A Waring-probléma az additív számelmélet egyik alapfeladata, azzal foglalkozik, hogy hány darab k-adik hatvány (nem negatív egész szám k-adik hatványa) szükséges egy tetszőleges pozitív egész összegként való előállításához. Itt k egynél nagyobb egész. Waring sejtése szerint minden k>1 számhoz van olyan g(k) szám, hogy minden természetes szám előáll g(k) k-adik hatvány összegeként. (Itt mindegy, hogy legfeljebb, vagy pontosan g(k) tagot követelünk, mert az összeget mindig kiegészíthetjük tetszőlegesen sok ${\displaystyle 0^{k}}$ taggal). Hilbert 1909-ben igazolta, hogy g(k) létezik minden k-ra. Mára apró bizonytalanságtól eltekintve minden k-ra ismerjük g(k) értékét. Legkésőbb g(4)=19-t igazolták 1986-ban. Hilbert bizonyítási eljárásának jelentős leegyszerűsítése a magyar Kürschák József nevéhez fűződik.

Edward Waring 1770-ben kiadott Meditationes Algebraicae című könyvében publikálta azt az észrevételét, hogy „Omnis integer numerus vel est cubus; vel e duobus, tribus, 4, 5, 6, 7, 8, vel novem cubus compositus: est etiam quadratoquadratus; vel e duobus, tribus etc. usque ad novemdecim compositus et sic deinceps.” azaz minden szám előáll kilenc köbszám, tizenkilenc negyedik hatvány stb. összegeként. A modern matematika ezt úgy fogalmazza meg, hogy minden ${\displaystyle k\geq 2}$ természetes számhoz megadható egy csak k-tól függő s(k) szám, hogy minden természetes szám előáll legfeljebb s(k) k-adik hatvány összegeként, azaz a k-adik hatványok sorozata bázist alkot. Hagyományosan g(k)-val jelölik s(k) legkisebb értékét.

Még 1770-ben igazolta Lagrange azt a régi sejtést, hogy minden természetes szám négy négyzetszám összege, azaz g(2)=4 (a négynégyzetszám-tétel).

${\displaystyle g(k)\geq 2^{k}+\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor -2}$

ahol ${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$ az x szám alsó egészrészét jelöli.

Ez a korlát úgy adódik, hogy mutatunk egy számot, aminek az előállításához legalább ennyi k-adik hatvány szükséges. Legyen

${\displaystyle r=\left\lfloor \left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\right\rfloor .}$

Ekkor az ${\displaystyle n=r\cdot 2^{k}-1}$ számot csak ${\displaystyle 1^{k}}$ és ${\displaystyle 2^{k}}$ tagokkal tudjuk előállítani, mivel ${\displaystyle n<r\cdot 2^{k}<{\frac {3^{k}}{2^{k}}}\cdot 2^{k}=3^{k}}$. De a tagok száma akkor a legkisebb, ha r-1 tag értéke ${\displaystyle 2^{k}}$ és ${\displaystyle 2^{k}-1}$ értéke 1. Azaz a tagok száma ${\displaystyle 2^{k}+r-2}$.

Liouville igazolta, hogy g(4) létezik, pontosabban, hogy minden természetes szám előáll 53 negyedik hatvány összegeként. Ehhez a

${\displaystyle 6(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})^{2}=\sum _{i<j}(x_{i}+x_{j})^{4}+(x_{i}-x_{j})^{4}}$

azonosságot használta fel. A jobb oldalon a negyedik hatványok száma 12. Ebből, Lagrange tételét használva, következik, hogy minden ${\displaystyle 6n^{2}}$ alakú szám felírható 12 negyedik hatvány összegeként. Ismét használva Lagrange eredményét, minden 6x alakú számot ${\displaystyle 6a^{2}+6b^{2}+6c^{2}+6d^{2}}$ alakban írhatunk és ez, az előbbiek szerint 48 negyedik hatvány összege. Végül egy tetszőleges számot egy 6x alakú szám és legfeljebb 5 egyes segítségével felírva adódik Liouville tétele.

Először E. Maillet igazolta 1895-ben, hogy g(3) létezik, sőt ${\displaystyle g(3)\leq 21}$. Ezt sokak javítása után 1909-ben Arthur Wieferich javította a pontos g(3)=9 értékre (egy esetet, amit Wieferich elnézett, Kempner 1912-ben zárt le).

