

L'ampiezza della ${\displaystyle C(\tau )_{x}}$, nel correlatore digitale, non dipende dall'ampiezza del segnale applicato al correlatore ma dal disturbo ${\displaystyle N}$ che ne provoca una riduzione, riduzione tanto più penalizzante quanto il rapporto ${\displaystyle S/N}$ è piccolo.

Per rapporti ${\displaystyle S/N}$ elevati la funzione ${\displaystyle C(\tau )_{x}}$ ha ampiezza elevata e segue il profilo della funzione ${\displaystyle \arcsin x}$.

Per rapporti ${\displaystyle S/N}$ bassi la funzione ${\displaystyle C(\tau )_{x}}$ ha ampiezza bassa e segue il profilo della funzione ${\displaystyle \sin x/x}$.

L'algoritmo che consente il calcolo della variazione d'ampiezza della ${\displaystyle C(\tau )_{x}}$ per ${\displaystyle \tau =0}$, è dato dall'espressione:

${\displaystyle C(0)_{x}={\frac {2}{\pi }}\arcsin {\frac {1}{1+(N/S)^{2}}}}$

Se il disturbo ${\displaystyle N}$ è assente ${\displaystyle K=1}$ e la ${\displaystyle C(\tau )_{x}}$ ha il massimo valore.

Se il disturbo ${\displaystyle N}$ è presente l'ampiezza della ${\displaystyle C(\tau )_{x}}$ si riduce sensibilmente.

Il processo di correlazione digitale genera un rumore d'uscita ${\displaystyle Ni}$, indicato come varianza, indipendente dall'ampiezza dei rumori d'ingresso, sempre presente all'uscita di un correlatore di questo tipo.

${\displaystyle Ni}$ è governato dall'algoritmo:

${\displaystyle Ni=(2/\pi ){\sqrt[{}]{\frac {1}{6/7\cdot 4\cdot RC\cdot DF}}}}$

L'ampiezza della varianza ${\displaystyle Ni}$ dipende dal valore della costante di tempo ${\displaystyle RC}$, maggiore il valore di ${\displaystyle RC}$ minore ne è l'ampiezza.

Il valore di ${\displaystyle RC}$ determina anche la velocità di risposta del correlatore, più è elevato più la velocità si riduce, Un giusto compromesso deve essere scelto in base alle necessità operative del sonar.

Per ${\displaystyle S/N}$ decrescente la ${\displaystyle C(\tau )_{x}}$ decresce fino al suo azzeramento.

Nell'impiego degli algoritmi di correlazione, per rapporti ${\displaystyle S/N}$ molto piccoli, intervengono altre serie di variabili non deterministiche:

${\displaystyle Priv=x\ \%}$, percentuale di probabilità di rivelare il segnale

${\displaystyle Pfa=y\ \%}$, percentuale di probabilità che il rumore provochi una falsa presenza di un segnale

Il legame tra queste e il rapporto ${\displaystyle S/N}$ dipende da un caratteristico parametro probabilistico ${\displaystyle d}$.

L’impiego delle variabili probabilistiche presenta alcune difficoltà per chi non è addetto agli studi di statistica; un ragionevole approccio semplificativo è sviluppato nel testo di Urick^[5]

Il parametro ${\displaystyle d}$ è legato alle espressioni:

${\displaystyle d=f(Priv,Pfa)}$

e

${\displaystyle ({\frac {S}{N}})^{4}={\frac {d}{2RC(f_{2}-f_{1})}}}$

dove:

${\displaystyle RC}$ è la costante d'integrazione del correlatore

${\displaystyle f_{2}-f_{1}}$ è la larghezza di banda del ricevitore

Il valore del parametro ${\displaystyle d}$ è fondamentale nel calcolo delle portate di scoperta del sonar.

Annotazioni

Fonti

• (EN) James J. Faran Jr e Robert Hills Jr, Correlators for signal reception, in Office of Naval Research (contract n5 ori-76 project order x technical memorandum no. 27), Cambridge, Massachusetts, Acoustics Research Laboratory Division of Applied Science Harvard University, 1952.

• (EN) James J. Faran Jr e Robert Hills Jr, The application of correlation techniques to acoustic receiving systems, in Office of Naval Research (contract n5 ori-76 project order x technical memorandum no. 28), Cambridge, Massachusetts, Acoustics Research Laboratory Division of Applied Science Harvard University, 1952.

• C. Del Turco, La correlazione, Tip. Moderna La Spezia, 1992.

• (EN) Robert J. Urick, Principles of underwater sound, 3ª ed., Mc Graw – Hill, 1968.

N° FASCI Selenia

Sonar FALCON

Schemi sonar FALCON

Testo discorsivo sul sonar

testo tecnico sulla Correlazione