Dopo essere cresciuto nel settore giovanile del Milan, a cui è approdato a 6 anni, ed essersi imposto come uno dei migliori talenti del vivaio rossonero (primo giocatore nato negli anni 2000 ad essere convocato in Serie A), nella stagione 2016-2017 viene aggregato alla prima squadra.[2] Il 23 dicembre 2016 vince, pur senza scendere in campo, la Supercoppa italiana contro la Juventus ai rigori per 5-4.
Il 4 luglio 2017 viene ceduto in prestito alla Ternana, militante in Serie B.[3] Il 6 agosto 2017, a 17 anni, fa il suo esordio tra i professionisti, in occasione della partita di Coppa Italia persa contro il Trapani per 0-1, offrendo una buona prestazione.[4] Venti giorni dopo debutta nella serie cadetta, nel pareggio casalingo contro l'Empoli.[5]
Nel mese di ottobre subisce la frattura del piede sinistro, subendo tre settimane di stop forzato.[6] Ottiene 19 presenze in campionato, in una stagione che vede la squadra umbra retrocedere in Serie C, piazzandosi all'ultimo posto in classifica.[7][8]
Nella stagione 2018-2019 ritorna al Milan, dove ricopre il ruolo di quarto portiere dietro Gianluigi Donnarumma, Reina e Antonio Donnarumma. In questa stagione non ottiene nessuna presenza con la prima squadra.
Il 1º agosto 2019 viene girato in prestito annuale al Livorno in Serie B.[9][10][11] Esordisce il 5 ottobre 2019 in occasione della partita casalinga persa contro il Chievo. Ottiene 21 presenze in campionato, ma il Livorno termina ultimo in classifica e retrocede in Serie C con largo anticipo.
Il 21 agosto 2020 viene ceduto in prestito alla Reggina, squadra neo promossa in Serie B.[12][13] Ottiene solo 10 presenze in campionato e al termine della stagione fa ritorno al Milan.
Inizia la stagione 2021-2022 come terzo portiere del Milan, dietro Mike Maignan e Ciprian Tătărușanu. Il 29 gennaio 2022,passa in prestito al Lecce, in Serie B,[14][15] con cui esordisce il 12 marzo, nella sfida di Serie B Lecce-Brescia (1-1), tornando in campo dopo più di quattordici mesi. Colleziona 3 presenze nel campionato vinto dai salentini, promossi in Serie A alla fine della stagione.
Il 26 luglio 2022 si trasferisce a titolo definitivo al Pescara, in Serie C, lasciando quindi il Milan dopo sedici anni.[16][17]
Il 30 agosto 2024 Plizzari viene ceduto al Venezia[18] ma la stessa società lagunare decide di mantenerlo in prestito al Pescara fino a giugno 2025.[19]
Nel 2017, a soli 17 anni, viene inserito tra i convocati della nazionale Under-20 dal CTAlberico Evani in occasione del Mondiale Under-20 in Corea del Sud.[21][22] Viene impiegato unicamente nella finale per il 3º/4º posto della rassegna iridata, contro l'Uruguay, dove si rende protagonista parando due rigori nella serie conclusiva che permettono così all'Italia di conquistare il terzo posto.[23]
Il 19 maggio 2018 riceve la prima convocazione in nazionale Under-21, per le partite amichevoli contro Portogallo e Francia[24] nelle quali non viene impiegato.
Con la nazionale Under-19 nel luglio 2018 partecipa all'Europeo Under-19, dove ottiene il secondo posto dopo la finale persa ai supplementari contro il Portogallo.
^Plizzari nuovo acquisto del Livorno, su livornocalcio.it, 1º agosto 2019. URL consultato il 7 settembre 2020 (archiviato dall'url originale il 7 settembre 2020).
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