Számos egyéb konkrét esetre igazolták g(k) létezését, ehhez nem egy esetben a fentihez hasonló azonosságokat használtak.

Fleck például ${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})^{3}}$-öt ki tudta fejteni, mint

${\displaystyle {\frac {1}{60}}\sum _{i<j<k}(x_{i}\pm x_{j}\pm x_{k})^{6}+{\frac {1}{30}}\sum _{i<j}(x_{i}\pm x_{j})^{6}+{\frac {3}{5}}\sum _{i}x_{i}^{6}}$

és ebből már levezethető g(6) létezése.

Hurwitz ${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})^{4}}$-ra igazolta, hogy egyenlő a következővel:

${\displaystyle {\frac {1}{840}}\sum (x_{1}\pm x_{2}\pm x_{3}\pm x_{4})^{8}+{\frac {1}{5040}}\sum _{i<j<k}(2x_{i}\pm x_{j}\pm x_{k})^{8}+{\frac {1}{84}}\sum _{i<j}(x_{i}\pm x_{j})^{8}+{\frac {1}{840}}\sum _{i}(2x_{i})^{8}}$

Hurwitz kimondta azt az általános sejtést is, hogy minden k-ra van

${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})^{k}=\sum _{i=1}^{M}a_{i}(b_{i,1}x_{1}+b_{i,2}x_{2}+b_{i,3}x_{3}+b_{i,4}x_{4})^{2k}}$

alakú azonosság, ahol az ${\displaystyle a_{i}}$-k pozitív racionális számok, a ${\displaystyle b_{i,j}}$-k pedig egészek.

Waring sejtését először Hilbert igazolta 1909-ben. Először is arra adott egzisztenciabizonyítást, hogy létezik, Hurwitz fenti sejtésében megfogalmazott típusú azonosság. Ezután számos egyéb azonosság létezését vezette le, majd k-ra indukcióval igazolta a tételt. Módszere alkalmatlan volt arra, hogy g(k)-ra bármilyen korlátot kapjon. Az 1920-as években Hardy és Littlewood a körmódszer segítségével számos új eredményt ért el, többek közt a ${\displaystyle g(k)=O(k2^{k})}$ becslést. Módszerük azon alapult, hogy analitikus eszközökkel becsléseket adtak az

${\displaystyle x_{1}^{k}+\cdots +x_{s}^{k}=N}$

egyenlet megoldásszámára. Eredményeiket erősen megjavította Vinogradov. Ennek nyomán Dickson, Pillai, Rubugunday és Niven lényegében meghatározta g(k) értékét minden ${\displaystyle k\geq 6}$-ra. Tételük szerint, ha

${\displaystyle 3^{k}-2^{k}+2<(2^{k}-1)\left\lfloor {\frac {3^{k}}{2^{k}}}\right\rfloor }$

akkor

${\displaystyle g(k)=2^{k}+\left\lfloor {\frac {3^{k}}{2^{k}}}\right\rfloor -2.}$

Ha viszont

${\displaystyle 3^{k}-2^{k}+2\geq (2^{k}-1)\left\lfloor {\frac {3^{k}}{2^{k}}}\right\rfloor }$

akkor legyen

${\displaystyle N(k)=\left\lfloor {\frac {3^{k}}{2^{k}}}\right\rfloor \cdot \left\lfloor {\frac {4^{k}}{3^{k}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {4^{k}}{3^{k}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {3^{k}}{2^{k}}}\right\rfloor .}$

Ekkor, ha ${\displaystyle 2^{k}<N(k)}$, akkor

${\displaystyle g(k)=\left\lfloor {\frac {3^{k}}{2^{k}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {4^{k}}{3^{k}}}\right\rfloor +2^{k}-3}$

ha pedig ${\displaystyle 2^{k}=N(k)}$, akkor

${\displaystyle g(k)=\left\lfloor {\frac {3^{k}}{2^{k}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {4^{k}}{3^{k}}}\right\rfloor +2^{k}-2}$

Stemmler (1964) szerint az első feltétel, így az első képlet teljesül minden ${\displaystyle k\leq 200000}$ értékre és Mahler 1957-ben igazolta, hogy véges kivétellel minden k értékre. Sejtjük, hogy k minden értékére teljesül.

Linnyik 1943-ban egy teljesen elemi bizonyítást publikált Hilbert tételére.

A g(4) = 19 egyenlőséget 1986-ban igazolta Balasubramanian, Dress, és Jean-Marc Deshouillers,^[1][2] g(5) = 37-et 1964-ben Chen Jingrun, végül g(6) = 73-at 1940-ben Subbayya Sivasankaranarayana Pillai.^[3]

1909-ben Landau publikálta azt a meglepő eredményt, hogy minden elegendő nagy szám már 8 köbszám összegeként is felírható. 1939-ben L. E. Dickson ezt úgy pontosította, hogy csak 23 és 239 a kivételek. Linnyik 1943-ban azt is igazolta, hogy minden elég nagy szám legfeljebb 7 köbszám összege. Minden jel szerint minden elég nagy szám már 4 köbszámmal is előállítható, sőt azt sejtik,^[4] hogy 7373170279850 a legnagyobb szám, ami nem írható fel 4 köbszám összegeként. Négy köbszám biztosan szükséges végtelen sok számhoz: mivel a 3-mal nem osztható számok köbe 9-cel osztva ${\displaystyle \pm 1}$-et ad maradékul, ilyenek azok a számok, amelyek 9-cel vett maradéka 4 vagy 5. Mindenesetre Davenport igazolta, hogy a négy köbszámmal nem előállítható számok száma x-ig ${\displaystyle O(x^{29/30+\varepsilon })}$ és ezt Brüdern ${\displaystyle O(x^{37/42+\varepsilon })}$-ra javította.

E jelenségek vizsgálatára vezette be Hardy és Littlewood a G(k) értéket, ami a legkisebb olyan m számot jelenti, hogy minden elég nagy természetes szám előáll m darab k-adik hatvány összegeként. Ennek hátterében egyrészt az áll, hogy, mint a fenti példán is láttuk, k>2-re csak kis számokhoz szükséges g(k) k-adik hatvány, később ez leesik egy jóval kisebb értékre, másrészt az analitikus eljárásokkal kapott becslések csak igen nagy számokra adnak jó eredményeket. Tudjuk tehát, hogy G(2)=4, mert, mint könnyen látható, végtelen sok szám (a ${\displaystyle 4^{x}(8y+7)}$ alakú számok) nem állíthatóak elő három négyzetszám összegeként.

G(k) pontos értéke a legtöbb esetben ismeretlen. A fentiek szerint G(3)-ról csak annyit tudunk hogy: ${\displaystyle 4\leq G(3)\leq 7}$. Könnyen látható, hogy ${\displaystyle G(k)\geq k+1}$ minden k>1-re, ugyanis a k darab k-adik hatvány összegeként felírható számok sorozatának felső sűrűsége legfeljebb ${\displaystyle 1/k!}$. Továbbá ${\displaystyle G(2^{k})\geq 2^{k+2}}$, ha ${\displaystyle k\geq 3}$, ugyanis a ${\displaystyle (2^{k+3}-1)(2^{k+2})^{n}}$ alakú számokhoz legalább ennyi ${\displaystyle 2^{k}}$-adik hatvány kell. De ekkor ${\displaystyle G(3\cdot 2^{k})\geq 2^{k+2}}$-nek is teljesülnie kell, hiszen minden ${\displaystyle 3\cdot 2^{k}}$-adik hatvány egyben ${\displaystyle 2^{k}}$-adik hatvány is. Sejthető, hogy k>2-re a fenti korlátok adják meg G(k) pontos értékét.

G(4) értékét pontosan megadja Davenport egy tétele,^[5] ami szerint minden elég nagy szám, ha 16-tal osztva nem 14 vagy 15 maradékot ad, felírható 14 negyedik hatvány összegeként. Ebből következik, hogy G(4)=16 és tizenhat negyedik hatványra csak a ${\displaystyle 16^{k}A}$ alakú számok felírására van szükség, ahol A egy véges halmaz eleme.

Hardy és Littlewood igazolta, hogy ${\displaystyle G(k)\leq 2^{k}+1}$. Ezt Vinogradov a ${\displaystyle G(k)\leq 6k\log {k}+k\log 216}$ becslésre javította. A legjobb eredmény T. D. Wooleytól származik: ${\displaystyle G(k)\leq k\log k+k\log \log k+O(k)}$. (Lásd például Vaughan könyvében.^[6])